2 ui

5.INTERPRETACJA TENSORA ODKSZTAłCEŃ
1

5
5.INTERPRETACJA TENSORA ODKSZTAŁCEŃ
5.1.Interpretacja Eij – i=j.
Związki geometrzyczne w liniowej teorii sprężystości mają postać:
ij =

1  ui  u j

2 X j Xi

(5.1)
Z poprzednich rozważań wiadomo że miarą deformacji jest róznica między odległością końcową i
początkową:
dl 2−dL 2=2 E ij dX i dX
j
(5.2)
Rozważamy kostkę sześcienną. Wyodrębniamy w niej włókno równoległe do osi X1. Zakładamy że
jego długość pierwotna jest równa dX 1 , a pozostałe wymiary są równe 0.
dX 2 =0
dX 3 =0
dX 1=dL
zatem
dl 2−dL 2=2 E 11 dX 1 dX 1
(5.3)
Wprowadzamy wyrażenie:
e=
dl−dL
dL
(5.4)
Gdzie e stanowi względne wydłużenie włókien względem osi X1
Wtedy:
dl 2−dL 2=[  1e  −1 ] dL 2=2 E 11 dL2
(5.5)
1
[  1e 2−1 ]= 12 [ 12ee 2−1 ]
2
(5.6)
1
e=  12 E 11−1≈1 2 E 22 −1≈ E 11
2
(5.7)
2
E 11=
Można uznać , że dla małych przemieszczeń E 11 oznacza wydłużenie względne włókien wzdłóż osi
X1.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
5.INTERPRETACJA TENSORA ODKSZTAłCEŃ
2
5.2.Interpretacja Eij - i ≠ j .
Bierzemy pod uwagę dwa elementy liniowe Xi i X'i o długościach odpowiednio dL i dL' (wzajemnie do
siebie prostopadłych)
zakładamy:
1) dX 1=dL , dX 2=0 , dX 3=0
2) dX 1 ,=0 , dX 2 ,=dL , dX 3 ,=0
dl ,
dL ,
dl

dL
Rys. 5.1
Po przemieszczeniu włókna odkształcą sie i zmieni się kąt między nimi.
,
dL ,=dl , o współrzędnych dx i
dL=dl o współrzędnych dx i
Traktujemy odcinki dl , i dl jako wektory.
Obliczamy iloczyn skalarny :
 ,=dl dl , cos =dx dx ,=  x k dX  x k  X , =2 E dL dL ,
 dl
dl
i
i
i
j
Xi
 X j,
(5.8)
dl dl , cos =2 E 12 dL dL ,
(5.9)
Na podstawie wcześniejszych wywodów otrzymujemy:
dl=  12 E 11 dL
(5.10)
dl ,=  12 E 22 dL ,
(5.11)
Po podstawiemiu i przekształceniu otrzymujemy:
cos =
2 E 12
 12 E 11  12 E 22
=
2 E 12
=2 E 12
1e 1 1e , 
(5.12)
Dla małych odksztalceń można przyjąć że powyższy mianownik jest bliski 1 i możemy go pominąć.
Ponieważ:

= −12
2
(5.13)
cos =sin 12
(5.14)
więc
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
5.INTERPRETACJA TENSORA ODKSZTAłCEŃ
3
zatem możemy napisać:
sin 12=2 E 12
Dla małych kątów
(5.15)
sin 12 =12 , a wiec:
E 12≈
(5.16)
12 1
= 
2 2
E12 wyraża połowę zmiany kąta między badanymi włóknami.
Zapisując tensor Lagrange'a otrzymamy:
ij =
 ui  u j

X j Xi
(5.17)
5.3.Równania geometryczne.
Równania geometryczne , zwane także równaniami Cauchego, opisują związki między
odkształceniami a przemieszczeniami. W liniowej teorii sprężystości wyrażają się następująco:
1
ij = u i , j u j , i 
2
(5.18)
Gdzie:
11 , 22 , 33 -są miarą odkształcenia liniowe (zmiana objętości)
12 , 13 , 23 , 21 , 31 , 32
-są miarą odkształcenia kątowego (zmiana postaci)
5.4 Dylatacja
Dylatacja jest to względna zmiana objętości cząstki materialnej przed i po odkształceniu
Objętość elementarnej cząstki przed odkształceniem jest następująca:
V= dx1 dx2 dx3
(5.19)
V'=(1+e1)dx1(1+e2)dx2(1+e3)dx3
(5.20)
Objętość po odkształceniu :
 V V ' −V
=
=1e1 1e 2 1e 3 −1
V
V
(5.21)
e oznacza małe wielkości i eiej zdąża do 0, a więc:
V
=e 1e 2e 3=ii
V
(5.22)
Dylatacja jest pierwszym niezmiennikiem stanu odkształcenia.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
5.INTERPRETACJA TENSORA ODKSZTAłCEŃ
4
5.5Tensor małych obrotów.
X2
12
X1
Rys. 5.2
1
ij = u i , j −u j , i 
2
(5.23)
ij wyraża obrót dwusiecznej kąta mmiędzy osiami i i j
ij jest tensorem skośniesymetrycznym
ij =− ji
(5.24)
5.6 Związki między składowymi tensora odkształceń.
Mamy 3 składowe przemieszczenia: u1 , u2 , u3
ij =

1  ui  u j

2 X j Xi

(5.25)
Mając podany stan przemieszczenia możemy określić w sposób jednoznaczny stan odkształcenia.
ciało przed odkształceniem
ciało po odkształceniu
Rys 5.3
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
5.INTERPRETACJA TENSORA ODKSZTAłCEŃ
5
Mogą jednak powstać nieodwracalne pęknięcia:
Rys. 5.4
Warunki ciągłości odkształceń zapewniają jednoznaczną relację między odkształceniami, a
przemieszczeniami.
ij , kl  jrs−ikjl − jl , ik =0
(5.26)
Dopiero po spełnieniu powyższych warunków możemy zapewnić zgodność przemieszczeń.
e ilm e jrs lr , sm=0
(5.27)
Z powyższego wyrażenia otrzymujemy 81 równań ale tylko 6 jest niezależnych, ze względu na
symetrię tensora odkształceń. Są to równania DeSaint-Venanta:
2 11
2 22
 x2
 x1

2
=2
2
2 22
2 33
 x3
 x2

2
=2
2
 2 33
2 11
 x1
 x3

2
=2
2
 2 12
 x1 x 2
(5.28)
 2 23
 x2 x3
(5.29)
2 31
 x1 x3
(5.30)



2 11

− 23  31  12 =
 x1  x1  x 2  x 3  x 2 x 3
(5.31)



 2 22

− 13  12  23 =
 x 2  x 2  x 3  x1  x1 x3
(5.32)



2 33

− 12  23  31 =
 x3  x3  x1  x2  x1 x2
(5.33)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater