Zestaw 4 - PL

Wydział Energetyki i Paliw AGH, Technologia Chemiczna
Zadania z MATEMATYKI
ZESTAW 4
Granica funkcji, ciagłość
funkcji
,
1. Obliczyć:
x2 +4x−5
,
2
x→−∞ x −3x+2
1.1. lim
x2 +4x−5
,
2
x→1 x −3x+2
1.2. lim
8−x3
,
x→2 x−2
√
√
2 +1− x+1
√
lim x1−
,
x+1
x→0
1.3. lim
1.4.
sin x−cos x
,
cos 2x
1.5. limπ
x→ 4
1.6. lim−
x→1
(arc sin x)2
,
1−x
sin 5x
,
x→0 sin 10x
1.7. lim
1.8. lim
x→−2
arc sin (x+2)
,
x2 +2x
1.9. x→∞
lim x sin x1 ,
1.10. lim
sin sin x
,
x
1.11. lim
sin x2
,
x2
x→0
x→∞
1.12. x→∞
lim
1+x
2+x
x
,
1
1.13. lim (1 + sin x) x ,
x→0
4x −1
2 .
x→0 x
1.14. lim
2. Zbadać ciagłość
funkcji (ewentualnie tylko lewo lub prawostronna):
,
,
(
2.1. f (x) =
2x2 , x ∈ [0, 1]
,
3 − x2 , x ∈ (1, 2]
(
sin x1 , x 6= 0
,
0,
x=0
( √
x arctg x1 , x 6= 0
2.3. f (x) =
,
0,
x=0
2.2. f (x) =
(
2.4. f (x) =
2.5. f (x) =

 ln ( x1 +1)−ln x1

(
2.6. f (x) =
, |x| ¬ 1
cos πx
2
,
|x − 1| , |x| > 1
x
1,
, x>0 ,
x=0
arctg (x − 1) + 2x2 , |x| ­ 1
.
− π4 ,
x=0
1
3. Dobrać parametry a, b, c, d tak, żeby funkcje były ciagłe
w swojej dziedzinie (ewentualnie
,
tylko lewo lub prawostronnie):
( √
3.1. f (x) =
1+x−1
,
x
a − 72 ,
2
(
3.2. f (x) =



1−cos x
,
x2
a2 − 12 ,
x ∈ [−1, ∞) \{0}
,
x=0
x 6= 0
,
x=0
ax + b,
x¬0
2
3.3. f (x) = cx + dx, x ∈ (0, 1] ,


x>1
1 − x1 ,




1
x<0
2 + ex ,
ax
sin
x>0 .
3.4. f (x) = 
x , 1

 lim 2 + e x , x = 0
−
x→0
4. Wykazać, korzystajac
, z definicji, że:
x2 +x−6
x−2
x→2
= 5,
x2 +x−6
2
x→2 x −2x
= 52 .
4.1. lim
4.2∗ . lim
5∗ . Udowodnić, że funkcja f (x) = xD (x), gdzie D jest funkcja, Dirichleta, jest ciagła
tylko
,
w punkcie x0 = 0.
2