55 MG 3. Jak matematyka for

Biuro Projektu INTERBLOK: ul. Stradomska 10, 31-058 Kraków, Tel: 12-422-26-08 Fax: 12-421-67-45
Bank PKO bp I/O Kraków; 10 1020 2892 0000 5902 0427 5400
55. Jak matematyka rozwiązuje problemy społeczno - ekonomiczne?
W pewnej niewielkiej pod względem liczby mieszkańców gminie, zbliżały się wybory na wójta
gminy. Do tej pory wygrywał zawsze ten człowiek, który był najbardziej popularnym i
najbogatszym spośród mieszkańców. Niestety za każdym razem było tak, że wójt bogacił się coraz
bardziej i nigdy nie przeprowadzał inwestycji, które byłyby korzystne dla mieszkańców gminy.
Postanowiono tym razem w wyborach, postawić na intelekt, spryt i pomysłowość przyszłego
wójta. W gminie były trzy wsie. Na mapie miejscowości te tworzyły trójkąt. Były położone w
atrakcyjnym miejscu pod względem krajobrazowym, otoczone lasem, dlatego bardzo szybko się
zaludniały. Obywatele postanowili zbudować oczyszczalnię ścieków dla swoich miejscowości.
Niestety pieniądze, które gmina mogła na ten cel przeznaczyć były ograniczone, należało zatem
wyznaczyć takie miejsce, które będzie najbardziej ekonomiczne. Wójt musiał wziąć pod uwagę
fakt, że ekonomiczne dla gminy będzie dobre położenie oczyszczalni. Transport 1m3 ścieków na
odległość 100m kosztował 2,5zł. Mieszkańcy postanowili, że wyborach na wójta gminy zagłosują
na osobę, która znajdzie rozwiązanie problemu miejsca, w którym miałaby stanąć oczyszczalnia.
W trzech odległych wsiach mieszkało odpowiednio 200, 300 i 500 osób. Należało założyć, że
każda osoba produkuje średnio taką samą ilość ścieków. Miejscowości były położone w
odległościach 10km, 20km i 15km od siebie.
Przed przyszłym wójtem postawiono dwa zadania:
1. Wykonania mapy w odpowiedniej skali i podania sposobu znalezienia takiego miejsca na
oczyszczalnię, aby koszt postawienia i użytkowania oczyszczalni był najtańszy.
2. W okolicy miało powstać pole z drewnianymi domkami campingowymi. W ten sposób gmina
postanowiła zarobić dodatkowe pieniądze. Na polu miało stanąć 20 takich domków
połączonych wyłożonymi kostką brukową ścieżkami. Zadaniem przyszłego wójta było
zaprojektowanie pola campingowego tzn. rozmieszczenia domków ze ścieżkami tak, żeby
od jednego domku do drugiego można było przejść po ścieżkach, których łączna długość
byłaby najkrótsza.
3. Ostatnie zadanie dla kandydatów na wójta było związane z inwestycją długoterminową. Przez
gminę przepływała rzeka, która w pewnym miejscu rozwidlała się, dzięki czemu powstały
dwie oddzielone od lądu wyspy. Mieszkańcy chcieli wybudować swoje domy na obu wyspach.
Chcieli połączyć wyspy między sobą a także wyspy ze stałym lądem, w sumie pięcioma
mostami. Chcieli, aby przyszły wójt zdecydował, czy będzie to możliwe, aby wyjść z jednego
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Biuro Projektu INTERBLOK: ul. Stradomska 10, 31-058 Kraków, Tel: 12-422-26-08 Fax: 12-421-67-45
Bank PKO bp I/O Kraków; 10 1020 2892 0000 5902 0427 5400
miejsca, przejść każdy most tylko jeden raz i wrócić z powrotem do miejsca, z którego
wyszliśmy.
Jak poradziłbyś sobie z wykonaniem tych zadań, gdybyś był kandydatem na przyszłego wójta w
tej gminie?
Przedstaw rozwiązania dwóch problemów, przed którymi stanęli kandydaci na wójta
z wykorzystaniem dowolnych pomocy i narządzi.
1. Wariant 1 wykonania prototypu
Kolejność działań:
1. Przygotuj płytę wiórową o rozmiarze 0,5m na 0,7m,
2. Przeskaluj odległości pomiędzy wsiami tak, żeby zmieściły się na płycie,
3. Wyznacz na płycie położenia każdej miejscowości z zastosowaniem skali,
4. W miejscach gdzie znajdują się trzy wsie, wywierć wiertarką okrągłe otwory średnicy około
1cm,
5. Makietę z wyżłobionym otworami ustaw tak, aby bezpośrednio pod otworami było puste
miejsce(nie może karton całą swoją powierzchnią leżeć na stole). Tak jakbyś z makiety zrobił
blat stołu, powinna mieć położenie poziome,
6. Sznurek podziel na trzy równe części, zwiąż wspólnymi końcami w mocny supeł,
7. Doczep odważniki: na jednym 20dag, na drugim 50 dag, na trzecim - jeden pod drugim 10dag
i 20dag(razem musi być 30dag),
8. Supeł, którym związane są odważniki wyznaczy miejsce, w którym powinna być zbudowana
oczyszczalnia,
9. Doklej tam kartonowe pudełeczko będzie imitowało budynek oczyszczalni,
10. Makietę tak zaprojektowaną można wykorzystać do wyznaczenia miejsca, w którym mógłby
stanąć budynek, gdyby w podanych miejscowościach mieszkała inna ilość osób. Należy
obciążyć je obciążnikami odpowiadającymi wagą liczbie osób zamieszkujących wszystkie
wsie,
11. Przygotuj kartkę formatu A3, nanieś na nią w zupełnie dowolnym miejscu 20 punktów, w
których będą znajdować się domki campingowe,
12. Na kartce z 20 wyznaczonymi punktami, w których mają znajdować się domki campingowe,
wybieramy dowolny punkt. Oznaczamy go np.1. Szukamy punktu położonego najbliżej
punktu 1 i łączymy oba linią. Tak wybrany punkt oznaczamy 2. Następnie szukamy punktów
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Biuro Projektu INTERBLOK: ul. Stradomska 10, 31-058 Kraków, Tel: 12-422-26-08 Fax: 12-421-67-45
Bank PKO bp I/O Kraków; 10 1020 2892 0000 5902 0427 5400
położonych najbliżej punktów 1 i 2. Wybieramy ten, który jest bliższy jednego z nich.
Oznaczamy go 3 i łączymy z punktem, do którego był bliższy. Postępujemy tak do momentu,
kiedy wszystkie punkty połączymy liniami,
13. W ten sposób wyznaczysz ścieżki między domkami tak, żeby zużyć najmniej kostki brukowej
na ich zbudowanie.
14. Zbuduj makietę zgodną z opisem 3 zadania. Drewnianą sklejkę o rozmiarze 50cm na 30cm
obklej dookoła gliną albo masą solną. To będzie stały ląd. Na środku deski zbuduj z tego
samego materiału dwie wyspy. Po wyschnięciu zalej wszystko wodą. Pięć ołówków może
imitować wyspy, którymi należy łączyć wyspy między sobą oraz ze stałym lądem. Odpowiedz
na pytanie zawarte z 3 zdania.
2. Wariant 2 wykonania prototypu
Zbuduj prototyp wykorzystując następujące pomoce i narzędzia:
Lp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pomoce i narzędzia
Płyta wiórowa o wymiarze po
rozłożeniu na płasko 0,5m na 0,7m i
druga o wymiarze 0,5m na 0,3m
Odważniki 10dag, 20dag i 50dag
Linijka 0,5m
Kawałki nierozciągliwego sznurka
Kawałek brystolu o wymiarze A3
Małe tekturowe pudełko imitujące
przyszły budynek szkoły
Nożyczki
Masa solna albo glina
Ołówki
Ilość sztuk
Po 1 dla lub grupy
Po 2 szt. każdego odważnika
1 na grupę
Maksymalnie 3m
Jeden na grupę
Jedno na grupę
Jedne na grupę
Dla grupy
Po 5 dla każdej grupy
3. Ilość bloków potrzebna do realizacji prototypu
Dwa 1,5h bloki.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Biuro Projektu INTERBLOK: ul. Stradomska 10, 31-058 Kraków, Tel: 12-422-26-08 Fax: 12-421-67-45
Bank PKO bp I/O Kraków; 10 1020 2892 0000 5902 0427 5400
5. Realizowane treści podstawy programowej
Przedmiot
Matematyka
Realizowana treść podstawy programowej
10. Figury płaskie. Uczeń:
10) zamienia jednostki pola;
11) oblicza wymiary wielokąta powiększonego lub pomniejszonego w danej
skali;
Fizyka
Geografia
8.
Wymagania przekrojowe. Uczeń:
1)
opisuje przebieg i wynik przeprowadzanego doświadczenia,
wyjaśnia rolę użytych
przyrządów, wykonuje schematyczny rysunek obrazujący układ
doświadczalny;
2)
wyodrębnia zjawisko z kontekstu, wskazuje czynniki istotne i
nieistotne dla wyniku doświadczenia;
1. Mapa - umiejętności czytania, interpretacji i posługiwania się mapą. Uczeń:
1)
wykazuje znaczenie skali mapy w przedstawianiu różnych
informacji geograficznych na mapie; posługuje się skalą mapy
do obliczenia odległości w terenie;
4. Kształcone kompetencje
1. porozumiewanie się w języku ojczystym,
2. matematyczne i podstawowe kompetencje naukowo-techniczne,
3. uczenia się,
4. społeczne i obywatelskie,
5. inicjatywność i przedsiębiorczość.
5. Cele szczegółowe bloku
1. Projektowanie i wykonanie doświadczenia rozwiązującego problem
badawczy,
2. Interpretowanie długiego tekstu,
3. Poznanie uczniów z niestandardowymi sposobami rozwiązywania
problemów matematycznych
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Biuro Projektu INTERBLOK: ul. Stradomska 10, 31-058 Kraków, Tel: 12-422-26-08 Fax: 12-421-67-45
Bank PKO bp I/O Kraków; 10 1020 2892 0000 5902 0427 5400
6. Jakie umiejętności uczeń nabędzie (oczekiwane rezultaty)
1. czyta tekst ze zrozumieniem,
2. skaluje mapę,
3. ocenia co w praktyce oznacza, że czas na przebycie odległości między
miejscowościami jest najkrótszy
7. Przykładowe rozwiązanie wariantu 2. – opis działań uczniów
9.1 Planowanie i dokonywanie wstępnych prób
Lp.
Opis kolejnych działań
1
Przeskalowanie odległości pomiędzy
wsiami tak, żeby zmieściły się na płycie
formatu 0,5m na 0,7m.
Wyznaczenie na płycie położenia każdej
miejscowości z zastosowaniem skali
2
3
4
5
W miejscach gdzie znajdują się trzy wsie
robimy wiertarką okrągłe otwory średnicy
około 1cm
Przygotowujemy kartkę formatu A3,
nanosząc na nią w zupełnie dowolnym
miejscu 20 punktów, w których będą
znajdować się domki campingowe
Wykonujemy makietę zgodnie z opisem 3
zadania
Uwagi do realizacji dla
nauczyciela (rysunki i fotografie)
Uczniowie mogą skalowania
dokonać na kartce papieru,
którą dołączą do makiety
Na kartonie uczniowie mogą
oznaczyć je literami A, B i C lub
kolejnymi cyframi 1,2, 3 albo
nadać im wymyślone nazwy
Staramy się żeby otwory były
gładkie
Czas trwania
w minutach
15
Nie ma znaczenia gdzie będą
znajdować się budynki.
Najlepiej, gdy uczniowie
zaznaczą je za pomocą dużych
kropek
Do gotowej makiety nalej wody.
Ląd i wyspy muszą być
wysuszone i nierozpuszczalne
5
20
5
30
9.2 Konstruowanie, realizowanie prototypu i udoskonalenia
Lp.
Opis kolejnych działań
1
Makietę drewnianą z wyżłobionym
otworami stawiamy tak, aby
bezpośrednio pod otworami było puste
miejsce(nie może płyta całą swoją
powierzchnią leżeć na stole). Musi być
sztywno podparta, w pozycji poziomej
Sznurek dzielimy na trzy równe części,
wiążemy wspólnymi końcami w mocny
supeł
2
Uwagi do realizacji dla
nauczyciela (rysunki i fotografie)
Może być podparty bokami na
dwóch osobnych stolikach
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Czas trwania
w minutach
5
5
Biuro Projektu INTERBLOK: ul. Stradomska 10, 31-058 Kraków, Tel: 12-422-26-08 Fax: 12-421-67-45
Bank PKO bp I/O Kraków; 10 1020 2892 0000 5902 0427 5400
3
4
5
6
Do pozostałych końców sznurka
doczepiamy odważniki: na jednym 20dag,
na drugim 50 dag, na trzecim jeden pod
drugim 10dag i 20dag
Supeł, którym związane są odważniki
wyznaczy miejsce, w którym powinna
stać oczyszczalnia
Na kartce z 20 wyznaczonymi punktami,
w których mają znajdować się domki
campingowe, wybieramy dowolny punkt.
Oznaczamy go np.1. Szukamy punktu
położonego najbliżej punktu 1 i łączymy
oba linią. Tak wybrany punkt oznaczamy
2. Następnie szukamy punktów
położonych najbliżej punktów 1 i 2.
Wybieramy ten, który jest bliższy jednego
z nich. Oznaczamy go 3 i łączymy z
punktem, do którego był bliższy.
Postępujemy tak do momentu, kiedy
wszystkie punkty połączymy liniami.
Na makiecie z wyspami ołówkami musisz
połączyć wyspy ze sobą oraz wyspy ze
stałym lądem.
Uczniowie powinni postarać się
żeby odważniki 10dag i 20dag
były powieszone jeden pod
drugim
Uczniowie mogą w tym miejscu
postawić budynek oczyszczalni,
dokleić do makiety pudełko
10
15
20
5
9.3 Testowanie
Lp.
Opis kolejnych działań
1
Makietę tak zaprojektowaną można
wykorzystać do wyznaczenia miejsca, w
którym mógłby stanąć budynek
oczyszczalni, gdyby w podanych
miejscowościach mieszkała inna ilość
osób. Należy obciążyć je obciążnikami
odpowiadającymi wagą liczbie
mieszkańców wszystkich wsi.
Na makiecie z wyspami położenie
mostów zmieniaj tak, aby można było
stwierdzić czy możliwe jest zbudowanie
mostów tak, aby wyjść z jednego punktu
przejść wszystkie mosty tylko raz i wrócić
do tego samego punktu.
2
Uwagi do realizacji dla
nauczyciela (rysunki i fotografie)
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Czas trwania
w minutach
15
20
Biuro Projektu INTERBLOK: ul. Stradomska 10, 31-058 Kraków, Tel: 12-422-26-08 Fax: 12-421-67-45
Bank PKO bp I/O Kraków; 10 1020 2892 0000 5902 0427 5400
8. Materiały pomocnicze dla nauczyciela
Na całą grupę wystarczy jedna wiertarka. Nauczyciel podchodzi do każdej grupy i czeka aż uczniowie
wywiercą otwory w płycie wiórowej.
9. Karta efektywności ekonomicznej prototypu (relacja koszt efekt)
Lp.
1
2
3
Pomoc dydaktyczna
Płyta wiórowa
Kartka A3
Ciężarki(mogą być
wędkarskie)
4
Masa solna lub glina
ceramiczna
Suma kosztów
Ilość sztuk
2
1
1
Cena jednostkowa
15zł
1zł
1 komplet 30zł
Cena łączna
30zł
1zł
30zł
3
14zł
42zł
103zł
11. Oszacowanie kosztów pracy
Lp. Zadanie Czas wykonania
(h)
1
2
Suma:
Liczba
osób
Łącznie osobogodzin
pracy
Cena osobogodziny
pracy (zł)
Koszt
10. Ankieta ewaluacyjna zajęć
Lp. Pytanie do ucznia
1
2
3
4
5
6
Tak
Raczej
tak
Trudno
powiedzieć
Nie
Czy spotkałeś(łaś) się z takim
sposobem rozwiązywania
problemów?
Czy nauczyłeś(łaś) się czegoś
nowego?
Czy myślisz, że taki sposób
można by wykorzystać do
rozwiązywania innych zadań?
To była pierwsza makieta jaką
wykonałem(łam)?
To był bardzo ciekawy sposób
rozstrzygnięcia
skomplikowanego
zagadnienia?
Zajęcia bardzo mi się
podobały?
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zdecydowanie
nie
Biuro Projektu INTERBLOK: ul. Stradomska 10, 31-058 Kraków, Tel: 12-422-26-08 Fax: 12-421-67-45
Bank PKO bp I/O Kraków; 10 1020 2892 0000 5902 0427 5400
11. Karta samooceny ucznia
1. Zadania wykonywałem samodzielnie: TAK
NIE,
2. Pracowałem w grupie dwuosobowej: TAK
NIE,
3. Czy wyskalowałeś mapę samodzielnie: TAK
NIE
4. Czy wyznaczyłeś(łaś) miejsce, w którym powinien znaleźć się budynek szkoły: TAK
NIE
12. Kryteria oceniania pracy uczniów
1. Poprawne wyskalowanie mapy: 3pkt za każdą odległość,
2. Wyznaczenie położenia miejscowości 1pkt,
3. Naniesienie 20 miejscowości na kartkę A3 1pkt,
4. Wykonanie kompletnej makiety 1pkt,
5. Prawidłowe wyznaczenie położenia budynku szkoły 1pkt,
6. Prawidłowe wyznaczenie ścieżek między domkami campingowymi
1pkt,
7. Testowanie makiety z innymi obciążnikami 1pkt
8pkt – ocena celująca
7pkt – ocena bardzo dobra
6pkt – ocena dobra
5pkt – ocena dostateczna
4pkt – ocena dopuszczająca
3pkt i niżej – ocena niedostateczna
13.Uwagi o realizacji bloku zajęć
14.Literatura uzupełniająca, zalecana podręczniki i artykuły
1. H. Steinhaus „Kalejdoskop matematyczny”
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego