7. Całka Riemanna — funkcje pierwotne — rozwiązania Zadanie 7.1

7. Całka Riemanna — funkcje pierwotne — rozwiązania Zadanie 7.1

7. Całka Riemanna — funkcje pierwotne — rozwiązania
Zadanie 7.1. Wyznaczyć funkcje pierwotne
R 2 3
3 2
3 4
1 6
(a) (x −1)
x √ dx = 2 x − 4 x + 6 x − ln x + C,
R x√
3 x+ 4 x
4
1/3
(b)
+ C,
x2 √ dx = − 3x3/4 + 3x
R
216 5/4
3
4
(c) (3 + 2 x) dx = 27x + 5 x + 24x3/2 +
√
R
3 2
x
4/3
(d) 3+5√
dx = 92 x2/3 + 15
+ C.
3 x
4 x
32 7/4
7 x
+ C,
Zadanie 7.2. Wyznaczyć funkcje pierwotne stosując metodę całkowania przez części
R
(a) R x2 ex dx = ex (2 − 2x + x2 ) + C,
(b) R x4 e2x dx = 14 e2x (3 − 6x + 6x2 − 4x3 + 2x4 ) + C,
(c) R x2 cos x dx = 2x cos x + (−2 + x2 ) sin x + C,
(d) R (x2 + 1) ln x dx = ( 13 x3 + x) ln x − 19 x3 − x + C,
(e) R ln x dx = x(ln x − 1) + C,
(f) ex cos x dx = 12 ex (cos x + sin x) + C,
√
R
(g) R x arc sin x dx = 41 x 1 − x2 + (−1 + 2x2 ) arc sin x + C,
1 −x
(h) e−x cos 32 x dx = 13
e (−9 cos 32 x + 6 sin 23 x) + C.
Zadanie 7.3. Wyznaczyć funkcje pierwotne stosując metodę całkowania przez podstawienie
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
√ dx
=
a2 −x2
dx
√
=
a2 +x2
2
5
arc sin xa + C,
√
R
ln |x + a2 + x2 | + C,
R
1
(x + 4) x dx = 12
(4 + x2 )6 + C,
R x dx
1
(x2 +3)6 = − 10(3+x2 )5 + C,
R√
2
(a + bx)3/2 + C,
a + bx dx = 3b
R √
1
2
x 1 + x dx = 3 (1 + x2 )3/2 + C,
R x−1
√
dx = 35 (−4 + x)(1 + x)2/3 + C,
3
x+1
R x2 dx
5
√
= 12
(1 + x3 )4/5 + C,
5 3
R x−x+1
2
2
dx = − 12 e−x + C,
R xe
x sin(2x2 + 1) dx = − 14 cos(1 + 2x2 ) + C,
R cos x
√
√
dx = 2 1 + sin x + C,
1+sin x
R
R
(l) R
(m)
R
(n)
R
(o)
R
(p)
R
(q)
R
(r)
R
(s)
R
(t)
R
(u) R
(v)
cos xesin x dx = esin x + C,
tg x
1
2
cos2 x dx = 2 tg x + C,
2
3
1
ln x
x dx = 3 ln x + C,
1
ex dx
= 2 ln(1 + 2ex ) + C,
2e
√x +1
2+ln |x|
dx = 23 (2 + ln |x|)3/2 + C,
x
dx
√
= arc sin ln |x| + C,
2
x
1−ln |x|
2
2
xex (x2 + 1) dx = 21 ex x2 + C,
dx
(1+x2 ) arc tg x = ln arc tg x + C,
1
x dx
2
x4 +1 = 2 arc tg x + C,
tg x dx = − ln cos x + C,
ctg x dx = ln sin x + C.
Zadanie 7.4. Wyznaczyć funkcje pierwotne stosując metody całkowania przez części i przez podstawienie
√
R√
(a)
a2 − x2 dx = 12 x a2 − x2 + a2 arc tg √a2x−x2 + C,
√
√
R√
(b)
a2 + x2 dx = 12 x a2 + x2 + 12 a2 ln(x + a2 + x2 ) + C,
√
R
(c) R arc sin x dx = 1 − x2 + x arc sin x + C,
(d) arc tg x dx = x arc tg x − 12 ln(1 + x2 ) + C,
R
(e) R ln3 |x| dx = −6x + 6x ln x − 3x ln2 x + x ln3 x + C,
√
2 3/2
x ln3 |x| dx = 27
x (−16 + 24 ln x − 18 ln2 x + 9 ln3 x) + C,
(f)
R ln2 x
√
√ dx = 2 x(8 − 4 ln x + ln2 x) + C,
(g)
R xx2
(h) x2 +1 arc tg x dx = x arc tg x − 21 arc tg2 x − 21 ln(1 + x2 ) + C,
R
(i) √1−x2 dx
= − 13 arc cos3 x + C,
arc cos2 x
R arc tg x
x+2 arc ctg x+arc tg x+x2 arc tg x
(j) x(1+x
+ C,
2 2 dx = −
4+4x2
√
R arc sin )x
1
(k)
dx
=
−
arc
sin
x
+
ln
x
−
ln(1
+
1
− x2 ) + C,
2
x
R 3x
x
x3
1
x4
(l) x arc tg x dx = 4 − 12 − 4 arc tg x + 4 arc tg x + C,
R x −x
2x
(m) eex −e
) + C,
−x dx = −x + ln(1 + e
R +e
dx
x
(n) ex +e−x = arc tg e + C,
R
x
1
(o) (exe−1)2 dx = 1−e
x + C,
R x√
2
x
(p) R e 1 + e dx = 3 (1 + ex )3/2 + C,
(q) R x3 e−x dx = e−x (−6 − 6x − 3x2 − x3 ) + C,
(r) x dx
ln x = ln ln x + C,
1
R
(s) R ln(x2 + 1) dx = −2x + 2 arc tg x + x ln(1 + x2 ) + C,
(t) ln2 x dx = 2x − 2x ln x + x ln2 x + C,
R
x7x
+ C,
(u) x7x dx = ln(7x)
R ln x
1
(v)
dx
=
−
(1
+
ln x) + C.
x2
x
Zadanie 7.5. Wyznaczyć funkcje pierwotne funkcji wymiernych
R dx
1
(a) (3x−2)
4 = (9(2−3x)3 + C,
R 2x−3
(b) x2 −3x+3 dx = ln(3 − 3x + x2 ) + C,
R
5
(c) 2x22x+6
+3x+1 dx == 2 −2 ln(1 + x) + 2 ln(1 + 2x) + C,
R 4x−5
(d) 2x2 −5x+3 dx = ln(3 − 5x + 2x2 ) + C,
R 5 x−16
(e) x26+3x−18 dx = − 32 ln(3 − x) + 73 ln(6 + x) + C,
R
dx
(f) 6x2 −13x+6
dx = − 15 ln(2 − 3x) + 15 ln(3 − 2x) + C,
R 7x
7
(g) 4+5x2 dx = 10
ln(4 + 5x2 ) + C,
√
R
ln( 5−1+2x)
dx
√
√1
(h) 1+x−x
+ C,
2 dx =
5 ln( 5+1−2x)
R 3x+2
8
1
(i) x2 −x−2 dx = 3 ln(2 − x) + 3 ln(1 + x) + C,
R
1
1
(j) 4x2x−1
−4x+1 dx = 4 −1+2x + ln(1 − 2x) + C,
R 3x+1
5
(k) (x+2)
2 dx = 2+x + 3 ln(2 + x) + C,
R
dx
1
√
(l) 3x2 +2x+1 = √2 arc tg 1+3x
+ C,
2
R 2x2 +7x+20
15
3+x
5
2
(m)
2 +6x+25 dx = 2x − 4 arc tg
4 − 2 ln(25 + 6x + x ) + C,
R xx3 −4x
2
+1
7
1 2
(n)
−2 + −2+x + 2 x − 4 ln(x − 2) + C,
(x−2)2 dx = R 2x+1
+ C,
(o) (x2 +1)2 dx = 12 (xx−2
2 +1 + arc tg x
R 2x3 −19x2 +58x−42
14
2
(p)
− 4) + C,
x2 −8x+16 dx = −4 − x−4 − 3x + x + 2 ln(x
q √
R 72x6
8
(q) 3x2 +2 dx = 45
60x − 30x3 + 27x5 − 20 6 arc tg 32 x + C,
Zadanie 7.6. Wyznaczyć funkcje pierwotne funkcji niewymiernych
R dx
√
= 12 3 + 4x + C,
(a) √3+4x
R
dx
√
= 54 (1 + 2x)2/5 + C,
(b)
5
(2x+1)3
R √
1
(c) x 3 3x − 1 dx = 28
(−1 + 3x)4/3 (1 + 4x) + C,
R √
2
(d) x 1 − 5x dx = √5 (−x)5/2 + C,
√
R
√
√
a+x
√
=
2
a
+
x
−
2
a
arctgh
+ C,
(e) x√dx
a
x+a
√
√
R x
√
1−√x
(f) x−1 dx = 2 x + ln 1+ x + C,
R
√
dx√
(g) √x+1+
= 6(1 + x)1/6 − 3(1 + x)1/3 + 2 1 + x − 6 ln(1 + (1 + x)1/6 ) + C,
3
x+1
q
q
√
√
√
R 1−x dx
(1− 1+x)(2+ 1−x+ 1+x)
1+x
√
√
√
(h)
1+x x = −2 arc sin
2 + ln (2+ 1−x− 1+x)(1+ 1+x) + C,
R
dx
1
(i) √7−6x−x2 = − arc sin 4 (−3 − x) + C,
√
R
x dx
1
(j) √1−2x−3x
= − 13 1 − 2x − 3x2 + 3√
arc sin 12 (−1 − 3x) + C,
2
3
√
R 6x+5
(k) √6+x−x2 dx = −6 6 + x − x2 − 8 arc sin 15 (1 − 2x) + C,
√
R
x+1
(l) √8+2x−x
dx = − 8 + 2x − x2 − 2 arc sin 13 (1 − x) + C,
2
√
R
(m) √4x2dx
= 21 ln(3 + 8x + 4 −1 + 3x + 4x2 ) + C,
+3x−1
√
R
(n) √ dx
dx = ln(2 − x − 3 − 4x + x2 ) + C,
(x−1)(x−3)
R√
√
√
√
√ 2x − x2 dx = 12
−2 + x(−1 + x) x − 2 ln −2 + x + x + C,
(o)
√
R√
(p)
3 − 2x − x2 dx = 12 (1 + x) 3 − 2x − x2 + 2 arc sin 12 (1 + x) + C,
√
R x2
(q) √1−x2 dx = − 12 x 1 − x2 + 12 arc sin 12 x + C,
√
R 2
(r) 2x√+3x+1
dx
=
(3
+
x)
1 + x2 + C,
2
+1
√
R x3x−x+1
(s) √x2 +2x+2 dx = 16 2 + 2x + x2 (1 − 5x + 2x2 ) + 25 arsinh(1 + x) + C,
√
√
R
4
3
1 3
(t) √5xx2 +4 dx = 4 + 5x2 − 50
x + 20
x + 256√5 arsinh 25 x + C,
R
−2+x
(u) x√x2dx
= arc tg 2√−1+x+x
+ C,
2
+x−1
2
(v)
R
√ dx
x4 3−2x+x2
=
1
162x3
√
√
−3 3 − 2x + x2 (6 + 5x + x2 ) − 4 3x3 ln
√
3−x+
x
3(3−2x+x2 )
+ C.
Zadanie 7.7. Wyznaczyć funkcje pierwotne funkcji trygonometrycznych
R
1
(a) R cos(5x) cos(7x) dx = 14 sin 2x + 24
sin 12x + C,
1
1
2
(b) R cos(2x) sin(4x) dx = − 2 cos x − 12 cos 6x + C,
1
(c) cos3 x dx = 38 sin 2x + 24
sin 6x + C,
R
2
1
x
(d) R sin x dx = 2 − 4 sin 2x + C,
(e) R tg5 x dx = − ln cos x − sec2 x + 14 sec4 x + C,
(f) ctg4 x dx = x + 43 ctg x − 13 ctg x csc2 x + C,
R
5
3
1
5
cos x− 4 096
cos 3x+ 4 096
cos 5x+ 14 3336 cos 7x− 6 144
cos 9x− 45 1056 cos 11x+
(g) sin7 x cos6 x dx = − 1024
1
cos 13x + C,
R53 248
1
(h) R sin2 x cos2 x dx = x8 − 32
sin 4x + C,
cos x
1
7
(i) sin8 x dx = − 7 csc x + C,
R
cos x +sin x
(j) sin x tg x dx = ln cos x2 −sin x2 − sin x + C,
2
2
R
3
x
dx = − 12 ctg x2 − sin x − 12 tg x2 + C,
(k) cos
sin2 x
2 x
1
R
sin x
2 + 8 sec 2
(l) sindx3 x = − 18 csc2 x2 + 12 ln
+ C,
cos x
2
R
dx
√1 ln | tg( π + x )| + C,
(m) sin x+cos
=
x
8
2
2
R
1
x cos x
dx
=
−
arc
tg
cos
2x + C.
(n) sinsin
4 x+cos4 x
2
3