13. ←↑→ 13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
1

13.
13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
13.1. TEORIA PLASTYCZNOŚCI
Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania
obciążeń powstają trwałe odkształcenia - DEFORMACJE.
CECHA PLASTYCZNOŚCI – trwałe deformacje po usunięciu przyczyn. Przykładem może być
rozciąganie próbki w jednoosiowym stanie naprężeń.
13.2. MODELE CIAŁA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNEGO
CIAŁO SPRĘŻYSTO – PLASTYCZNE to ciało, dla którego zależność odkształceń od naprężeń jest
zgodna z jednym z poniższych wykresów.
a) model ciała sprężysto - plastycznego ze wzmocnieniem liniowym (Rys. 13.1.)
i nieliniowym (Rys. 13.2.)

E
Rys. 13.1. Model ciała sprężysto - plastycznego ze wzmocnieniem liniowym

E
Rys. 13.2. Model ciała sprężysto - plastycznego ze wzmocnieniem liniowym
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
2
b) model ciała sprężysto – idealnie – plastycznego (Rys. 13.3.)

E
Rys. 13.3. Model ciała sprężysto – idealnie – plastycznego
c) model ciała sztywno - plastycznego ze wzmocnieniem (Rys. 13.4.)

E
Rys. 13.4. Model ciała sztywno - plastycznego ze wzmocnieniem
d) model ciała sztywno – idealnie – plastycznego (Rys. 13.5.)

E
Rys. 13.5. Model ciała sztywno – idealnie – plastycznego
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
3
13.3. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE
13.3.1. HIPOTEZA HMH (HUBERA – MISESA – HENCKY'EGO)
Huber
–
zaobserwował, że nie jest możliwe przejście w stan plastyczny ciał z odkształceniami
objętościowymi.
–
musi nastąpić zmiana postaciowa a nie objętościowa, co świadczy o tym, że decyduje
energia typu postaciowego
“Materiał przechodzi w stan plastyczny wtedy gdy energia odkształcenia postaciowego osiąga
wartość krytyczną właściwą danemu materiałowi lecz niezależną od rodzaju stanu naprężeń”
=
1
⋅
6 ⋅G  0
(13.1)
so - intensywność dewiatora naprężeń
G – moduł Kirchoff'a
si =

3
⋅ s jk⋅s jk
2
(13.2)
si = 0
sjk – elementy dewiatora naprężeń
Wzór na naprężenia zredukowane w punkcie:
 0=
1
2
2
⋅  11− 22 2 22− 33 2  33− 11 26  12
 223 31

2
(13.3)
Naprężenia w punkcie w głównym stanie naprężeń:
 0=
1
⋅  I − II 2 II − III 2  III − I 2
2

(13.4)
Naprężenia w punkcie w jednoosiowym stanie naprężeń:
 0=
1
⋅ 2  2I = I
2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(13.5)
AlmaMater
13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
4
Wartość tensora, dla którego energia sprężysta osiągnie taką wartość, dla której ciało przejdzie w
stan plastyczny można przedstawić wykorzystując stan naprężenia.
 III


 II

I
Rys. 13.6. Walec
s1
s2
max
Rys. 13.7. Płaski stan naprężeń
Naprężenie w głównym stanie naprężeń, gdzie występują tylko trzy zmienne można przedstawić w
trójosiowej przestrzeni naprężeń głównych. Obrazem geometrycznym tego równania jest walec kołowy
(Rys. 13.6.) o promieniu
r=

2
⋅ 0 . Oś walca tworzy ten sam kąt z każdą osią układu współrzędnych
3
 I , II , III . Jest to tzw. oś aksjatorów.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
5
3 cos 2 =1
arccos
 3 =54,74 A
(13.6)
3
Walec jest geometrycznym obrazem naprężeń:
–
współrzędne punktów wypełniających wnętrze walca odpowiadają sprężystym stanom
naprężenia.
–
Uplastycznienie zachodzi dla każdego stanu naprężenia odpowiadającego punktom
leżącym na pobocznice walca.
13.3.2. HIPOTEZA TRESKI
Podstawą do sformułowania tego warunku była obserwacja linii Lüdersa, które powstają w
początkowej fazie uplastyczniania próbki rozciąganej. Ponieważ kąt nachylenia tych linii do osi próbki jest
bliski 45° i odpowiada płaszczyznom maksymalnych naprężeń stycznych co oznacza, że:
–
tam musi nastąpić zerwanie więzi w wyniku działania sił stycznych
–
tam będzie poślizg kryształów
„Materiał przechodzi w danym punkcie w stan plastyczny wówczas, gdy maksymalne naprężenie
styczne osiągnie pewną graniczną wartość, charakterystyczną dla tego materiału”
{
∣ − 3∣
1= 2
2
∣ 1− 3∣
ekst = 2=
2
∣ 1− 2∣
3 =
2
(13.7)
Podobnie jak w przypadku teorii HMH także i tutaj można skorzystać z jednoosiowego stanu
naprężenia:
 2 = 3=0
 1 ≠0
ekst =
(13.8)
0
2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
6
W przypadku teorii Treski geometrycznym obrazem będzie graniastosłup foremny 0 podstawie
sześciokąta, który jest wpisany w walec Hubera. Opisują go zależności:
∣ 2− 3∣∧ 0
∣ 1− 3∣∧ 0
(13.9)
∣ 1− 2∣∧ 0
Graniastosłup jest geometrycznym obrazem naprężeń:
–
współrzędne punktów wypełniających wnętrze graniastosłupa odpowiadają sprężystym
stanom naprężenia
–
uplastycznienie zachodzi dla każdego stanu naprężenia odpowiadającego punktom
leżącym na pobocznicy graniastosłupa
13.4. SPRĘŻYSTO PLASTYCZNE ZGINANIE BELKI
Założenia:
–
belka jest swobodnie podparta
–
rozpatrujemy przypadek czystego zginania
–
model ciała: sprężysto – idealnie – plastyczny (Rys. 13.8.)
–
Przekrój belki: dowolny przekrój pryzmatyczny (Rys. 13.9.)

0
0

Rys. 13.8. Model ciała sprężysto idealnie plastyczny
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
7
x
z
y
Rys. 13.9. Przekrój pryzmatyczny
Warunki równowagi
1) Siła normalna
N =∫  x dA=0
(13.10)
A
2) Moment zginający
M =constans
(13.11)
M =∫  x⋅y dA
A

hg
hd




0
0
0
hg
Ad
0
0
0
0
Stan A
0
0
0
hg
Ag


0
Stan B
0
Stan C
Stan D
Rys. 13.10. Rozkład naprężeń i odkształceń
Stan A (patrz Rys. 13.10.)
Naprężenia w dowolnym punkcie:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
 x=
8
M
⋅y
Ix
(13.12)
M
⋅h
Ix d
(13.13)
Naprężenia w skrajnym włóknie dolnym:
 o=
Odkształcenia

=⋅ 0
E
(13.14)
1
 x =E⋅=E⋅ ⋅y

(13.15)
Stan B (patrz Rys. 13.10.)
Naprężenia w strefie sprężystej:
Z 1) warunku równowagi:
hg
hd
−h g
hg
∫  x dA∫  0 dA=0
(13.16)
Po podstawieniu sx , dA i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:
hg
hd
1
E⋅ ∫ y⋅b ydy 0⋅∫ b ydy=0
 −h
h
(13.17)
E
S  0⋅A p =0
 s
(13.18)
g
g
Gdzie:
Ss – moment statyczny części przekroju w zakresie naprężeń sprężystych
Ap – pole części przekroju w zakresie naprężeń plastycznych
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
9
Z 2) warunku równowagi:
hg
hd
−h g
hg
∫  x⋅y dA∫  0⋅ydA=M
(13.19)
Po podstawieniu sx , dA i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:
hg
hd
1
E⋅ ∫ y 2 ⋅b y dy 0⋅∫ y⋅b y dy=M
 −h
h
(13.20)
E
I  0⋅S p=M
 s
(13.21)
g
g
Gdzie:
Is – moment bezwładności części przekroju w zakresie naprężeń sprężystych
Sp – moment statyczny części przekroju w zakresie naprężeń plastycznych
Stan C (patrz Rys. 13.10.)
Stan ten jest podobny do stanu B, zwiększa się tylko zakres strefy plastycznej.
Analizując warunki równowagi otrzymamy takie same zależności:
E
S  0⋅A p =0
 s
(13.22)
E
I  0⋅S p=M
 s
(#.23)
Stan D (patrz Rys. 13.10.)
Z 1) warunku równowagi:
hd
∫  0 dA=0
(13.24)
hg
Po podstawieniu dA i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
10
hd
 0⋅∫ b ydy=0
(13.25)
 0⋅A p=0
(13.26)
∫  0⋅ydA=M
(13.27)
hg
Z 2) warunku równowagi:
hd
hg
Po podstawieniu dA i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:
hd
 0⋅∫ y⋅b ydy=M
(13.28)
 0⋅S p=M
(13.29)
hg
Środek ciężkości dzieli przekrój na dwie części o takiej samej wartości momentu statycznego. Pola
powierzchni tych dwóch części nie muszą być takie same (Ag ≠ Ad) , zatem warunek 1)  0⋅A p=0 nie
będzie spełniony.
Nastąpi przesunięcie osi ciężkości przekroju.
Sp z drugiego warunku musi być policzone względem nowego położenia osi.
Wiemy, że
 0=
M
Sp
(13.30)
M
W
(13.31)
Oraz, że
 max =
Dla przekroju idealnie plastycznego (Rys. 13.10. - stan D)
 0=W pl
(13.32)
Gdzie: Wpl – wskaźnik oporu plastycznego
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
11
Dla przekroju prostokątnego:
b
h
2
Rys. 13.11. Przekrój prostokątny
h b⋅h 2
W pl =2 ⋅[b⋅h⋅0,5⋅ ]=
4
4
Dla prętów o innych przekrojach geometrycznych Wpl wynosi:
–
dla przekroju kołowego:
W pl =
–
4 r3
3
(13.33)
dla przekroju w kształcie rombu:
a
Rys. 13.12. Przekrój w kształcie rombu
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
W pl =
–
12
(13.34)
a3
3 2
dla przekroju teowego:
b
t
h
Rys. 13.13. Przekrój teowy
Pomijamy środnik, co daje nam w rezultacie
W pl =t⋅b⋅h
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(13.35)
AlmaMater