4 ←↑→ 4.STAN ODKSZTAŁCENIA

4.STAN ODKSZTAŁCENIA
1

4
4.STAN ODKSZTAŁCENIA
4.1 Stan odkształcenia
Rozważmy ciało w przestrzeni
x3
B1
X3
Bo
Po

X
u
0
x
b
x2
x1
0
X2
X1
Rys. 4.1
Ciało Bo jest ciałem w konfiguracji początkowej, którego położenie jest określone w nieruchomym
układzie Lagrange'a. Rozważamy punkt Po o współrzędnych  X 1 , X 2 , X 3  . Współrzędne te są zwane
współrzędnymi Lagrange'a lub współrzędnymi materialnymi (określają położenie materii).Pod wpływem
czynników zewnętrznych ciało przemieściło się i doznało odkształcenia. Ciało B1 jest ciałem odkształconym
znajdującym się w konfiguracji aktualnej. Punkt Po przemieścił się do położenia P1 dla określenia którego
 zwany
wprowadzamy nowy układ współrzędnych  x 1 , x 2 , x 3  zwany układem Eulera.Wektor u=x − X
jest wektorem przemieszczenia.W opisie Lagrange'a badamy jak zmienia sie położenie danego punktu.
Funkcja opisująca punkt materialny jest zależna od położenia i czasu i ma postać:
 X k , t 
(4.1)
Jej pochodna cząstkowa jest równa pochodnej materialnej:
 d 
=
dt
t
(4.2)
W opisie Eulera nie zajmujemy się obserwacją punktu materialnego, tylko opisem punktu w
przestrzeni i badamy który z punktów przyjmuje takie położenie. Funkcja opisująca położenie ma postać :
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
4.STAN ODKSZTAŁCENIA
2
 x k , t 
(4.3)
       xk
=

 t  t  xk  t
(4.4)
a jej pochodna:
Relacje miedzy układem Lagrange'a i Eulera opisuje prawo transformacji:
xi =
 xi
X
X j
,
Xi
xj
Gdzie i
Lagrange'a
,
j
,
=i
,
j,
(4.5)
(4.6)
j
jest cosinusem kąta kierunkowego miedzy prostymi określającymi układ Eulera i
4.2.Miara deformacji
dL
A,
B
dL ,
A
B,
Rys.5.2.
Miarą deformacji jest różnica pomiędzy odległością końcową, a odległością początkowa:
dl 2 −dL 2
(4.7)
dL 2=d X k dX k =dX i dX j ij
(4.8)
przy czym:
Xk
d xl
 xl
(4.9)
d L 2=
Xk
Xk
d xi
d xj
 xi
xj
(4.10)
d L 2=
Xk Xk
d xi d x j
 xi  x j
(4.11)
dX k =
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
4.STAN ODKSZTAŁCENIA
3
gdzie
Xk Xk
= X k ,i X k , j =C ij
 xi  x j
(4.12)
C ij jest to tensor deformacji Cauchego, zwany również lewym tensorem deformacji CauchegoGreena
natomiast:
(4.13)
dl 2 =dx i dx i =dx k dx l  kl
dl 2 =
dx k =
 xi
dX k
Xk
(4.14)
dx l =
 xi
dX l
Xl
(4.15)
 xi  xi
d X k d X l =G kl d X k d X l
Xk Xi
(4.16)
G kl jest to tensor deformacji Greena zwany również prawym tensorem deformacji CauchegoGreena.
Po podstawieniu otrzymujemy:
dl 2 −dL 2 =


 xi  xi
 xi
x
d X k d X l −dX k dX l  kl =
 i  kl dX k dX l
Xk Xi
Xk Xl
(4.17)
dl 2 −dL 2 =2 E kl dX k dX l
E kl =

1  xi  xi
− kl
2 Xk Xl
(4.18)

(4.19)
E kl jest to tensor odkształceń skończonych Lagrange'a lub też tensor odkształceń Greena.
(4.20)
dl 2 −dL 2 =2 e ij dx i dx j
e ij =

Xk Xk
1
ij −
2
 xi  x j

(4.21)
eij jest to tensor odkształceń skończonych Eulera zwany też tensorem odkształceń skończonych
Almansiego.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
4.STAN ODKSZTAŁCENIA
4
4.3.Wektor przemieszczenia
X 3 , x3
xk
X 2 , x2
Xk
X 1 , x1
Rys.4.3.
Oba przedstawione układy pokrywają się, cosinusy kierunkowe zerują się, a wiec nie wykożystujemy
prawa transformacji.
Wektor przemieszczenia ma następującą postać:
 u i =U
 u 1 , u 2 , u 3 
U
(4.22)
Określa sie go w następujący sposób:
uk = xk − X k
(4.23)
x k = X k U
(4.24)
 xk  uk  X k  uk
=

=
 ki
 Xi  Xi  Xi  Xi
(4.25)
 x j  uk
=
kj
Xi X j
(4.26)
E ij =
E ij =
1
2
[


1  xk  xk
−ij
2 Xi X j
 ] [

 uk
Xk
1  uk  u k  u j  ui
 ki 
 kj −ij =

2 Xi X j Xi X j
Xi
Xi
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(4.27)
]
(4.28)
AlmaMater
4.STAN ODKSZTAŁCENIA
5
bowiem
 ki  kj = ji
(4.29)
 uk
u j
 kj =
 Xi
Xi
(4.30)
 uk
 ui
 ki =
X j
X j
(4.31)
W podobny sposób wyprowadzamy postać tensora Almansiego:
e ij =
e ij =
[

Xk Xk
1
ij −
2
 xi  x j

1  ui  ui  u k  u k


2  x j  xi  xi  x j
(4.32)
]
(4.33)
przy czym
 uk  uk
≈0
 xi  x j
(4.34)
Jeżeli przemieszczenia są małe to zanika różnica miedzy Xi i xi , a zatem:
 uk  uk
≈
 X i  xi
(4.35)
Otrzymujemy tensor małych odkształceń Cauchego:
ij =

1  ui  u j

2  x j  xi

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(4.36)
AlmaMater