Algebra liniowa 2 1 2 3 Suma

Algebra liniowa 2
I kolokwium, 27.04.2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, swoje imię i
nazwisko, numer indeksu, oraz narysować poniższą tabelkę (w tabelce pojawia
się numer grupy – go też przepisać!)
Ą
1 2 3 Suma
Proszę nie przepisywać treści zadań. Rozwiązanie n-tego zadania należy napisać
na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 45 min., za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Miłej zabawy!
1. W zależności od parametru rzeczywistego p sprawdź, czy wektory (p2 , −1, 2, 1),
(7, 2, 0, −7), (−3, 0, p, 3), (−1, 0, 0, 1) są liniowo niezależne.
2. Podaj bazę przestrzeni liniowej
V = {w ∈ R2 [x] : xw0 (x) = 2w(x) + 2w(2) ∀x ∈ R}.
3. Niech przekształcenie liniowe L : R3 → R3 będzie obrotem o π wokół
prostej


 x=t
l : y = 2t
t ∈ R.


z=0
Zapisz macierz A przekształcenia L w bazach standardowych.
Piotr Więcek
Algebra liniowa 2
I kolokwium, 27.04.2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, swoje imię i
nazwisko, numer indeksu, oraz narysować poniższą tabelkę (w tabelce pojawia
się numer grupy – go też przepisać!)
Ć
1 2 3 Suma
Proszę nie przepisywać treści zadań. Rozwiązanie n-tego zadania należy napisać
na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 45 min., za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Miłej zabawy!
1. Sprawdź, czy wektory x3 + 3x2 + 2, 3x3 − 2x + 1, x3 + x2 − 4x ∈ R3 [x]
są liniowo niezależne.
2. Znajdź wymiar przestrzeni liniowej
(
V = X ∈ M2×2 :
"
0 1
1 0
#
)
X=X
T
.
3. Niech przekształcenie liniowe L : R3 → R3 będzie symetrią względem
płaszczyzny
π : x + y − z = 0.
Zapisz macierz A przekształcenia L w bazach standardowych.
Piotr Więcek
Algebra liniowa 2
I kolokwium, 27.04.2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, swoje imię i
nazwisko, numer indeksu, oraz narysować poniższą tabelkę (w tabelce pojawia
się numer grupy – go też przepisać!)
Ę
1 2 3 Suma
Proszę nie przepisywać treści zadań. Rozwiązanie n-tego zadania należy napisać
na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 45 min., za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Miłej zabawy!
1. Podaj bazę przestrzeni liniowej
V = {w ∈ R2 [x] : x2 w00 (x) = 2w(x) + 2w(1) ∀x ∈ R}.
2. W zależności od parametru rzeczywistego p sprawdź, czy wektory (0, 1, 3, −5),
(2, 0, p, 0), (1, 0, p, 2), (p2 , 1, 3, −3) są liniowo niezależne.
3. Niech przekształcenie liniowe L : R3 → R3 będzie obrotem o π wokół
prostej


 x=0
t ∈ R.
l : y = −t


z = 3t
Zapisz macierz A przekształcenia L w bazach standardowych.
Piotr Więcek
Algebra liniowa 2
I kolokwium, 27.04.2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, swoje imię i
nazwisko, numer indeksu, oraz narysować poniższą tabelkę (w tabelce pojawia
się numer grupy – go też przepisać!)
Ś
1 2 3 Suma
Proszę nie przepisywać treści zadań. Rozwiązanie n-tego zadania należy napisać
na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 45 min., za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Miłej zabawy!
1. Znajdź wymiar przestrzeni liniowej
(
V = X ∈ M2×2 :
"
2 1
1 0
#
)
X=X
T
.
2. Niech przekształcenie liniowe L : R3 → R3 będzie symetrią względem
płaszczyzny
π : 2x − z = 0.
Zapisz macierz A przekształcenia L w bazach standardowych.
3. Sprawdź, czy wektory 2x3 + 4x − 2, 3x3 + 3x2 − x, −x3 + 2x2 + 2x − 1 ∈
R3 [x] są liniowo niezależne.
Piotr Więcek
Algebra liniowa 2
I kolokwium, 27.04.2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, swoje imię i
nazwisko, numer indeksu, oraz narysować poniższą tabelkę (w tabelce pojawia
się numer grupy – go też przepisać!)
Ó
1 2 3 Suma
Proszę nie przepisywać treści zadań. Rozwiązanie n-tego zadania należy napisać
na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 45 min., za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Miłej zabawy!
1. Sprawdź, czy wektory sin(x), sin(2x), sin(3x) ∈ C(R) są liniowo niezależne.
2. Napisz macierz przejścia z bazy {x2 − 2x + 1, −2x + 1, 3x2 + 2x} do
bazy {x2 + 3x − 1, 2x2 − 2x, −2x + 1} (przestrzeni R2 [x]).
3. Znajdź bazę przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego


 x−y+z−t=0


2x − 5y − z − 2t = 0 .
x − 3y − z − t = 0
Piotr Więcek
Algebra liniowa 2
I kolokwium, 27.04.2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, swoje imię i
nazwisko, numer indeksu, oraz narysować poniższą tabelkę (w tabelce pojawia
się numer grupy – go też przepisać!)
Ż
1 2 3 Suma
Proszę nie przepisywać treści zadań. Rozwiązanie n-tego zadania należy napisać
na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 45 min., za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Miłej zabawy!
1. Sprawdź, dla jakich wartości parametru rzeczywistego p zbiór
(
V = X ∈ M2×2 :
"
1 p
0 1
#
)
X=X
T
jest przestrzenią liniową.
2. Znajdź bazy jądra i obrazu przekształcenia liniowego L : R3 → R3
zdefiniowanego wzorem L((x, y, z)) = (x + 2y + 3z, −x − y − z, 2y + 4z).
3. Znajdź współrzędne wektora x2 − 2x + 2 w bazie {3x2 + 5, x2 − x +
2, 2x2 − 4x + 5} przestrzeni R2 [x].
Piotr Więcek
Algebra liniowa 2
I kolokwium, 27.04.2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, swoje imię i
nazwisko, numer indeksu, oraz narysować poniższą tabelkę (w tabelce pojawia
się numer grupy – go też przepisać!)
Ł
1 2 3 Suma
Proszę nie przepisywać treści zadań. Rozwiązanie n-tego zadania należy napisać
na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 45 min., za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Miłej zabawy!
1. Napisz macierz przejścia z bazy {x2 + 3x − 1, x2 − x, 2x − 1} do bazy
{3x2 + 2x, −2x − 1, x2 + x + 1} (przestrzeni R2 [x]).
2. Sprawdź, czy wektory cos(x), cos(2x), cos(3x) ∈ C(R) są liniowo niezależne.
3. Znajdź bazę przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego


 x + 2y − z − 2t = 0


2x + 3y − z − 4t = 0 .
x − y + 2z + 2t = 0
Piotr Więcek
Algebra liniowa 2
I kolokwium, 27.04.2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, swoje imię i
nazwisko, numer indeksu, oraz narysować poniższą tabelkę (w tabelce pojawia
się numer grupy – go też przepisać!)
Ź
1 2 3 Suma
Proszę nie przepisywać treści zadań. Rozwiązanie n-tego zadania należy napisać
na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 45 min., za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Miłej zabawy!
1. Znajdź współrzędne wektora 2x2 + x − 1 w bazie {x2 + 3x + 2, −x2 −
4, 2x2 + 5x + 5} przestrzeni R2 [x].
2. Sprawdź, dla jakich wartości parametru rzeczywistego p zbiór
(
V = X ∈ M2×2 : X =
"
1 p
0 1
#
)
X
T
jest przestrzenią liniową.
3. Znajdź bazy jądra i obrazu przekształcenia liniowego L : R3 → R3
zdefiniowanego wzorem L((x, y, z)) = (x+2y, −2x−3y+z, −x+y+3z).
Piotr Więcek