Matematyka Finansow

Matematyka Finansowa
Wykład
Maciej Wolny
[email protected]
Agenda
• Organizacja zajęć, wprowadzenie, podstawowe
pojęcia.
• Teoria funkcji pieniądza w czasie.
• Rozliczenia związane ze spłatą długów.
• Ocena opłacalności inwestycji.
Literatura
1. Matłoka M.: Matematyka w finansach i
bankowości, Wyd. AE w Poznaniu, Poznań
2002
2. Sobczyk M.: Matematyka finansowa, Wyd.
Placet, Warszawa 2003
Dodatkowe informacje
• Kalkulator naukowy
• Egzamin – pisemny, zadania do rozwiązania
(podobne do przykładów na wykładzie i
zajęciach)
• Projekt:
1. Analiza dowolnego kredytu wraz z tabelą
amortyzacji …
2. Ocena opłacalności dowolnej inwestycji…
Zamiast wprowadzenia
Kalkulacja wartości pieniądza w czasie
•
•
•
•
Oprocentowanie i dyskontowanie
Model kapitalizacji prostej, złożonej i ciągłej
Przeciętna stopa procentowa
Nominalna, efektywna i realna stopa
procentowa
Oprocentowanie
•
•
•
•
•
•
•
K – kwota kapitału,
K0 – kapitał początkowy
Kn – kapitał końcowy (po n-okresach kapitalizacji)
I – odsetki
r – roczna stopa procentowa
i – stopa procentowa
i(t) – stopa procentowa w okresie t
I
I = K0 ⋅ i ⇒ i =
, K = K 0 + I = K 0 + K 0 ⋅ i = K 0 (1 + i )
K0
Przykład 1
Ile wynosi roczna stopa procentowa, jeżeli
pożyczając 20000 zł po pół roku musimy zwrócić
21500 zł?
I = K − K 0 = 1500 zł
t
I 365
I = K0 ⋅ r ⋅
⇒r=
⋅
365
K0 t
Roczna stopa procentowa zależy od liczby dni po której zwracamy pożyczkę. Przy
założeniu, że pół roku oznacza 181 dni (np. w okresie styczeń-czerwiec) stopa
wynosi 15,12%. Jeżeli 184 dni (np. w okresie lipiec-grudzień) wynosi 14,88%.
Przykład 2
Bank nalicza i kapitalizuje odsetki co kwartał.
Początkowa kwota lokaty wynosi 10000 zł, a
roczna stopa procentowa wynosi 3%. Oblicz
wartość lokaty po trzech kwartałach.
Model kapitalizacji złożonej
r
K1 = K 0 ⋅ (1 + )
4
r
r
r
r 2
K 2 = K1 ⋅ (1 + ) = K 0 ⋅ (1 + ) ⋅ (1 + ) = K 0 ⋅ (1 + )
4
4
4
4
r
r 2
r 3
K 3 = K 2 ⋅ (1 + ) = K1 ⋅ (1 + ) = K 0 ⋅ (1 + )
4
4
4
...
K n = K 0 ⋅ (1 + i ) n
Przykład 3a
Regulamin lokaty jednodniowej ustala, że jest
nieodnawialna, maksymalna kwota wynosi
10000 zł, maksymalnie można założyć jedną
lokatę oraz roczna stopa procentowa wynosi 4%.
Klient przez tydzień operuje kwotą 10000 zł,
zakładając codziennie lokatę. Jaką kwotę
odsetek osiągnie po tygodniu.
Przykład 3b
Regulamin lokaty jednodniowej ustala, że jest
odnawialna, maksymalna kwota wynosi 10000
zł, maksymalnie można założyć jedną lokatę oraz
roczna stopa procentowa wynosi 4%. Odsetki od
lokaty są zwracane na ROR. Klient zakłada lokatę
na 10000 zł, a po tygodniu likwiduje lokatę. Jaką
kwotę odsetek osiągnie po tygodniu.
Model kapitalizacji prostej
r
K1 = K 0 ⋅ (1 +
)
365
r
r
r
K2 = K0 ⋅
+ K 0 ⋅ (1 +
) = K 0 ⋅ (1 + 2 ⋅
)
365
365
365
r
r
r
K3 = K0 ⋅ 2 ⋅
+ K 0 ⋅ (1 +
) = K 0 ⋅ (1 + 3 ⋅
)
365
365
365
...
K n = K 0 ⋅ (1 + n ⋅ i )
Dyskontowanie
• Odwrotność oprocentowania
• Model kapitalizacji złożonej:
Kn
K n = K 0 ⋅ (1 + i ) ⇒ K 0 =
n
(1 + i )
n
• Model kapitalizacji prostej:
Kn
K n = K 0 ⋅ (1 + n ⋅ i ) ⇒ K 0 =
(1 + n ⋅ i )
Przykład 4
Za trzy lata Skarb Państwa ma wykupić obligacje
za kwotę 10000 zł. Ile możemy maksymalnie
zapłacić dziś za obligacje przy założeniu 4%
rocznej stopy procentowej?
10000
K0 =
= 8889,96
3
(1 + 0,04)
K0 =
10000
= 8928,57
1 + 3 ⋅ 0,04
I = ?, K 0 = ?, i = ?
K 3 = K = 10000, r = 0,04
I
I = K0 ⋅ i ⇒ i =
, K = K 0 + I = K 0 + K 0 ⋅ i = K 0 (1 + i )
K0
i?r
i = 3 ⋅ r (???)
K = K 0 ⋅ (1 + i )
K
10000
K0 =
=
= 8928,57
(1 + i ) 1 + 0,12
Przykład 5
Która z ofert jest korzystniejsza:
a) Sprzedaż samochodu za 25000 zł (zapłata
natychmiastowa)
b) Sprzedaż samochodu za 25300 zł (zapłata za
kwartał)
Roczna stopa procentowa (lokat) wynosi 4%.
25300
K
K0 =
=
= 25049,50
(1 + i ) 1 + 0,04
4
lub
0,04
K = K 0 ⋅ (1 + i ) = 25000 ⋅ (1 +
) = 25250
4
Korzystniejsza jest oferta sprzedaży
samochodu za 25300 zł z płatnością za
kwartał.
Przykład 6
Oblicz wartość lokaty 10000 zł po roku, przy
założeniu, że roczna stopa procentowa wynosi
4% a kapitalizacja następuje:
a) po roku,
b) kwartalnie,
c) miesięcznie,
d) dziennie,
e) … co godzinę.
K1 = K 0 ⋅ (1 + r ) = 10000 ⋅ (1 + 0,04) = 10400
1
1
a) Wartość lokaty będzie wynosiła 10400 zł
r 4⋅1
K 4 = K 0 ⋅ (1 + ) = 10000 ⋅ (1 + 0,01) 4⋅1 = 10406,04
4
b) Wartość lokaty będzie wynosiła 10406,04 zł
r 12
0,04 12
K12 = K 0 ⋅ (1 + ) = 10000 ⋅ (1 +
) = 10407,42
12
12
c) Wartość lokaty będzie wynosiła 10407,42 zł
r 365
0,04 365
K 365 = K 0 ⋅ (1 +
) = 10000 ⋅ (1 +
) = 10408,08
365
365
d) Wartość lokaty będzie wynosiła 10408,08 zł
… co godzinę … i częściej
K 8760
r 8760
0,04 8760
= K 0 ⋅ (1 +
)
= 10000 ⋅ (1 +
)
= 10408,11
8760
8760
e) Wartość lokaty będzie wynosiła 10408,11 zł
t – czas w latach (jednostką jest okres związany ze stopą
procentową tj. roczna stopa –w latach, miesięczna stopa – w
miesiącach )
m – liczba kapitalizacji w ciągu roku (jw., czyli przy rocznej stopie –
w roku, przy miesięcznej – w miesiącu)
K n = K m⋅t
i m⋅t
= K 0 ⋅ (1 + )
m
Model kapitalizacji ciągłej
K t = lim K m⋅t
m →∞
i m⋅t
i m⋅t
= lim K 0 ⋅ (1 + ) = K 0 ⋅ lim (1 + ) =
m →∞
m →∞
m
m
i ⋅t



 

1 
= K 0 ⋅ lim  1 +   = K 0 ⋅ e i⋅t
m →∞ 
m

 
i  



m
i
Kt = K0 ⋅ e
i⋅t
e≈2,71828
Przykład 7
Oblicz wartość przyszłą kwoty 10000 zł, przy
rocznej stopie procentowej 4% oraz założeniu
ciągłej kapitalizacji odsetek, po upływie:
a) roku,
b) pięciu lat,
c) kwartału,
d) miesiąca.
a) Wartość będzie wynosiła 10408,11 zł
b) Wartość będzie wynosiła 12214,03 zł
c) Wartość będzie wynosiła 10100,50 zł
d) Wartość będzie wynosiła 100033,39 zł
Efektywna stopa procentowa
• Efektywna (roczna) stopa procentowa = stopa
procentowa informująca o ile procent
efektywnie (z uwzględnieniem kapitalizacji)
wzrośnie kapitał po roku
• Np. Oprocentowanie lokaty jednodniowej o
oprocentowaniu nominalnym 4% w skali roku,
efektywnie po roku generuje wzrost kapitału
o…
Przykład 8
Oblicz efektywną roczną stopę procentową
czteroprocentowej lokaty jednodniowej.
r n
r n 

I = K n − K 0 = K 0 (1 + ) − K 0 = K 0  (1 + ) − 1
n
n


r n 

K 0  (1 + ) − 1
r n
I
n


re =
=
= (1 + ) − 1
K0
K0
n
0,04 365
re = (1 +
) − 1 ≈ 0,0408
365
Efektywna roczna stopa procentowa czteroprocentowej
lokaty jednodniowej wynosi 4,08%.
re dla kapitalizacji ciągłej
(
)
I = K t =1 − K 0 = K 0 ⋅ e − K 0 = K 0 e − 1
r
(
)
K0 e −1
I
r
re =
=
= e −1
K0
K0
r
r
Przykład 9 – Efektywna stopa dla
okresów powyżej roku
Ile wynosiła efektywna roczna stopa procentowa, jeżeli w wyniku
zainwestowania 20000 zł po 2 latach otrzymaliśmy 35000 zł?
K n = K 0 (1 + re ) n = K 0 (1 + i ) ⇒
1
n
⇒ (1 + re ) n = (1 + i ) ⇒ re = (1 + i ) − 1
I = K n − K 0 = 35000 − 20000 = 15000
i=
I
15000
=
= 0,75
K 0 20000
1
2
re = (1 + 0,75) − 1 ≈ 0,3229
Efektywna roczna stopa procentowa wynosiła 32,29%
Realna stopa procentowa - rR
• Uwzględnia inflację (ri – roczna stopa inflacji). Inflacja
powoduje, że wartość pieniądza wraz z upływem czasu jest
mniejsza... czyli należy ją dyskontować stopą inflacji …
• Na wartość końcową (koniec roku) ma wpływ nominalna
stopa procentowa oraz stopa inflacji:
K0
K1 =
(1 + r )
(1 + ri )
K1 = K 0 (1 + rR )
(1 + r )
(1 + r )
(1 + rR ) =
−1
⇒ rR =
(1 + ri )
(1 + ri )
1 + r − 1 − ri r − ri
rR =
=
1 + ri
1 + ri
Przykład 10a
Roczna nominalna stopa procentowa lokaty
bankowej wynosi 4% i bank kapitalizuje odsetki
co rok. Roczna inflacja wynosi 3%. Oblicz realną
stopę procentową.
r − ri 0,04− 0,03
=
≈ 0,0097
rR =
1+ ri
1+ 0,03
Roczna realna stopa procentowa lokaty bankowej
wynosi 0,97%
Przykład 10b
Po roku inflacja gwałtownie wzrosła do 10% i
bank podniósł stopę procentową o 10%. Ile
wynosi w tym przypadku realna stopa
procentowa?
r − ri 0,14− 0,13
rR =
=
≈ 0,0089
1+ ri
1+ 0,13
Roczna realna stopa procentowa lokaty bankowej
wynosi 0,89%
Przykład 11- stopa netto, brutto
Zakładamy trzymiesięczną lokatę o rocznej stopie procentowej 5% w kwocie
wysokości 10000 zł. Regulamin lokaty ustala utratę odsetek w przypadku
zerwania lokaty przed upływem terminu lokaty oraz w sytuacji, gdy lokata nie
zostanie zerwana, to zostaje automatycznie przedłużona na kolejne okresy.
1. Ile będzie wynosiła wartość lokaty po trzech miesiącach?
2. Ile będzie wynosiła po 6 miesiącach?
3. Ile będzie wynosiła po roku?
4. Ile wynosi efektywna roczna stopa procentowa lokaty?
5. Ile wynosi rzeczywista roczna stopa procentowa lokaty (roczna stopa inflacji
4%)?
r
0,05
K1 = K 0 ⋅ (1 + ) = 10000 ⋅ (1 +
) = 10125
4
4
?
125 − 0,19 ⋅125 = 101,25
I netto = I − 0,19 ⋅ I = 0,81⋅ I
i
K 2 = K 0 ⋅ (1 + 0,81⋅ i ) = K 0 ⋅ (1 + 0,81⋅ ) =
4
0,05
= 10101,25 ⋅ (1 + 0,81⋅
) = 10203,53 = ...
4
... = K 0 ⋅ (1 + 0,81⋅ i ) 2
Stopa procentowa
w okresie kapitalizacji
K n = P ⋅ (1 + 0,81⋅ i ) n
0,05 4
K 4 = P ⋅ (1 + 0,81⋅ i ) = 10000 ⋅ (1 + 0,81⋅
) = 10411,19
4
4
I 411,19
i= =
= 0,041119 ⇒ 4,11%
P 10000
5% → 0,81⋅ 5% = 4,05% ↔ 4,11%
Spłata kredytu w równych kwotach
płatności
An – n-ta kwota płatności,
Rn – n-ta rata płatności,
In – odsetki płacone w n-tej racie płatności,
I – suma wszystkich odsetek,
S – pożyczona kwota (wysokość kredytu),
Sn – reszta długu pozostała do spłaty po n ratach.
An=Rn+In
A = A1 = A2 = … = An
Spłata kredytu w równych kwotach
płatności
Źródło: [1 s. 27]
n
An
Ak
A1
A2
S=
+
+ ... +
=∑
2
n
k
1 + i (1 + i )
(1 + i )
(
1
+
i
)
k =1
n
A
A
A
A
S=
+
+ ... +
=∑
2
n
k
1 + i (1 + i )
(1 + i )
(
1
+
i
)
k =1
Suma n wyrazów
ciągu
geometrycznego
1− q
ˆ
S n = a1 ⋅
1− q
A
1
a1 =
,q =
1+ i
1+ i
n
n
 1 
1− 

A
1+ i 

S=
⋅
1+ i 1− 1
1+ i
n
n
(1 + i ) − 1
i ⋅ (1 + i )
S = A⋅
⇒ A=S⋅
n
i ⋅ (1 + i )
(1 + i ) n − 1
...
Spłata kredytu w równych ratach
płatności
R = R1 = R2 = … = R n
S = R1 + R2 + ... + Rn
R = R1 = R2 = ... = Rn
S
S = n⋅R ⇒ R =
n
Przykład 12
Bank zaproponował udzielenie kredytu na kwotę 10000 zł
w dwóch wersjach. Kredyt ma być spłacony w ciągu pół
roku w comiesięcznych płatnościach. W pierwszej wersji
roczna stopa procentowa wynosi 12%, a prowizja za
udzielnie kredytu 2% (dopisywana do salda kredytu). W
drugiej wersji prowizja wynosi 0%, a roczna stopa
procentowa 18%.
a) Ułóż tabelę amortyzacji kredytu w równych kwotach
płatności dla obu wersji kredytu.
b) Ułóż tabelę amortyzacji kredytu w równych ratach
płatności dla obu wersji kredytu.
a) Wersja 1
Kwota płatności
i ⋅ (1 + i )
A=S⋅
=
n
(1 + i ) − 1
n
0,01⋅ (1 + 0,01)
= 10200 ⋅
=
1759
,
99
6
(1 + 0,01) − 1
6
a) Wersja 1
Stopa procentowa
w okresie
płatności
Prowizja
10000
A=1759,99
Lp
1
2
3
4
5
6
2%
10200
Saldo początkowe Odsetki
10200
8542,01
6867,43
5176,11
3467,88
1742,57
102
85,42
68,67
51,76
34,68
17,43
0,01
Rata
kapitałowa
1657,99
1674,57
1691,32
1708,23
1725,31
1742,57
10200,00
Płatność Saldo końcowe
1759,99
1759,99
1759,99
1759,99
1759,99
1759,99
8542,01
6867,43
5176,11
3467,88
1742,57
0,00
a) Wersja 2
Kwota płatności
i ⋅ (1 + i )
A=S⋅
=
n
(1 + i ) − 1
n
0,015 ⋅ (1 + 0,015)
= 10000 ⋅
=
1755
,
25
6
(1 + 0,015) − 1
6
a) Wersja 2
Stopa procentowa
w okresie
płatności
Prowizja
10000
A=1755,25
Lp
1
2
3
4
5
6
0%
10000
Saldo początkowe Odsetki
10000
8394,75
6765,42
5111,65
3433,07
1729,31
150
125,92
101,48
76,67
51,50
25,94
0,015
Rata
kapitałowa
1605,25
1629,33
1653,77
1678,58
1703,76
1729,31
10000,00
Płatność
1755,25
1755,25
1755,25
1755,25
1755,25
1755,25
Saldo
końcowe
8394,75
6765,42
5111,65
3433,07
1729,31
0,00
b) Wersja 1
Lp
Saldo początkowe Odsetki
Rata
kapitałowa
Płatność
Saldo
końcowe
1
10200
102
1700,00
1802,00
8500,00
2
8500,00
85
1700,00
1785,00
6800,00
3
6800,00
68
1700,00
1768,00
5100,00
4
5100,00
51
1700,00
1751,00
3400,00
5
3400,00
34
1700,00
1734,00
1700,00
6
1700,00
17
1700,00
1717,00
0,00
10200,00
b) Wersja 2
Lp
Saldo początkowe Odsetki
Rata
kapitałowa
Płatność
Saldo
końcowe
1
10000
150
1666,67
1816,67
8333,33
2
8333,33
125
1666,67
1791,67
6666,66
3
6666,66
100
1666,67
1766,67
4999,99
4
4999,99
75
1666,67
1741,67
3333,32
5
3333,32
50
1666,67
1716,67
1666,65
6
1666,65
25
1666,65
1691,65
0
10000,00
Koszt kredytu
1. Im częściej płacimy odsetki od kredytu, tym
większy koszt kredytu
2. Częstość spłaty kapitału nie ma wpływu na
koszt kredytu
Przykład 13
Zaproponowano Ci zaciągnięcie kredytu w
wysokości S na n miesięcy w dwóch bankach.
Oprocentowanie w obu bankach jest takie samo.
W pierwszym banku odsetki mają być płacone
jednokrotnie przy zwrocie kredytu. W drugim
banku po każdym miesiącu. Kapitał jest spłacany
jednorazowo pod koniec n-tego miesiąca. Która
oferta jest lepsza i dlaczego?
Pierwszy bank: I = n ⋅ S ⋅ i
Drugi bank:
1
I = K, I
2
2
t
= S ⋅ i ⇒ I ' = S ⋅ i ⋅ (1 + i )
2
1
I ' 2 = S ⋅ i ⋅ (1 + i )
2
n
n−2
⇒ I ' t = S ⋅ i ⋅ (1 + i )
2
n
I = ∑ I ' t =∑ S ⋅ i ⋅ (1 + i )
2
2
t =1
t =1
[
n −t
n
n −t
= S ⋅ i ⋅ ∑ (1 + i )
t =1
]
1 − (1 + i )
n
= S ⋅i ⋅
= S ⋅ (1 + i ) − 1
1 − (1 + i )
n
n −1
n −t
=
Porównanie:
I = n ⋅ S ⋅i
1
[
]
I = S ⋅ (1 + i ) − 1
2
n
i > 0, , (1 + i ) − 1 > n ⋅ i ⇒ I > I
n
2
((1 + i ) n − 1) − (n ⋅ i ) = (1 + i ) n − 1 − n ⋅ i =
= (1 + i ) n − (1 + n ⋅ i ) = ...
Odsetki w modelu
kapitalizacji
złożonej
Odsetki w modelu
kapitalizacji prostej
1
Konwersja kredytu, czyli zmiana
warunków spłaty kredytu
Przykład 14. Udzielono rocznego kredytu na kwotę
10000 zł. Stopa procentowa wynosiła 10% w
stosunku rocznym, a plan spłaty przewidywał spłatę
kredytu w równych comiesięcznych kwotach
płatności. Po dokonaniu dwóch płatności
kredytobiorca zwrócił się z prośbą o obniżenie stopy
oprocentowania do 7%. Kredytodawca wyraził zgodę,
przy czym jako opłaty za zmianę warunków zażądał
200 zł doliczone do salda kredytu. Ułóż tabelę
amortyzacji kredytu i oceń czy konwersja była
opłacalna.
Bez konwersji
879,16
L.p.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Saldo
Odsetki
początkowe
10000,00
83,33
9204,17
76,70
8401,72
70,01
7592,57
63,27
6776,69
56,47
5954,00
49,62
5124,46
42,70
4288,00
35,73
3444,58
28,70
2594,12
21,62
1736,58
14,47
871,89
7,27
Rata
Płatność
795,83
802,46
809,14
815,89
822,69
829,54
836,46
843,43
850,45
857,54
864,69
871,89
879,16
879,16
879,16
879,16
879,16
879,16
879,16
879,16
879,16
879,16
879,16
879,16
Saldo
końcowe
9204,17
8401,72
7592,57
6776,69
5954,00
5124,46
4288,00
3444,58
2594,12
1736,58
871,89
0,00
Konwersja
893,63
L.p.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Saldo
Odsetki
początkowe
10000,00
83,33
9204,17
76,70
8601,72
60,21
7768,29
54,38
6929,04
48,50
6083,91
42,59
5232,86
36,63
4375,85
30,63
3512,85
24,59
2643,81
18,51
1768,68
12,38
887,42
6,21
Rata
Płatność
795,83
802,46
833,42
839,26
845,13
851,05
857,00
863,00
869,04
875,13
881,25
887,42
879,16
879,16
893,63
893,63
893,63
893,63
893,63
893,63
893,63
893,63
893,63
893,63
Saldo
końcowe
9204,17
8401,72
7768,29
6929,04
6083,91
5232,86
4375,85
3512,85
2643,81
1768,68
887,42
0,00
Konsolidacja kredytów, czyli łączenie
kredytów
Przykład 15. Kredytobiorca spłaca 2 kredyty
zaciągnięte w tym samym banku. W momencie
negocjacji miał do spłacenia:
- 6 miesięcznych płatności po 1000 zł każda, przy
rocznej stopie procentowej 10%,
- 12 miesięcznych płatności po 500 zł każda, przy
rocznej stopie 7%.
Zamień te dwa kredyty na jeden skonsolidowany,
spłacany przez 10 miesięcy w równych płatnościach
przy rocznej stopie procentowej 8%.
Obecna wartość długu:
• Dla pierwszego kredytu:
0,1 6
(1 + ) − 1
(1 + i ) n − 1
12
S1 = A ⋅
=
1000
⋅
= 5828,82
n
0,1
0,1 6
i ⋅ (1 + i )
(1 + )
12
12
• Drugiego:
0,07 12
(1 +
) −1
(1 + i ) n − 1
12
S2 = A ⋅
=
500
⋅
= 5778,56
n
0,07
0,07 12
i ⋅ (1 + i )
(1 +
)
12
12
Tabela amortyzacji
1203,72
L.p.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Saldo
początkowe
11607,38
10481,04
9347,19
8205,78
7056,76
5900,09
4735,70
3563,55
2383,58
1195,75
Odsetki
Rata
Płatność
77,38
69,87
62,31
54,71
47,05
39,33
31,57
23,76
15,89
7,97
1126,34
1133,85
1141,41
1149,02
1156,68
1164,39
1172,15
1179,97
1187,83
1195,75
1203,72
1203,72
1203,72
1203,72
1203,72
1203,72
1203,72
1203,72
1203,72
1203,72
Saldo
końcowe
10481,04
9347,19
8205,78
7056,76
5900,09
4735,70
3563,55
2383,58
1195,75
0,00
Metody oceny opłacalności
inwestycji
Agenda
1. Metody statyczne
• Okres zwrotu nakładów inwestycyjnych
• Księgowa stopa zwrotu
• Analiza progu rentowności
2. Metody dynamiczne
• Wartość zaktualizowana netto (NPV)
• Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR)
• Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu
(MIRR)
• Wskaźnik rentowności
Metody statyczne
• Metody niedyskontowe
• Zalecane we wstępnych analizach
• Umożliwiają wstępną selekcję projektów
Metody dynamiczne
• Metody dyskontowe
• Umożliwiają porównanie inwestycji w różnych
okresach czasu
• Umożliwiają zwiększenie precyzji oceny
Oceń opłacalność inwestycji
• Założenie: roczna stopa procentowa 10%
PROJEKT Z
PROJEKT N
Nakłady
Wpływy
Nakłady
Wpływy
1500
2000
200
100
100
100
3000
2100
3000
9900
6000
Okres zwrotu nakładów
• Czas niezbędny do tego, aby poniesione nakłady
zostały zrównane z zyskami z przedsięwzięcia
,
T – okres zwrotu w latach
I – suma nakładów inwestycyjnych
CF – (średni) roczny zysk z przedsięwzięcia
Okres zwrotu nakładów inwestycyjnych
Z
N
I=
2000
2000 lata
cum CF=
-1500
-2000
1
-1700
-2000
2
-1800
-2000
3
-1900
-2000
4
-2000
1000
5
100
6
LEPSZY
Księgowa stopa zwrotu
• Stopa zwrotu z inwestycji
=
– przeciętny (roczny) zysk netto
– wartość (początkowych) nakładów
inwestycyjnych
Księgowa stopa zwrotu
Z
N
Zn
1428,571 1428,571
I
2000
2000
Próg rentowności
• Ilościowy i wartościowy
• Informuje o minimalnej wielkości produkcji
zapewniającej równowagę między przychodami a
nakładami
=
−
- koszt stały
z - jednostkowy koszt zmienny
- cena jednostkowa
Produkcja wieloasortymentowa
=
i
∑
( −
)
– udział i-tego produktu w całkowitej produkcji
NPV
#$%
%
!="
−"
%
(1 + ()
(1 + ()%
%
%
lata
1
2
3
4
5
6
7
NPV=
NPV
Z
N
-1500
-2000
-181,818
0
-82,6446
0
-75,1315
0
-68,3013 2049,04
1303,935 1862,764
5588,292 3386,844
4984,331 5298,648
LEPSZY
IRR
Rozwiązanie równania:
"
%
(1 +
Przybliżona wartość:
#$%
)%
=0
!((* − ( )
=( +
! + | !|
r1 - stopa procentowa dla NPV>0, r2 - dla NPV<0
PV - NPV przy stopie r1
NV - NPV przy stopie r2
lata
1
2
3
4
5
6
7
NPV=
IRR=
IRR
Z
N
-1500
-2000
-143,62435
0
-51,569883
0
-37,033454
0
-26,594528 741,021445
401,060282
522,406
1357,76193 736,572555
0
0
0,39252156 0,41847805
LEPSZY
MIRR
• Uwzględnia możliwość reinwestycji
• Średniookresowe zaktualizowane wartości
wpływów na koniec projektu w stosunku do
średniookresowych zaktualizowanych
nakładów na początku realizacji projektu …
minus 1.
.
∑% #$% (1 + () -%
,
=
−1
.
%
∑%
(1 + ()%
MIRR
Z
N
lata
zakt. Nakł.zakt. Wpływy zakt. Nakł. zakt. Wpływy
0
1500
0
2000
0
1 181,8182
0
0
0
2 82,64463
0
0
0
3 75,13148
0
0
0
4 68,30135
0
0
3630
5
0
2310
0
3300
6
0
9900
0
6000
Suma
1907,896
12210
2000
12930
MIRR
0,362574242
0,364880895
LEPSZY
Wskaźnik rentowności
• Efektywność inwestycji
=
∑%
∑%
#$ / %
(1 + ()%
#$ - %
(1 + ()%
PI
Z
N
lata
NPVNPV+
NPVNPV+
0
1500
0
2000
0
1 181,8182
0
0
0
2 82,64463
0
0
0
3 75,13148
0
0
0
4 68,30135
0
0 2049,04
5
0 1303,935
0 1862,764
6
0 5588,292
0 3386,844
Suma
1907,896 6892,227
2000 7298,648
PI
3,612475734
3,649323958
LEPSZY
Dziękuję