kontrola matematyki

Transkrypt

kontrola matematyki

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena
w nauczaniu matematyki w zakresie
rozszerzonym
dla uczniów technikum
część III
Granica ciągu liczbowego
L.p.
1
Temat lekcji
Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi:
Pojęcie granicy ciągu i ciągi • sporządzać częściowy wykres nieskończonego ciągu i określać, czy prawie wszystkie jego wyrazy należą do podanego otoczenia liczby,
zbieżne do zera
• objaśnić zapisy n   i
lim an  0
n  
,
• podać przykłady ciągów zbieżnych do zera,
• podać przykłady ciągów geometrycznych zbieżnych do zera.
2
Ciągi zbieżne i ich
własności

w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)

w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
• stosować twierdzenia o działaniach na granicach ciągów tj.
a) granicy sumy i różnicy ciągów,
b) granicy iloczynu ciągów,
c) granicy ilorazu ciągów,
d) granicy iloczynu liczby k i ciągu.
• podawać przykłady ciągu o określonej wartości granicy,
• obliczać granice ciągów korzystając z granic ciągów typu
1 1
i
oraz z twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu
n n2
ciągów,
3


a
Szereg geometryczny i jego
S n  1 , gdy q  1 ,
• obliczać granicę szeregu geometrycznego zbieżnego wg wzoru S  n lim
 
suma
1 q
• obliczać sumę szeregu geometrycznego,
• zamieniać ułamek okresowy na zwykły wykorzystując własności szeregu geometrycznego zbieżnego,
• rozwiązywać zadania do których rozwiązania wykorzystuje wzór na sumę szeregu geometrycznego, gdy q  1 ,
• rozwiązywać równania i nierówności, gdzie jedna ze stron jest zbieżnym szeregiem geometrycznym oraz których rozwiązanie
sprowadza się do rozwiązywania równań kwadratowych, wielomianowych, wymiernych lub liniowych.
4
Granica niewłaściwa ciągu


n
• objaśnić pojęcie ciągu rozbieżnego podając odpowiednie przykłady, np. an  n , bn  5 ,
• rysować częściowe wykresy ciągów rozbieżnych,
• obliczać granice ciągów rozbieżnych korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach oraz granic ciągów typu:
an 
1
1
k
, bn  2 i cn  n , gdzie n  N  i n  1 oraz k  N  .
n
n


4/23
Granica i ciągłość funkcji
L.p.
5
Temat lekcji
Granica funkcji w punkcie
• podać przykłady ciągów, których granicą jest liczba q,
n

 1
f

x

• obliczyć wyrazy ciągu wartości funkcji
n , dla której argumentami są kolejne wyrazy ciągu o podanym wzorze np. a n 
n
1
lub an  3  itp.
n
• objaśnić sąsiedztwo lewostronne i prawostronne liczby x0 i objaśnić to na przykładowym rysunku,
• wykorzystywać wszystkie twierdzenia dotyczące granic ciągów przy obliczaniu granic funkcji,


x 2  2 , lim x  1 itp.
• obliczać granice funkcji w punkcie x0 np. xlim
1
x  1 2
x 1


5/23
L.p.
6
Temat lekcji
Granice jednostronne
funkcji w punkcie
• objaśnić pojęcie granicy niewłaściwej funkcji f lewostronnej i prawostronnej w punkcie x0 , jako ciągu wartości funkcji f, które są
kolejnymi wartościami ciągu zbieżnego do x0 ,
• zilustrować graficznie granicę funkcji f:
lim f x   
,
b)
x  x0
lim f x   
,
d)
x  x0
a)
x  x0
c)
x  x0
lim f x   
,
lim f x   
,
• odczytać z rysunku wartości granicy lewostronnej i granicy prawostronnej funkcji w punkcie x0  D f ,
lim f  x   0 ,
• obliczać granice jednostronne funkcji f w punkcie x0  D f i x  x0
7


Granica niewłaściwa funkcji • objaśnić pojęcie granicy niewłaściwej funkcji f lewostronnej i prawostronnej w punkcie x0 , jako ciągu wartości funkcji f, które są
w punkcie
kolejnymi wartościami ciągu zbieżnego do x0 ,
• zilustrować graficznie granicę funkcji f:
lim f x   
,
b)
x  x0
lim f x   
,
d)
x  x0
a)
x  x0
c)
x  x0
lim f x   
,
lim f x   
,
• odczytać z rysunku wartości granicy lewostronnej i granicy prawostronnej funkcji w punkcie x0  D f ,
f x  0 ,
• obliczać granice jednostronne funkcji f w punkcie x0  D f i xlim
 x0
• stosować wzory na obliczanie granic funkcji y 
a
f x   0 oraz lim f x   0  , czyli
, gdy: a  0 , x0  D f i xlim
 x0
x  x0
f x 
6/23
L.p.
Temat lekcji
a) lim
a
a
      ,
f x   0 
b) lim
a
a
      ,
f x   0 
c) lim
 a  a

  ,
f  x   0 
d) lim
 a  a

  ,
f  x   0  
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
• obliczać granice funkcji f w punktach nie należących do dziedziny.
8
Ciągłość funkcji


• wymienić warunki, jakie spełnia funkcja ciągła w punkcie x0 ,
• mając wykres funkcji wymienić jej argumenty, dla których nie są spełnione warunki funkcji ciągłej; uzasadniać swoją decyzję,
• badać ciągłość funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami,
• rozwiązywać zadania, w których określa wartość parametru, dla którego funkcja jest ciągła,
• podać przykłady funkcji ciągłych w swojej dziedzinie.


7/23
L.p.
9
Temat lekcji
Własności funkcji ciągłych
• mając wykres funkcji ciągłej w przedziale a; b , gdzie a  b , podać f MIN i f MAX ,
• dla funkcji kwadratowej w przedziale a; b określić, czy odcięta xw wierzchołka należy do przedziału a; b oraz odczytać z
wykresu lub obliczyć f a  , f b  i f  xw  i stwierdzić czy f  xw   a; b ,
• określić czy funkcja y  f x  ma w przedziale a; b co najmniej jedno miejsce zerowe, gdy f a   f b   0 .
10 Granica funkcji w
nieskończoności


• obliczać granice funkcji f, gdy ciąg jej argumentów jest rozbieżny do:
a)   ,
b)   ,
• stosować twierdzenia o działaniach na granicach ciągu do obliczania granic w   ,
• stosować twierdzenia o granicach ilorazu lub iloczynu ciągów rozbieżnych do obliczania granic funkcji.


8/23
Pochodna funkcji i jej interpretacja
L.p.
Temat lekcji
9/23
L.p.
Temat lekcji
11 Iloraz różnicowy funkcji
• objaśnić pojęcie przyrostu wartości funkcji f (  f ) i przyrost argumentu funkcji od x1 do x2 (  x ),
i jego interpretacja
• podać interpretację geometryczną, chemiczną i fizyczną i inną interpretację ilorazu różnicowego
12 Pochodna funkcji w punkcie


f
 x funkcji f.
• obliczać pochodną funkcji f w punkcie, gdy x0  D f ,
i jej interpretacja
• określać różniczkowalność funkcji w punkcie,
• podać interpretację geometryczną,
• podać interpretację fizyczną pochodnej,
• pisać równanie stycznej do krzywej y  f x  obliczając współczynnik kierunkowy stycznej m  f x0  ,
• korzystać z fizycznej interpretacji pochodnej i mając np. drogę S x  obliczyć  t   S t  i przyspieszenie at    t  .
13 Pochodna jako funkcja


• obliczać pochodne funkcji potęgowych, wielomianowych i wymiernych,
• objaśnić co to oznacza wypowiedzenie „funkcja różniczkowalna”,
• obliczać pochodną ilorazu funkcji i ich iloczynu.


10/23
L.p.
Temat lekcji
14 Interpretacja geometryczna
• rozwiązywać zadania dotyczące:
a) pisania stycznej do wykresu funkcji f w zadanym punkcie,
b) mając wzór na drogę ciała w zależności od czasu obliczyć prędkość i przyspieszenie tego ciała.
15 Związek pochodnej z
• obliczać pochodną funkcji,
i fizyczna pochodnej funkcji
monotonicznością funkcji
• określać znak funkcji pochodnej rozwiązując nierówności wielomianowe i wymierne,
• określać monotoniczność funkcji w zależności od znaku funkcji pochodnej w wyznaczonych przedziałach.


11/23
16 Ekstrema lokalne funkcji
wymiernych
• odczytywać z wykresu funkcji f maksimum lokalne funkcji f,
• wyznaczać ekstrema funkcji korzystając z wzoru f   x0   0 i x0  D f .


12/23
17 Zastosowanie pochodnej przy
obliczaniu największej
i najmniejszej wartości
funkcji
• obliczać wartość funkcji ciągłej na końcach domkniętego przedziału określoności a; b ,
• obliczać ekstrema lokalne funkcji w przedziale a; b ,
• porównywać f a  , f b  i yMIN ( yMAX ).


Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
L.p.
Temat lekcji
17 Miara łukowa kąta i kąt jako
miara obrotu
18 Funkcje trygonometryczne
dowolnego kąta
19 Znaki wartości funkcji
trygonometrycznych
dowolnego kąta
20 Wzory redukcyjne
• stosować miarę łukową, zamieniać miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie


• korzystać z definicji i wyznaczać wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub
radianach


• wyznaczać wartości funkcji sinus, cosinus i tangens wielokrotności kąta

, wartości sin    , cos    , tg    oraz znaki
2
wartości funkcji sinus, cosinus i tangens.


• wyznaczać wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta poprzez sprowadzanie do przypadku kąta ostrego,
13/23
i okresowość funkcji
trygonometrycznych
21 Związki między funkcjami
trygonometrycznymi tego
samego kąta
22 Funkcje trygonometryczne
sumy i różnicy kątów.
23 Suma i różnica funkcji
trygonometrycznych
24 Wykresy i własności funkcji
trygonometrycznych
• wykorzystywać okresowość funkcji trygonometrycznych.


• znając wartość jednej z funkcji sinus lub cosinus, wyznaczać wartości pozostałych funkcji tego samego kąta.


• stosować wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów.


• stosować wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.


• sporządzić wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens w zadanym przedziale.


• naszkicować wykresy funkcji trygonometrycznych: y  sin x  p  , y  cos x  p  , y  tg x  p  , y  sin x  q ,
funkcji trygonometrycznych y  cos x  q , y  tg x  q , y   sin x , y   cos x , y   tg x , y  sin  x  , y  cos  x  , y  tg  x  ,
25 Przekształcanie wykresów
• naszkicować wykresy funkcji y  sin x , y  cos x , y  tg x , y  c  sin x , y  c  cos x , y  c  tg x , y  sin c  x ,
y  cos c  x  , y  tg c  x  .


14/23
26 Równania
trygonometryczne
27 Nierówności
trygonometryczne
• rozwiązywać równania trygonometryczne korzystając z poznanych wzorów,
• potrafi podać interpretację graficzną równania (w prostych przypadkach).


• posługiwać się wykresami funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania nierówności typu: sin x  a , cos x  a , tg x  a ,
1
cos 2 x  .
2


Okręgi i proste na płaszczyźnie
L.p.
Temat lekcji
28 Kąt środkowy i pole
wycinka koła
• rozpoznawać kąty środkowe,
• obliczać długość okręgu i łuku okręgu,
• obliczać pole koła, pierścienia, wycinka kołowego.
29 Kąt wpisany i jego związek
z kątem środkowym
30 Styczna do okręgu i jej
własności


•
stosować zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym.


• rozpoznawać wzajemne położenie prostej i okręgu,
• rozpoznawać styczną do okręgu,
15/23
L.p.
Temat lekcji
• korzystać z faktu, że styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności,
• korzystać z własności stycznej do okręgu.
31 Okręgi styczne i ich
własności


• korzystać z własności okręgów stycznych.


Wielokąty na płaszczyźnie i obliczenia z zastosowaniem trygonometrii
Lp.
Temat lekcji
32 Trójkąty
• rozwiązywać trójkąty korzystając z własności funkcji trygonometrycznych,
• rozwiązywać zadania z zastosowaniem wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt i na promień okręgu opisanego na
trójkącie oraz wzorów na pole trójkąta.
33 Prostokąty i kwadraty


• korzystać z własności funkcji trygonometrycznych do obliczania długości odcinków i kątów w prostokątach i kwadratach oraz ich
pól.

16/23

34 Równoległoboki
35 Trapezy i deltoidy
36 Okrąg wpisany w czworokąt
37 Okrąg opisany na
czworokącie
38 Zadania
optymalizacyjne
z planimetrii
• korzystać z własności funkcji trygonometrycznych do obliczania długości odcinków i kątów w równoległobokach i ich pól.


• korzystać z własności funkcji trygonometrycznych do obliczania długości odcinków i kątów w trapezach, deltoidach oraz ich pól.


• stosować twierdzenia charakteryzujące czworokąty opisane na okręgu (tzn. stosować twierdzenia o okręgu wpisanym
w czworokąt).


• stosować twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg


• wykorzystywać własności funkcji kwadratowej i elementów rachunku różniczkowego do obliczania najmniejszych lub
największych wymiarów figur płaskich.


Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów
Lp.
Temat lekcji
39 Twierdzenie
• znajdować związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów.
17/23
Lp.
Temat lekcji
sinusów i twierdzenie
cosinusów
• znajdować związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia cosinusów.
• znajdować związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.


Graniastosłupy
Lp.
Temat lekcji
40 Wzajemne położenie
prostych i płaszczyzn
w przestrzeni i pojęcie kąta
dwuściennego
41 Graniastosłup
• rozpoznać położenie prostych w przestrzeni,.
• rozpoznać wzajemne położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni,
• rozpoznać wzajemne położenie dwóch płaszczyzn w przestrzeni,
• rozpoznać kąt dwuścienny i wyznaczać kąt płaski będący jego miarą.


• rozpoznawać graniastosłupy prawidłowe,
• rozpoznawać siatki graniastosłupów prostych.
42 Odcinki w graniastosłupach
i kąty między tymi
odcinkami


• rozpoznawać w graniastosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) i obliczać miary tych
kątów,
• stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków i miar kątów.


18/23
Lp.
Temat lekcji
43 Kąty w graniastosłupie
między odcinkami
i płaszczyznami
44 Kąty między ścianami
w graniastosłupie
45 Przekroje
prostopadłościanu
46 Przekroje graniastosłupa
47 Pole powierzchni i objętość
graniastosłupa
• rozpoznawać w graniastosłupach kąty między odcinkami i płaszczyznami (np. między krawędziami i ścianami, przekątnymi
i ścianami) i obliczać miary tych kątów,


• rozpoznawać w graniastosłupach kąty między ścianami i obliczać ich miary,


• wyznaczać przekroje prostopadłościanu płaszczyzną,
• stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków i pól powierzchni figur otrzymanych w wyniku przekroju.


•
określać, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa płaszczyzną.


• stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości,
• stosować pochodną do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.


19/23
Ostrosłupy
L.p.
Temat lekcji
48 Odcinki i kąty
• rozpoznawać w ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi), obliczać miary tych kątów,
w ostrosłupie
• rozpoznawać w ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami),
obliczać miary tych kątów,
• rozpoznawać w ostrosłupach kąty między ścianami,
49 Przekroje
ostrosłupa


• określać, jaką figurą jest dany przekrój ostrosłupa płaszczyzną.


50 Pola powierzchni i objętości • stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości,
ostrosłupów


Walec, stożek i kula
L.p.
Temat lekcji
51 Walec, jego pole
powierzchni i objętość
• rozpoznawać w walcach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami, obliczać miary tych kątów,
• stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.
20/23
L.p.
Temat lekcji
52 Stożek, jego pole
powierzchni i objętość


• rozpoznawać w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt między tworzącymi stożka, kąt
między tworzącą a podstawą), obliczać miary tych kątów,
• stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości,
53 Kula jej pole powierzchni
i objętość.
Przekroje sfery


• obliczać pole powierzchni i objętość kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym).
• określać, jaką figurą jest przekrój sfery płaszczyzną,
• rozwiązywać zadania optymalizacyjne.


21/23
Rachunek prawdopodobieństwa
L.p.
Temat lekcji
54 Doświadczenie losowe
i zbiór zdarzeń
elementarnych
55 Obliczanie liczby
oczekiwanych wyników
doświadczenia losowego
56 Zdarzenie losowe i jego
• zliczać obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych,
• stosować regułę mnożenia i regułę dodawania.


• stosować regułę mnożenia i regułę dodawania,
• zliczać obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych.


• obliczać prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.
prawdopodobieństwo
57 Obliczanie
prawdopodobieństwa
metodą drzew
58 Własności
prawdopodobieństwa


• obliczać prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując regułę mnożenia i regułę dodawania oraz rysując odpowiednie
grafy.


• określać liczbę zdarzeń elementarnych (podawać zdarzenia) sprzyjających zajściu:
• zdarzenia A lub zdarzenia B,
• jednoczesnemu zdarzeń A i B,
• obliczać prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B.
22/23


Kombinatoryka a prawdopodobieństwo
L.p.
Temat lekcji
59 Pojęcie silni  n !
• obliczać wartości wyrażeń z silnią,
• obliczać wartości wyrażeń w których występuje symbol Newtona.
60 Permutacje
Wariacje bez powtórzeń
Wariacje z powtórzeniami
Kombinacje


• korzystać z wzorów na liczbę permutacji do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
• korzystać z wzorów na liczbę wariacji bez powtórzeń do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
• korzystać z wzorów na liczbę wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach
kombinatorycznych.
• korzystać z wzorów na liczbę kombinacji obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
61 Rozwiązywanie zadań
różnych
z zastosowaniem
kombinatoryki


• korzystać z wzorów na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej
złożonych sytuacjach kombinatorycznych.


23/23
Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite
L.p.
Temat lekcji
62 Prawdopodobieństwo
• obliczać prawdopodobieństwo warunkowe.
warunkowe i jego własności
63 Prawdopodobieństwo
całkowite


• korzystać z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.



kontrola matematyki

Transkrypt

Podobne dokumenty

klasa III

Wprowadzenie

Załącznik Nr 5 TRUDNOŚCI Formy/metody/sposoby dostosowania

Schemat blokowy dla algorytmu iteracyjnego i rekurencyjnego

Hasło zlozonosc

Funkcja RIPEMD-160 - Zabezpieczenia kryptograficzne

Pobierz PDF - e-Swoi

Algorytmy - podstawowe informacje

W drodze do sukcesu - Gimnazjum nr 2 w Zielonej Górze

klasa II