2. ←↑→ 2. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

2. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
2.
1

2. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
2.1. Tensory macierzy
Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych
[ D ]=[  i ' j ]
(2.1)
Macierz transformowana jest równa macierzy odwrotnej (transformacja ortonormalna)
−1
T
[ D ] =[ D ]
(2.2)
Jeśli przyjmiemy, że wektor w pierwszej bazie ma współrzędne Ai a w drugiej bazie współrzędne Ai'
to możemy macierzowo zapisać
[ Ai ' ]=[ D ] [ Ai ]
(2.3)
Postać macierzową można utworzyć także dla tensora
T ij =[T ]3×3
(2.4)
Ai =[ A]3×1={ A }=col [ A]=col { A }
(2.5)
jak i wektora
Zauważmy, że transponując wektor w rezultacie otrzymamy macierz o wymiarach 1x3
{ A }T =[ A]1×3
(2.6)
Mnożenie skalarne przedstawia się za pomocą zapisu
a) skalarnego (absolutnego)

A⋅
B =c
(2.7)
c= Ai⋅Bi
(2.8)
b) wskaźnikowego
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
2. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
2
c) macierzowego
[]
A1

A →[ A]= A2 =[ A1 A2 A3 ]T
A3
[]
B1

B →[ B]= B 2
B3
(2.9)
[]
B1
B2
B3
3 ×1

A⋅
B=[ A] [ B]=[ A1 A2 A3 ]1×3 [C ]
T
Łatwo zatem zauważyć, że w wyniku mnożenia dwóch macierzy o wymiarach 3x3 otrzymujemy
macierz także o wymiarach 3x3. Pamiętajmy o tym, że mnożenie dwóch macierzy jest możliwe tylko wtedy,
gdy liczba kolumn pierwszej z nich jest równa liczbie wierszy drugiej.
[ A]3×3 [ B]3×3=[C ]3×3
(2.10)
Wskaźnikowo mnożenie dwóch macierzy 3x3 zapisujemy w następujący sposób:
Aij⋅B jk =C ik
(2.11)
2.2. Działanie tensora na wektor
Tensor działa na wektor jako operator
T a = b
T ij a j =bi
[T ]3×3 [a ]3×1=[b]3×1
(2.12)
co przedstawiają powyższe równania w zapisie odpowiednio absolutnym, wskaźnikowym i
wektorowym. Działanie tensora można przykładowo zaprezentować w następujący sposób:
[a ]3×1 [T ]3×3  niewykonalne
a⋅T =c
a i⋅T ij =c j
[a]T1×3 [T ]3×3=[b]T1×3
'
Ai ' =i ' j A j
[ A ]=[ D][ A]
A j = ji ' Ai '
[ A]=[ D]T [ A' ]
(2.13)
2.3. Transformacja tensora (o 9 składowych)
Korzystając z prawa transformacji tensora wyznaczymy teraz współrzędne tensora w układzie
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
2. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
obróconym. Postać macierzową wektora
3
b w układzie pierwotnym możemy przedstawić jako
[b]=[T ][a ]
(2.14)
[b' ]=[T ' ][a ' ]
(2.15)
natomiast w układzie obróconym
Szukany tensor w układzie obróconym wyznaczamy w następujący sposób:
[b' ]=[ D][b]
[b]=[ D]T [b' ]
[a ]=[ D ]T [a ' ]
(2.16)
podstawiamy do wzoru
[b]=[T ][a ]
i otrzymujemy
[ D]T [b' ]=[T ][ D]T [ a ' ]
[b' ]=[T ][ D][ D]T [a ' ]
[b' ]=[T ' ][a ' ]
[T ' ]=[ D][T ][ D]T
(2.17)
2.4. Analiza pól
Funkcja wektorowa – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje wektor.
Funkcja tensorowa – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje tensor.
Funkcja skalarna – funkcja, która każdemu punktowi pewnego obszaru przyporządkowuje okreslony
skalar (zwana także polem skalarnym).
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
2. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
4
1) Gradient - funkcja wektorowa.
3
X
2
1
Rys. 2.1. Wektor
 w układzie kartezjańskim.
X
 - zapis absolutny
X
X i - zapis wskaźnikowy
[ X ]3 ×1 - zapis macierzowy
Funkcja  x 1 , x 2 , x 3  jest funkcją skalarną. Jeżeli przyjmiemy, że pochodne tej funkcji są
współrzędnymi pewnego wektora to wektor ten nazywamy gradientem pola skalarnego. Różniczkujemy
funkcję po odpowiednich współrzędnych:
Gi=
∂
=G  x 1 , x 2 , x 3 
∂ xi
(2.18)
∂
∂ xi
(2.19)
∂2 
∂ xi ∂ x j
(2.20)
Pierwsza pochodna funkcji:
 ,i =
Druga pochodna:
 ,ij =
Różniczkowanie połączone z sumowaniem:
∂2  ∂ 2  ∂ 2 
 , ii = 2  2  2
∂ x1 ∂ x 2 ∂ x 3
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(2.21)
AlmaMater
2. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
5
Wyznaczamy gradient funkcji:
∂

G=G 1 e 1G 2 e 2G 3 e 3=G i e i =
e = ,i ei =grad =
∇
∂ xi i
(2.22)
A więc ostatecznie gradient funkcji

G=
∇
(2.23)
∂

∇≡
e
∂ xi i
(2.24)
gdzie operator Nabla
Gradient określa kierunek i wartość przyrostu funkcji.
Zad.1. Znając prawo transformacji wektorów udowodnić, że wielkość zwana gradientem jest
wektorem.
G i ' = ,i ' =
∂ ∂ ∂ x j ∂
∂
=
=
 ji ' =
 =i ' j G j
∂ xi ' ∂ x j ∂ xi ' ∂ x j
∂ x j i' j
2) Diwergencja – każdemu punktowi odpowiada wektor:

A= Ai ei
gdzie Ai = Ai  x 1 x 2 x 3 = Ai  x ii 
∂A
T ij = i = Ai , j
∂xj
(2.25)
Polem diwergencji różniczkowalnego pola wektorowego nazywamy pole skalarne okreslone
zależnością
Ai , j = Ai ,i =
∂ A1 ∂ A 2 ∂ A3


=div 
A
∂ x1 ∂ x 2 ∂ x3
(2.26)
Ta wielkość ma cechy tensora.
Zad.2. Udowodnić, że omawiana wielkość jest tensorem przez wykazanie, że T ij transformuje się
według prawa transformacji tensora.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
2. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
6
[]
[ ]
A1

A= A2
A3
A1,1 A1,2 A1,3
T ij = A2,1 A2,2 A2,3
T ij = Ai , j
A3,1 A3,2 A3,3
∂A ∂A ∂x
Ai ' , j ' = i ' = i ' ⋅ k = Ai ' , k  kj ' =☼
∂ x j ' ∂ xk ∂ x j '
∂A
∂
∂
Ai , ' k = i ' =
 Ai ,' =
 A  = Ai , k i ' i
∂ xk ∂ xk
∂ xk i i ' i
☼= Ai ' k  j ' k i ' k
Zad.3. Czy jest możliwe zapisanie diwergencji macierzowo?
div 
A=
∇⋅
A=
∂ A1 ∂ A2 ∂ A3


∂ x1 ∂ x 2 ∂ x3
[]
T
∂
∂ x1
A1
∂


∇⋅A=
⋅ A2
∂ x2
A3
∂
∂ x3
[]
Zad.4. Obliczyć div z gradΦ.
div  grad =div [ , i ei ]= , ii =
∂2  ∂ 2  ∂ 2 
 2  2 =∇ 2 
2
∂ x1 ∂ x 2 ∂ x 3
∇ 2  Laplasjan funkcji skalarnej
3) Rotacja – polem rotacji różniczkowalnego pola wektorowego 
A nazywamy pole wektorowe określone
zależnością

∇ ×
A=rot 
A=
R
∂
A
∂
u
ej × Ak ek =e ijk
e =e A e
∂xj
∂ x j i ijk k , j i
ej × ek = eijk ei
R=e ijk Ak , j
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(2.27)
AlmaMater
2. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
7
Przykład:
Dany jest punkt P.
3
P
r
2
1
Funkcją opisującą położenie tego punktu jest funkcja x 1 x 2 x 3  opisana wzorem
=  x 12  x 22 x 32
a) wyznaczyć gradient tej funkcji
G 1=
G i = , i
1⋅2 x 1
x1
∂
=
=
2
2
2
∂ x 1 2  x  x  x │ r │
1
2
3
r

G=
= e
│ r │ r
b) Obliczyć div r gdy dane są współrzędne wektora miejsca r :
r 1= x 1
r 2= x 2
r 3= x 3
r = x i ei
∂
e⋅x e =111=3
∂ xi i i i
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
2. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
8
c) Obliczyć rotację wektora r
∂x
∂
ei × x i ei = i ei ×
e i =0
∂ xi
∂ xi
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater