1. ←↑→ 1. PODSTAWY TEORETYCZNE M =∫

1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1.
1

1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1.1. Wprowadzenie
Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami
plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami i ruchem ciał sprężystych.
Ciało sprężyste – jeżeli doznaje oddziaływań czynników zewnętrznych (siły, momenty, temperatura,
itp.), to efektem tego działania jest deformacja ciała (przemieszczenia, odkształcenia). Po zdjęciu obciążeń
ciało wraca do stanu pierwotnego.
Oddziaływania, przy których ciało zachowuje się sprężyście mają pewne granice. Przekroczenie tych
granic powoduje nieodwracalne zmiany. Po odjęciu przyczyny (czynnik zewnętrzny) pozostają trwałe
odkształcenia - takie ciało nazywamy ciałem plastycznym.
Po przekroczeniu granicy oddziaływań sprężystych mogą wystąpić tak duże deformacje, że struktura
ciała zostaje zniszczona (np.: pękanie) - takie ciała nazywamy kruchymi.
1.2. Definicje
1) Ciała traktujemy jako ciągłe – continuum materialne (brak pęcherzy, pustek, pęknięć, itp.).
Możemy określić gęstość ρ w każdym punkcie ciała.
 p= lim
V  ∞
M
V
(1.1)
Masa całej bryły wynosi:
M =∫  pdV
V
(1.2)
Stan naturalny – jest to stan do którego wraca ciało po zdjęciu obciążeń.
Ciała jednorodne – w każdym punkcie posiada takie same cechy.
Ciała izotropowe – zmiana własności ciała nie zależy od kierunku.
2) Siły masowe - związane z masą (objętością)
- siła masowa jednostkowa
p
- całkowita siła masowa
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
2
 =∫ p dV
P
(1.3)
V
3)Siły powierzchniowe
międzycząsteczkowe)
–
działają
- siła powierzchniowa jednostkowa
na
powierzchnię
(także
wzajemne
oddziaływania
f
- całkowita siła powierzchniowa

F =∫ f ds
(1.4)

f = lim  F
 s0  S
(1.5)
s
1.3. Elementy rachunku wektorowego i tensorowego.
Skalar – jest to wielkość, która zależy od miejsca, nie zależy natomiast od przyjętego układu
współrzędnych; do jego opisu wystarczy tylko jedna wartość. Zjawiska opisywane skalarowo to
np.:temperatura, masa, objętość, długość, itp.
Wektor – układ trzech wielkości skalarnych, które są zmiennicze w zależności od układu
współrzędnych; określamy przez wartość, kierunek i zwrot. Przykładem wektora jest prędkość.
Tensor – wielkość, którą w przestrzeni opisujemy za pomocą 9 składowych (identyfikacja punktu w
przestrzeni – potrzeba 3 przecinających się płaszczyzn = 3 wektory – 9 składowych).
30=1 – tensor o walencji (rząd) 0 – skalar (temperatura)
31=3 – tensor o walencji 1 – wektor
32=9 – tensor o walencji 2 – tensor (naprężenie)
33=27 – tensor o walencji 3
34=81 – tensor o walencji 4
przemieszczenie – jest wektorem
naprężenie – jest tensorem
odkształcenie – jest tensorem
e1
wersor 
– wektor jednostkowy o kierunku i zwrocie pokrywającym się z kierunkiem i zwrotem
osi.
Każdy wektor można zapisać za pomocą tensorów:

A= A1 
e 1 A2 
e 2  A3 
e3
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(1.6)
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
3
Umowa sumacyjna (Einsteina).
Jeżeli w jednomianie (postać iloczynowa) ten sam indeks powtarza się dwa razy to sumujemy po tym
wskaźniku, np.:
3
a i bi =a 1 b1a 2 b 2a 3 b3=∑ a i bi
(1.7)

A= Ai 
ei
(1.8)
i=1
1.4. Iloczyn skalarny
A
α

B
Rys. 1.1. Iloczyn skalarny

A⋅
B =c
(1.9)

A⋅
B =∣
A∣∣
B∣cos 
(1.10)
ei , 
e j dla i = j
Iloczyn skalarny wersorów 
pomiędzy nimi wynosi 1, a ich długość jest jednostkowa:
wynosi 1, gdyż cosinus kąta α=0˚ zawartego
e i⋅
e j =
e 1⋅
e 1=
e 2⋅
e 2=
e 3⋅
e 3=1

Iloczyn skalarny wersorów
pomiędzy nimi wynosi 0:
ei

(1.11)
e j dla i ≠ j wynosi 0, gdyż cosinus kąta α=90˚ zawartego

ei⋅
e j =
e1⋅
e 2=
e 2⋅
e 1=
e 2⋅
e 3=
e 3⋅
e 2=
e 1⋅
e 3=
e 3⋅
e1=0

(1.12)
e i⋅
e j =ij

(1.13)
Symbol δij nosi nazwę delty Kroneckera i jest tensorem o walencji 2:
[ ]
1 0 0
ij = 0 1 0
0 0 1
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(1.14)
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
4
{
ij = 1 dla i= j
0 dla i≠ j
(1.15)

A⋅
B = Ai 
ei ⋅ B j 
e j = Ai⋅B j 
e i⋅
e j = Ai B j ij = Ai Bi
(1.16)
1.5. Iloczyn wektorowy

C
α

B
Rys. 1.2. Iloczyn wektorowy
A

A×
B =
C
(1.17)
∣
C∣=∣
A∣∣
B∣sin 
(1.18)
Powyższy wzór opisuje nam również pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach

B .
A i 
Pomiędzy iloczynami wersorów zachodzą następujące zależności:
1) Wynikające z prawoskrętnego układu współrzędnych:
e 1×
e 2=
e3

(1.19)
e 2×
e 1=−
e3

(1.20)
2) Wynikające z tego, że sinus kąta α=0˚, zawartego pomiędzy wersorami
wynosi 0:
e 1×
e1=0

ei

e j dla i = j,

(1.21)
Iloczyn wektorowy nie podlega prawu przemienności:

A×
B ≠
B ×
A
(1.22)
Iloczyn wektorowy nie podlega prawu łączności, co zapisujemy:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE

A× 
B ×
C ≠ 
A×
B ×
C
5
(1.23)
Korzystając z powyższych zależności możemy zapisać wzór na współrzędne iloczynu wektorowego:

C=
A×
B = A1 
e 1 A2 
e 2 A3 
e 3 × B 1 
e 1B 2 
e 2B 3 
e 3 =
= A2 B3− A3 B 2 
e 1 A3 B1− A1 B 3 
e 2 A1 B 2− A2 B1 
e3
W tym miejscu możemy dokonać podziału na rodzaje zapisów:
1) Zapis absolutny
Przykład:

A⋅
B =c (iloczyn skalarny)

A×
B =
C (iloczyn wektorowy)
2) Zapis wskaźnikowy
Przykład:

A⋅
B = Ai Bi (iloczyn skalarny)
Dla iloczyny wektorowego mamy:
Korzystamy z symbolu permutacyjnego Ricciego (Levi-Civity) eijk (tensor o walencji 3 – 27
kombinacji):
{
0 gdy 2 indeksy się powtarzają
eijk = 1 gdy permutacja jest parzysta
−1 gdy permutacja jest nieparzysta
1
(1.24)
2
3
Rys. 1.3. Permutacja parzysta
1
3
2
Rys. 1.4. Permutacja nieparzysta
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
6
Dzięki czemu uzyskujemy:
C i =eijk A j⋅B k
(1.25)
3) Zapis macierzowy
Interpretacja zapisu macierzowego dla iloczynu wektorowego:
[
e1 
e2 
e3


C=det A1 A2 A3
B1 B 2 B 3
]
(1.26)
1.6. Tensor
Mnożenie tensorowe daje w efekcie diadę.

A
B =T
(1.27)
 Ai 
e i  B j 
e j = Ai B j⋅
ei 
e j = Ai B j 
ei 
ej
(1.28)
Diada:
Tensor jest to operator który każdemu wektorowi przypisuje inny wektor:
T⋅a = Ai B j 
ei 
e j ⋅a 1 
e1a 2 
e 2a 3 
e 3 = b
(1.29)
A1 B1 [
e1 
e1⋅a 1 
e 1 
e1 
e 1⋅a 2 
e 2 
e1 
e 1⋅a 3 
e 3 ]= A1 B1 a 1 
e1
(1.30)
Przykład:
Na podstawie zapisu
wskaźnikowym).
T⋅a określić współrzędne wektora
b (podać ogólną formę w zapisie
T ij⋅a k = Ai B j a k 
e i  jk
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(1.31)
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
7
bi = Ai B j a j
1.7. Transformacja układu współrzędnych
3
2'
3'
2
A
1
e2 '
Rys. 1.5. Transformacja układu
e1
∣
e i∣=1
1'
1'
2'
3'
1
2
3
α1'1
α2'1
α3'1
α1'2
α2'2
α3'2
α1'3
α2'3
α3'3
Tab. 1.1. Cosinusy kierunkowe
Operujemy cos kątów:
i ' j =cos∢i ' , j 
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(1.32)
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1' 12 1 ' 2 2 1 ' 32 =1
8
(1.33)
Tensor cosinusów kierunkowych tworzy macierz transformacji:
[
[ D ]=
1' 1 1' 2 1' 3
 2' 1  2 ' 2  2 ' 3
3' 1 3' 2 3' 3
]
(1.34)
Właściwości macierzy transformacji w zapisie wskaźnikowym:
Macierz transformacji jest macierzą ortogonalną co oznacza:
1) Wiersze (kolumny) macierzy ortogonalnej są parami ortogonalne czyli mnożenie ich przez siebie daje 0:
 k ' i⋅ l ' i =0 dla k ' ≠l '
np : 1 ' 1  2 ' 11 ' 2  2 ' 2 1 ' 3  2 ' 3=0
(1.35)
 k ' i⋅ k ' j =0 dla i≠ j
np : 1' 1 1' 2  2 ' 1  2 ' 2  3' 1  3' 2 =0
(1.36)
lub:
2) Suma kwadratów elementów każdego wiersza (kolumny) jest równa jedności:
np.:
1' 121' 2 2 1' 32 =1
1' 12  2 ' 12  3' 1 2=1
1.8. Prawa transformacji
1.8.1.Wektor
Dany jest wektor 
A w zapisie globalnym.
Wektor ten można zapisać wskaźnikowo w układzie podstawowym i w układzie obróconym:

A= A j⋅
ej
(1.37)
A= Ai '⋅
ei '
(1.38)
Wersor układu obróconego ma postać:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
9
e1 ' =1 ' 1⋅
e 11 ' 2⋅
e 2 1 ' 3⋅
e3
co wskaźnikowo zapisujemy:
ei ' =i ' j⋅
ej
(1.39)
Podobnie możemy zapisać wersor układu podstawowego:
ej =i ' j⋅
ei '
Ponieważ mamy do czynienia cały czas z tym samym wektorem
stwierdzenie:
(1.40)
A zatem prawdziwe jest
A j⋅
e j = Ai '⋅
ei '
(1.41)
Podstawiamy do wzoru (1.38) wzór (1.37):
A j i ' j⋅
e i ' = Ai '⋅
ei '
(1.42)
Aby dwa wektory były sobie równe ich współrzędne muszą być sobie równe. Zatem:
Ai ' = A j  i ' j
(1.43)
Jest to prawo transformacji wektora.
Zgodnie z umową sumacji można go rozpisać:
Ai ' = A1 i ' 1 A2 i ' 2  A3 i ' 3
Jeżeli jakaś wielkość transformuje się zgodnie z tym prawem to ta wielkość jest wektorem.
1.8.2.Tensor
Diada:
w układzie podstawowym:
=T ij⋅
e i ej
(1.44)
=T i ' j '⋅
e i ' ej '
(1.45)
W układzie obróconym:
Podobnie jak wcześniej możemy zapisać wskaźnikowo wersory:
ei =i ' i⋅
ei '
ej = j ' j⋅ej '
(1.46)
Podstawiamy powyższe zależności do wzoru (1.44).Otrzymujemy:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
10
T ij⋅i ' i  j ' j⋅ej ' ei ' =T i ' j '⋅
e i ' ej '
Z powyższego zapisu wynika:
T i ' j ' =T ij⋅i ' i  j ' j
(1.47)
Jest to prawo transformacji tensora.
Zgodnie z umową sumacyjną można je rozpisać:
T i ' j ' =T i1⋅i ' i  j ' 1T i2⋅i ' i  j ' 2T i3⋅i ' i  j ' 3
T i ' j ' =T 11⋅i ' 1  j ' 1T 21⋅i ' 2  j ' 1T 31⋅i ' 3  j ' 1T 12⋅i ' 1  j ' 2T 22⋅i ' 2  j ' 2
T 32⋅i ' 3  j ' 2 T 13⋅i ' 1  j ' 3 T 23⋅i ' 2  j ' 3T 33⋅i ' 3  j ' 3
Obiekt, którego współrzędne transformują się według tego prawa nazywamy tensorem.
Typy tensorów:
a) Tensor symetryczny:
T ij =T ji
T ii =0
(1.48)
T ij =−T ji
(1.50)
(1.49)
b) Tensor skośnie symetryczny:
Symetryzacja i ukośnienie tensorów.
Każdy tensor można przedstawić jako sumę tensora symetrycznego i ukośnego:
T ij =T ij T [ij ]
(1.51)
1
T ij = T ij T ji 
2
(1.52)
T ij  - tensor symetryczny
T [ij ] - tensor ukośny
1
T [ij ]= T ij −T ji 
2
(1.53)
np.:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
[
6
−1
5
8
2
3
]
11
[ ][ ]
6
7
7
4 =
2
−4
6
7
2
6
2
7
9
−
2
2
7
2
0
−4
−1
9
2
1
0
1
2
−
1
2
0
i) Tensor izotropowy:
Tensor, którego współrzędne nie zmieniają się przy dowolnej transformacji układu.
Tensorem izotropowym jest każdy skalar, delta Kroneckera, symbol Lewi-Civity.
Zad:
Udowodnić że dij test tensorem izotropowym.
Rozwiązanie:
Mamy udowodnić że współrzędne dij nie zależą od układu odniesienia czyli że:
ij =i ' j '
niezależnie od wybranej macierzy transformacji.
Zgodnie z prawem transformacji tensorów możemy zapisać:
i ' j ' =i ' i  j ' j ij =
= i ' 1  j ' 1 11i ' 1  j ' 2 12 i ' 1  j ' 3 13i ' 2  j ' 1 21i ' 2  j ' 2 22 
i ' 2  j ' 3  23i ' 3  j ' 1 31i ' 3  j ' 2 32i ' 3  j ' 3 33
Po dokonaniu redukcji otrzymamy:
i ' j ' =i ' 1  j ' 1i ' 2  j ' 2 i ' 3  j ' 3
1. Dla i'=j' otrzymamy:
2
2
i ' i ' =i ' 1 i ' 2 i ' 3
2
a to z własności macierzy transformacji wynosi 1.
2. Dla i' ≠ j' otrzymamy:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
12
ij ' =i ' 1  j ' 1i ' 2  j ' 2 i ' 3  j ' 3=
=i ' k⋅ j ' k
a to z własności macierzy transformacji wynosi 0.
Zatem
{
i ' j ' = 1 dla i= j =ij
0 dla i≠ j
Udowodniliśmy zatem że współrzędne delty Kroneckera nie zależą od układu odniesienia, czyli jest to
tensor izotropowy.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater