ZESTAW III Granica funkcji Zadanie 1. Korzystając z definicji

ZESTAW III Granica funkcji Zadanie 1. Korzystając z definicji

ZESTAW III
Granica funkcji
Zadanie 1. Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji uzasadnić równości
2x
x2
a) limx→4 (2x − 7) = 1; b) limx→∞ x+1
= 2;
c) limx→−1 x+3
= 21 ;
√
4
d) limx→1 xx2 −1
e) limx→1 x + 8 = 3; f ) limx→0+ √1x = +∞.
−1 = 2;
Zadanie 2. Korzystając z definicji Heinego granicy jednostronnej funkcji w punkcie uzasadnić równości
x
a) limx→0+ ∣x∣
= 1;
d) limx→1−
3
(x−1)2
b) limx→3− ⌊x⌋ = 2;
= +∞;
e) limx→2+
1
x−2
x4 −1
x−1 = 4;
2−x
limx→3+ x2 −2x−3
=
c) limx→1−
f)
= +∞;
−∞.
Zadanie 3. Uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją
b) limx→0 sin x1 ; c) limx→1 ∣x−1∣
a) limx→0 x13 ;
x−1 ;
1
d) limx→−2 ⌊x⌋;
f ) limx→1 ln1x .
e) limx→0 3 x ;
Zadanie 4. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice
1
b) limx→0 x⌊x⌋;
c) limx→0 e− x ;
a) limx→1 x+1
x−1 ;
d) limx→−2 ∣x+2∣
2+x ;
3
)
e) limx→0 sgn(x
sgn(x) ;
3
f ) limx→3 ⌊−x⌋
⌊x⌋ .
Zadanie 5. Obliczyć granice
√
√
3
2 +x−1
1+x− 1−x
a) limx→1 xx3 −x
;
b)
lim
;
2
x→0
+x −x−1
x
√
d) limx→100
g) limx→4
x−10
x−100 ;
√
5−x−1
x−4 ;
e) limx→−∞
h) limx→+∞
√
4 4
x +1
;
x
(2x2 +1)
(
4x3 +3
x
x
e)
2
)
Zadanie 6. Obliczyć granice
√
a) limx→+∞ ( x + 1 − x); b) limx→0+
−3
d) limx→+∞ 32x −4⋅2
x;
f)
3
;
√
√1+x+2 ;
1+x2
25x −9x
limx→0 5x −3x ;
c) limx→+∞
i) limx→−1 xx5 −2x−1
−2x−1 .
x4 −x2 +1
x5 +x3 +x ;
2x+1
)
limx→+∞ ( x−3
;
x+2
1
3
−3
c) limx→−∞ 32x −4⋅2
x;
x
x
x2 −x
+1
)
f ) limx→+∞ ( 3x
2x2 +1
2
.
Ciągłość funkcji
Zadanie 7. Sprawdzić z definicji (Heinego, Cauchy’ego), czy następujące funkcje f ∶ A → R
są ciągłe
a) A = R, f (x) = x4 + 1;
b) A = R/{0}, f (x) = − x1 ;
c) A = R/{−1}, f (x) =
5x+2
x+1 ;
⎧
⎪
⎪ − 1 x2 dla x ≤ 2
d) A = R, f (x) = ⎨ 2
⎪
dla x > 2.
⎪
⎩ x
⎧
− 1
⎪
⎪ e x2
e) A = R, f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ 0
dla x ≠ 0
dla x = 0.
⎧
⎪
⎪ x dla x ∈ Q
f) A = R, f (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ 0 dla x ∉ Q.
g) A = R, f (x) = x − [x].
Zadanie 8. Zbadać ciągłość funkcji
√
⎧
⎪
x dla 0 ≤ x ≤ 1
2
⎪
⎪
⎪
⎪
a) f (x) = ⎨ 4 − 2x dla 1 < x < 2, 5
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 2x − 7 dla 2, 5 ≤ x.
⎧
x3 −x2
⎪
⎪ ∣x−1∣ dla x ≠ 1
b) f (x) = ⎨
⎪
dla x = 1.
⎪
⎩ 1
c) f (x) =
sgn x2
sgn(x−3) ;
d) f (x) = ⌊x⌋;
e) f (x) = (x3 − x)⌊x⌋;
f) f (x) = ⌊x⌋(x − 1).
2