Stan naprężenia

3. STAN NAPRĘŻENIA
1

3.
3. STAN NAPRĘŻENIA
3.1. Twierdzenie Stokes'a
W zapisie absolutnym:
dl =∫ n rot 
A dS
∮ A⋅
(3.1)
∮ Ai⋅dxi =∫ ni e jk A j , k dS
(3.2)
C
S
W zapisie wskaźnikowym:
C
S
Całka krzywoliniowa funkcji wektorowej 
A wzdłuż krzywej zamkniętej C jest równa strumieniowi
rotacji wektora przez powierzchnię S, której granicą jest krzywa C.
Strumień rotacji – wektor 
R =rot A mnożymy przez wektor normalny n w danym punkcie pola.
n
R
S
C
Rys. 3.1. Strumień rotacji wektora.
3.2. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego-Greena
Zapis absolutny:
∮ A⋅n ds=∫ div A⋅dV
S
V
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(3.3)
AlmaMater
3. STAN NAPRĘŻENIA
2
Zapis wskaźnikowy:
∮ Ai ni ds=∫ Ai ,i dV
S
(3.4)
V
Strumień wektora pola przez powierzchnię zamkniętą S równy jest całce po objętości V ograniczonej
powierzchnią S z dywergencji wektora pola.
3.3. Podstawowe wiadomości o stanie naprężenia
Jeżeli ciało znajduje się w równowadze to wypadkowa wszystkich sił działających na to ciało, zwana
także wektorem głównym, jest równa zero.

W =
O
(3.5)
W powyższym przypadku moment główny także wynosi zero.

M =
O
(3.6)
Obrazem punktu we współrzędnych kartezjańskich jest prostopadłościan (we współrzędnych
cylindrycznych tę rolę spełnia walec, a w biegunowych – wycinek pierścienia).
3
σ23
σ22
σ21
2
1
Rys. 3.2. Obraz punktu we współrzędnych kartezjańskich
Składowe tensora naprężenia  ij :
[
 11  12  13
 ij =  21  22  23
 31  32  33
]
(3.7)
Suma całki po powierzchni S wszystkich sił powierzchniowych 
f i całki po objętości V wszystkich
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
3. STAN NAPRĘŻENIA
3
sił objętościowych (masowych) 
p jest równa zero.
∫ f dS ∫ p dV =0
S
(3.8)
V
n
f
Rys. 3.3. Wektor f sił działających na dowolnej powierzchni
ij - cosinusy kierunkowe wektora f
fi = ji ei
f n
i = n i
f n i ds= 11 ds1 21 ds 2  31 ds3
ds j =ds  n j
(3.9)
Suma wektora sił powierzchniowychi wektora sił masowych wynosi zero:
∫  ji n j ds∫ pi dV =0
S
V
(3.10)
Z twierdzenia Greena-Gaussa-Ostrogradskiego:
∫  ji , j dV ∫ pi dV =0
V
V
(3.11)
Żeby ostatnie równanie było spełnione, konieczne jest spełnienie warunków:
a) równania równowagi w punkcie materialnym ciała odkształcalnego (równania Naviera)
 ji , j  pi =0
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(3.12)
AlmaMater
3. STAN NAPRĘŻENIA
4
Rozpisujemy poprzedni zapis wskaźnikowy:
∂  11 ∂  21 ∂  31


 p1=0
∂ x1 ∂ x 2 ∂ x3
∂  12 ∂  22 ∂  32


 p 2 =0
∂ x1 ∂ x 2
∂ x3
∂  13 ∂  23 ∂  33


 p3=0
∂ x1 ∂ x 2 ∂ x3
i=1
i=2
i=3
(3.13)
W postaci macierzowej:
[
∂
∂ x1
∂
∂ x2
∂
∂ x3
][
]{ }[]
 11  12  13
p1
0
 21  22  23  p 2 = 0
0
 31  32  33
p3
(3.14)
b) moment główny układu sił – suma momentów wszystkich sił względem dowolnego punktu

M =r ×
W
(3.15)
W
r
 i wektor odległości
Rys.3.4. Wektor siły W
r
∫ r ×f dS ∫ r ×p dV =0
S
V
(3.16)
r - wektor, którego początek jest w początku układu współrzędnych
∫ eijk x j f nk dS ∫ eijk x j pk dV =0
S
V
(3.17)
Analizujemy pierwszą całkę:
∫ eijk x j  lk nl dS =∫ eijk x j  lk ' l dV =∫ eijk  x j  lk ' l dV =0
S
V
V
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(3.18)
AlmaMater
3. STAN NAPRĘŻENIA
 x j  lk , l =
∂xj
∂  lk
∂  lk
 lk  x j
= jk  x j
∂ xl
∂ xl
∂ xl
5
(3.19)
Zauważmy, że
∂xj
≠0 ⇔ j=l
∂ xl
(3.20)
Stąd po podstawieniu do (3.16) otrzymujemy
∫
V

e ijk
∫
V

(3.21)
dV =0
(3.22)
∂ xi
∂  lk
 lk e ijk x j
e ijk x j p k dV =0
∂ xl
∂ xl
[
e ijk  jk e ijk x j

∂  lk
 pk
∂ xl
]
Na mocy równania Naviera
 LK , l  p k =0
(3.23)
∫ eijk  jk dV =0
(3.24)
A więc ostatecznie:
V
Powyższe wyrażenie jest równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy:
 jk = kj
(3.25)
∫  23− 32  dV =0
(3.26)
Przykładowo dla i mamy:
V
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater