Algebra liniowa 1

Algebra liniowa 1
II kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
M6
1
2
3
4
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
 2i 3i 
.
−1
−6


1. Wyznaczyć macierz B z warunku B T − i B = 
2. Wyznaczyć macierz Y z warunku
 −2 −1 
2 1
B −1 ⋅ Y ⋅ B = 
 dla B = 
.
 4 2
3 1
3. Dla jakich wartości parametru m podany układ równań jest układem
Cramera:
 x + y
+

y + 2z +

+ z +
 2x
 −x + 2y + 3z +
2t
5t
4t
mt
=
=
=
=
1
m
3
m
?
Odpowiedzi do zestawu
1.
2.
4. Prosta l jest równoległa od płaszczyzn
π 1 : x + y − 3z + 4 = 0, π 2 : 3x − y + z = 0
i zawiera punkt P = (−2, 1, 3 ). Napisać jej równanie kierunkowe.
3.
4.
 −1 + i −2 

;
 i −3 − 3i 
 0 0

;
−1
0


m≠7;
y−1
z−3
x + 2= 5 = 2 .
M6
Algebra liniowa 1
II kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
N6
1
2
3
4
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Zbadać, czy równość ( A + B ) 2 = A 2 + 2AB + B 2 jest spełniona
3 2
1 2
, B = 
.
1 0
0 1
dla macierzy A = 
2. Obliczyć wyznacznik
1
2
3
4
101 102 103 104
4
3
2
1
1
1
1
1
.
3. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań
 x + 3y

y

 2x + 8y
 x + y
−
+
+
−
z
2z
3z
6z
− t = 8
− 5t = 4
.
− 14t = 25
+ 12t = −1
→→
4. Obliczyć wysokość oraz pole podstawy a , b równoległościanu
rozpiętego na wektorach
→ → → → → → →
→ → → → →
a = i − j −3 k , b = 2 i − j − k , c = i +2 j −6 k .
Odpowiedzi do zestawu
1.
2.
3.
Równość nie jest spełniona;
0;
4.
pole podstawy
x = 3, y = 2, z = 1, t = 0 ;
30 , wysokość
3 30
.
5
N6
Algebra liniowa 1
II kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1
O6
2
3
4
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Znaleźć macierz B spełniającą warunek
 −1 1   3 1 
 0 −2   1 0 
B
+
=2(
⋅
 −B).
 0 2   −1 1 
 0 −1   0 −1 
2. Obliczyć wyznacznik
3.
4
4
4
4
4
4
4
1
4
4
1
1
4
1
1
1
.
Metodą macierzy odwrotnej rozwiązać układ równań
 4x + 3y + 2z = 3

+ 2z = 4
 x
 −x + y + 3z = 1

Odpowiedzi do zestawu
.
4. Znaleźć kąt, pod jakim przecinają się rzuty prostokątne na płaszczyznę
yOz prostych
l : x = 1 − 4t, y = 2 + 3 t, z = 1 + t, t ∈ R,
k : x = 2 − 2s, y = 3 + s, z = 1 + 3 s, s ∈ R.
1.
2.
3.
4.
 −3 32 

.
 1 0
108 .
4
5
x = 3, y = − 3, z =
π
.
6
4
.
3
O6
Algebra liniowa 1
II kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1
P6
2
3
4
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1 0 1 1
2 5
+
Y=
.
1 1 0 1
5 6
1. Rozwiązać równanie macierzowe Y 
4
4
4
0
2. Obliczyć wyznacznik
1
1
0
1
3
0
3
3
0
2
2
2
.
3. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań





3x
−x
2x
3x
−
+
−
−
3y
3y
2y
5y
+
+
+
+
6z
2z
4z
7z
+
−
+
+
9t
5t
9t
t
=
=
=
=
6
−2
.
7
−4
4. Obliczyć pole powierzchni oraz objętość czworościanu o wierzchołkach
znajdujących się w punktach
A = ( 2, 1, 0 ), B = ( 1, −1, 2 ), C = ( 1, 3, 2 ), D = ( 2, 1, 1 ) .
Odpowiedzi do zestawu
0 1
Y=
.
1 3
2. −72 .
3.
x = z = 0, y = t = 1 .
4. pole powierzchni 2 2 + 3 5 , objętość
P6
1.
2
.
3