Matematyka – Ćwiczenia Zestaw 1. Granice funkcji. Pochodna funkcji.

Matematyka – Ćwiczenia Zestaw 1. Granice funkcji. Pochodna funkcji.

Wydział Zarządzania – Matematyka – Ćwiczenia
Zestaw 1. Granice funkcji. Pochodna funkcji.
Zadanie 1.1. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją):
27−x3
x→3 x−3
x2 +4
x→2 x+2
b) lim1
x→− 2
h) lim
d) lim
a) lim
x→0
x2 −4x+3
x→3 2x−6
sin3x
4x
e) lim
4x2 −1
2x+1
f) lim
4x
x→0 3sin2x
i) lim
3x2 +5x−2
2
x→−2 4x +9x+2
x3 −8
x→2 x−2
tgx
x→0 4x
x2 −2x−8
2 −9x+20
x
x→4
c) lim
j) lim
g) lim
Zadanie 1.2. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją):
√
(x − 1) 2 − x
8x3 − 1
a) lim
b) lim1 2
x→1
x2 − 1
x→ 2 6x − 5x + 1
√
√
√
1 + 2x − 3
x + 13 − 2 x + 1
d) lim √
e) lim
x→4
x→3
x2 − 9
x−2
cos x
x→ 2 π − 2x
√
√
j) lim
1 + x + x2 − 1 − x + x2
g) limπ
x→∞
m) lim x ctg 3x,
x→0
√
p) lim
x→0
cos x − 1
x2
c) lim
x→1
x→0
q) limπ
x→ 4
cos x − sin x
cos 2x
sin 5x
x→0 sin 3x
2
x2
x +1
i) lim
x→∞
x2 − 2
f) lim
1 − cos x
x2
√
√
k) lim
x+3− x+1
x→∞
x+1
2x + 3
n) lim
x→∞
2x + 1
h) lim
1
3
−
1 − x 1 − x3
l) lim x sin x1
x→∞
2x−5
3x − 1
o) lim
x→∞
3x + 1
sin 5x − sin 3x
x→0
sin x
r) lim
Zadanie 1.3. Obliczyć granice jednostronne funkcji f w punkcie x0 , jeśli:
a) f (x) =
1
, x0 = 3
x−3
d) f (x) =
x+1
1
, x0 = 1 e) f (x) = 2
, x0 = 2
x−1
x −4
1
b) f (x) =
1
, x0 = 3
3−x
c) f (x) =
1
f) f (x) = 2 x−1 , x0 = 1
1
g) f (x) = 4 x2 −4 , x0 = 2
1
, x0 = 3
(3 − x)2
h) f (x) = e 4−x2 , x0 = −2 i) f (x) =
x
1
1 + ex
Zadanie 1.4. Obliczając granice jednostronne zbadać, czy istnieją granice:
x+1
x→1 x − 1
a) lim
b) lim x [x]
x→0
|x − 1|3
x→1 x3 − x2
c) lim
1
d) lim e 1−x2
x→1
, x0 = 0
Wydział Zarządzania – Matematyka – Ćwiczenia
Zadanie 1.5. Zbadać ciągłość funkcji f jeżeli:
(
a) f (x) =
2x + 3
dla x ≤ 0
(x − 2)2 dla x > 0
(
d) f (x) =
sin x
x
dla x 6= 0
0
dla x = 0
(
b) f (x) =
x − 1 dla x < 0
3x
(
e) f (x) =
dla x ≥ 0
cos x1 dla x 6= 0
0
dla x = 0
(
c) f (x) =
0
(
f) f (x) =
x
e 1−x dla x 6= 1
dla x = 1
arctg x1 dla x 6= 0
0
dla x = 0
Zadanie 1.6. Sprawdzić, czy można dobrać wartości parametrów a i b tak, aby funkcja f : R → R
była ciągła, jeżeli:
(
a) f (x) =
c) f (x) =
2x + 8
2
(x − a)





(
dla x ≤ 0
−a
x
2x + 3
b) f (x) =
dla x > 0
dla
x ≤ −1
dla −1 < x ≤ 1
b (x − 2)2 + 3 dla
x>1
cos πx
2
dla x ≤ 1
a |x − 1| dla x > 1

1

 2 + e x dla x < 0
sin ax
d) f (x) =
dla x > 0
3x


b
dla x = 0
2
Wydział Zarządzania – Matematyka – Ćwiczenia
Zadanie 1.7. Obliczyć pochodne następujących funkcji:
1
x
√
1) f (x) = 3
2) f (x) = x4 + 3x2 −
5x − 1
3 − 2x
√
7) f (x) = x 1 + x2
1
3
10) f (x) = x + 2 ex
x
√
13) f (x) = 2 x − 3 ln x + 1
x2 − 1
x2 + 1
√
1
8) f (x) = ( x + 1)( √ − 1)
x
14) f (x) = x ln x
16) f (x) = log3 x
17) f (x) = sin x + cos x
4) f (x) =
19) f (x) =
√
x cos x
22) f (x) = arc sin x + arc cos x
q
25) f (x) = 1−x
1+x
√
1− x
√
28) f (x) = cos
1+ x
3
sin x
31) f (x) =
1 + cos x
34) f (x) = (2x + 1) 22x+1
37) f (x) = arc sin x2
+
x
5) f (x) =
11) f (x) = 10x
20) f (x) =
6) f (x) =
x3
2
−1
9) f (x) = x2 ex
x
4x
ln x
15) f (x) =
1 + x2
12) f (x) =
sin x
x4 + 4
23) f (x) = x arc sin x
√
26) f (x) = ln(ex + 1 + ex )
29) f (x) = (2x3 − 1)5
32) f (x) = cos3 4x
√
x) tg ( x)
√
38) f (x) = arc sin 1 − 5x
35) f (x) = (1 +
3) f (x) = 2x3 − x2
√
18) f (x) = x3 sin x
21) f (x) =
sin x − cos x
sin x + cos x
24) f (x) = x + arctg x
2
27) f (x) = e(x −3x−4)
5
1 + x2
30) f (x) =
1+x
√
4x2 + 2
33) f (x) =
3x4
36) f (x) = sin 2x cos2 x
39) f (x) = arctg
2x
1 − x2
3