kontrola matematyki

Transkrypt

kontrola matematyki

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena
w nauczaniu matematyki w zakresie
podstawowym dla uczniów technikum
część II
Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej
L.p.
1
Temat lekcji
Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi:
• obliczać współrzędne wektora oraz jego długość,
Wektory na
płaszczyźnie kartezjańskiej
• wyznaczać współrzędne wektorów równych i przeciwnych,
• obliczać współrzędne środka wektora,
• zaznaczać wektory na płaszczyźnie kartezjańskiej, gdy znane są jego składowe.
2
Działania na wektorach

w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)

w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)
• wyznaczać współrzędne wektora, który jest sumą, różnicą oraz iloczynem wektora przez liczbę,
• interpretować geometrycznie działania na wektorach,
• rozwiązywać zadania z parametrem, których rozwiązanie sprowadza się do rozwiązania równań liniowych lub kwadratowych.
3
Współczynnik kierunkowy
prostej


• obliczać współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dowolne punkty oraz pisać równanie tej prostej w postaci
kierunkowej i ogólnej,
• pisać równanie prostej przechodzącej przez dany punkt, gdy znany jest jej współczynnik kierunkowy (w postaci ogólnej
i kierunkowej).
4
Wzajemne położenie
prostych na płaszczyźnie


• badać równoległość i prostopadłość prostych, których równania podane są w postaci kierunkowej,
• badać równoległość i prostopadłość prostych, których równania podane są w postaci ogólnej lub kierunkowej,
• rozwiązuje zadania prowadzące do rozwiązywania równań z parametrem, w których wykorzystuje własności prostych
prostopadłych lub prostych równoległych.
5
Środek odcinka
i symetralna odcinka


• obliczać długość odcinka,
• wyznaczać współrzędne środka odcinka,
• pisać równanie symetralnej odcinka (o zadanych własnościach),
• rozwiązywać zadania prowadzące do rozwiązywania równań liniowych lub kwadratowych z parametrem, w których wykorzystuje
własności symetralnej odcinka.


6
Odległość punktu od
prostej i odległość dwóch
prostych równoległych
• pisać równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt,
• obliczać współrzędne punktu przecięcia się dwóch prostych
• obliczać odległość d punktu P  x0 , y0  od prostej Ax  By  C  0 korzystając z wzoru d 
Ax0  By0  C
A2  B 2
• obliczać odległość dwóch prostych równoległych określonych równaniami Ax  By  C1  0 , Ax  By  C 2  0 korzystając z
wzoru d 
C1  C2
A2  B 2
,
• rozwiązywać zadania z parametrem, w których stosuje się wzór na odległość punktu od prostej, których rozwiązanie prowadzi do
rozwiązania równań liniowych lub kwadratowych.
7
Równanie okręgu
i nierówność koła


• pisać równanie okręgu, gdy znane są współrzędne jego środka i promień,
• sprawdzać, czy dany punkt leży na okręgu o znanym równaniu,
• obliczać współrzędne środka okręgu i jego promień, gdy równanie okręgu ma postać ogólną,
• określać wzajemne położenie okręgów, gdy znane są ich równania,
• rysować figury (koła i ich części) na płaszczyźnie kartezjańskiej opisane układem nierówności,
• opisywać figury układami równań i nierówności, które są kołami ich częścią lub figurami do których nie należą części koła,
• rozwiązywać zadania z parametrem prowadzące do rozwiązywania równań liniowych lub kwadratowych, w których wykorzystuje
własności wzajemnego położenia okręgów.


8
Wzajemne położenie prostej • obliczać odległość środka okręgu od prostej, czyli określać położenie prostej względem okręgu,
i okręgu
obliczać współrzędne punktów wspólnych prostej i okręgu,
• obliczać największą i najmniejszą odległość punktu leżącego na zewnątrz okręgu,
• rozwiązywać zadania z parametrem prowadzące do rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych, w których wykorzystuje się
własności wzajemnego położenia prostej i okręgu.


9
Wyznaczanie równań
stycznych
do okręgu
• korzystać z własności stycznej do okręgu,
• określać położenie prostej względem okręgu,
• napisać równanie prostej l równoległej (prostopadłej) do prostej – odległej od prostej l o zadaną odległość,
• napisać równanie stycznej do okręgu w punkcie leżącym na okręgu o środku S i promieniu r,
• napisać równanie(a) stycznych do okręgu przechodzących przez punkt odległy od jego środka o więcej niż długość promienia,
• pisać równania stycznych do okręgu, które są równoległe lub prostopadłe do danej prostej,
• obliczać współrzędne punktów wspólnych prostej i okręgu rozwiązując układ równań, z których jedno jest równaniem prostej a
drugie równaniem okręgu,
• rozwiązywać zadania z parametrem dotyczące wzajemnego położenia prostej i okręgu oraz prowadzące do równań z bezwzględną
wartością, równań kwadratowych lub liniowych.
10 Trójkąt na płaszczyźnie
kartezjańskiej


• obliczać obwody trójkątów,
• sprawdzać, czy trójkąt jest prostokątny, gdy znane są jego wierzchołki lub proste, w których zawierają się boki,
• obliczać współrzędne wierzchołków trójkąta,
• wyznaczać równania symetralnych boków trójkąta,
• wyznaczać równania prostych zawierających środkowe trójkąta (środek ciężkości trójkąta),
• wyznaczać równania prostych zawierających wysokości trójkąta,
• obliczać pole i obwód trójkąta, gdy dane są współrzędne jego wierzchołków.


11 Czworokąty na płaszczyźnie
kartezjańskiej
• badać równoległość i prostopadłość prostych (sprawdzać, czy czworokąt jest trapezem, równoległobokiem, prostokątem),
• obliczać współrzędne wierzchołków czworokątów i punkt przecięcia przekątnych,
• wyznaczać równania prostych zawierających boki czworokąta, jego przekątne oraz równania symetralnych jego boków,
• wyznaczać równania prostych zawierających wysokości czworokąta,
• obliczać pole i obwód czworokąta, gdy znane są jego wierzchołki.
12 Symetria osiowa względem
osi układu współrzędnych


• znajdować obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem
osi układu współrzędnych,
• napisać równanie osi symetrii figury (jeśli ona istnieje).
13 Symetria środkowa


• obliczyć współrzędne środka symetrii (o ile istnieje) figur na płaszczyźnie kartezjańskiej,
względem początku układu
• znajdować obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii środkowej
współrzędnych
względem początku układu współrzędnych.


Przekształcanie wykresów funkcji
L.p.
Temat lekcji
14 Obraz wykresów funkcji
• mając dany wykres y  f x  szkicuje obrazy tych wykresów przekształcając je przez symetrię względem:
w symetrii względem osi
układu współrzędnych
15 Przesunięcie wykresu
funkcji wzdłuż osi układu
współrzędnych
a) osi x i pisze wzór y   f x  ,
b) osi y i pisze wzór y  f  x 
• obliczyć współrzędne punktu przesuniętego równolegle do:
a) osi x o p jednostek w prawo (lewo),
b) osi y o q jednostek w dół (górę),

• obliczyć współrzędne punktu przesuniętego o wektor u   p, 0 , gdzie p  0 ,

• obliczyć współrzędne punktu przesuniętego o wektor w  0, q  , gdzie q  0 ,


• napisać wzór funkcji przesuniętej o wektor u   p, 0 albo o wektor w  0, q  ,
• gdy ma wzór funkcji y  f  x  napisać wzory funkcji y  f  x  p  oraz y  f x   q i odwrotnie i podać wektor
przesunięcia.


16 Wykresy funkcji y  f x  ,
y  k  f x  , y  f  k  x  ,
gdzie k  0
• obliczyć bezwzględną wartość liczby a, gdzie a  R
• określić znak wartości funkcji na podstawie wykresu, dla poszczególnych argumentów,
 f x ,
gdy
• mając wykres funkcji y  f  x  napisać wzór funkcji g x   f  x    f x , gdy

f x   0
f x   0
• narysować wykres funkcji g x   f x 
• dla każdego punktu o współrzędnych x, f x  obliczyć współrzędne punktu x, k  f x  , gdzie k  R \ 0
• mając wykres funkcji y  f  x  narysować wykres g x   f k  x  ,
• czyli wiedzieć że obraz punktu x, f x  w powinowactwie prostokątnym o osi y i skali k jest punkt o współrzędnych
1

  x, f x  ,
k


• mając wykres funkcji y  f x  rysuje i pisze wzory funkcji y  f  x  p  , y  f  x   q , y   f x  , y  f  x  , gdzie
p  R i q  R oraz wykresy funkcji y  f x  , y  k  f x  i y  f k  x 


Funkcja kwadratowa
L.p.
Temat lekcji
17 Wykres i własności funkcji
• wśród wzorów funkcji rozpoznać wzory funkcji kwadratowych,
2
kwadratowej y  ax
2
• rysować wykresy funkcji y  ax , gdzie a  R \ 0 ,
• określić dziedzinę, zbiór wartości, podać równanie osi symetrii wykresu, nazwać krzywą oraz przyporządkować wzór postaci
y  ax 2 do wykresu funkcji,
2
• rysować wykresy funkcji kwadratowej y  ax , które są:
a) symetryczne względem osi x,
b) symetryczne względem osi y,
c) przesunięte wzdłuż osi układu współrzędnych.
18 Postać kanoniczna funkcji


2
• rysować wykres i napisać wzór funkcji kwadratowej określonej wzorem f x   ax przesuniętej o wektor:

kwadratowej
a) u   p, 0 ,

b)   0, q  ,

c) w   p, q 
• podać wektor przesunięcia, wierzchołek paraboli i zwrot jej ramion, gdy wzór funkcji kwadratowej ma postać kanoniczną
2
y  a x  p   q , gdzie a, p i q są liczbami rzeczywistymi,
• funkcję kwadratową zapisaną w postaci kanonicznej zapisać w postaci ogólnej i odwrotnie,
• interpretować współczynniki a, p i q we wzorze funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej.
19 Postać kanoniczna a postać
ogólna funkcji kwadratowej


• wyrazić współrzędne wierzchołka W paraboli, gdzie W   p, q  w zależności od współczynników liczbowych funkcji
kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej,
• szkicować wykresy funkcji podanej w postaci ogólnej zapisując jej wzór w postaci kanonicznej,
• interpretować współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej:
a) obliczać współrzędne wierzchołka wykresu funkcji,
b) podać współrzędne punktu przecięcia się wykresu funkcji z osią y ( f 0   c ).
20 Miejsca zerowe funkcji
kwadratowej i jej postać
iloczynowa


• obliczyć miejsce zerowe funkcji kwadratowej w postaci ogólnej lub kanonicznej,
• odczytać z wykresu funkcji kwadratowej jej miejsca zerowe i zbiór wartości,
• odróżniać miejsca zerowe funkcji kwadratowej od punktów przecięcia się jej wykresu z osią x,
• obliczyć współrzędne wierzchołka wykresu (paraboli) funkcji kwadratowej, gdy znane są jej miejsca zerowe i współczynnik a,
• szkicować wykres funkcji kwadratowej korzystając z wzoru zapisanego w postaci iloczynowej.
21 Najmniejsza i największa
wartość funkcji
kwadratowej w przedziale
domkniętym


• obliczać wartość funkcji kwadratowej na końcach przedziału a; b , czyli f a  i f b  oraz badać czy xW  a; b
( yW  yMIN lub yW  yMAX ),
• porównywać liczby f a  , f b  , która z wartości jest najmniejsza, a która największa ( f  xW  porównywać z f a  i f b  ,
gdy xW  a; b ).
22 Wyznaczanie wzoru funkcji


• odczytać z wykresu funkcji kwadratowej miejsca zerowe (o ile istnieją),
kwadratowej na podstawie
informacji o niej
• odczytać współrzędne wierzchołka wykresu funkcji kwadratowej,
• napisać wzór funkcji kwadratowej, gdy znane są jej miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka W   p, q  ,
• napisać wzór funkcji kwadratowej, gdy znane są współrzędne wierzchołka wykresu funkcji i jeden punkt różny od wierzchołka,
• napisać oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej, gdy dany jest jej wzór lub współrzędne wierzchołka wykresu,
• napisać wzór funkcji kwadratowej, gdy dane są trzy punkty leżące na jej wykresie, w tym jeden na osi x,.
23 Przekształcanie wykresów
funkcji kwadratowej


• mając wykres funkcji kwadratowej y  f x  naszkicować wykres funkcji g, gdzie:

a) g x   f x  p  , który powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o p jednostek wzdłuż osi x, czyli o wektor u   p, 0 ,

b) g x   f  x   q , który powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f wzdłuż osi y (w górę lub w dół), czyli o wektor   0, q ,
c) g x    f x  , który powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f przez symetrię względem osi x,
d) g x   f  x  , który powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f względem osi y,
e) g x   k  f x  , gdzie k  R \ 0 , który powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f przez powinowactwo prostokątne o osi x,
f) g x   f k  f  x  , gdzie k  R \ 0 powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f przez powinowactwo prostokątne o osi x,
• opisać przekształcenie, gdy na rysunku dane są wykresy funkcji f i g, z których jeden jest obrazem drugiego.
24 Nierówności kwadratowe


• sprawdzać, czy dana liczba spełnia nierówność kwadratową,
• odczytać zbiory rozwiązań nierówności kwadratowych z wykresu funkcji kwadratowej,
• rozwiązać zadania prowadzące do nierówności kwadratowych.
25 Funkcja kwadratowa w
zastosowaniach


• opisywać związek pomiędzy wielkościami liczbowymi za pomocą nierówności,
• wykorzystywać własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w
kontekście praktycznym),
• posługiwać się poznanymi metodami rozwiązywania równań kwadratowych do obliczania, dla jakich argumentów funkcja
przyjmuje określone wartości,
• rozwiązywać zadania prowadzące do rozwiązywania nierówności lub równań kwadratowych.
26 Układy równań, z dwiema
niewiadomymi, z których
przynajmniej jedno jest
stopnia pierwszego


• podać ilustrację graficzną równania okręgu, hiperboli x y  a i równania paraboli,
• sporządzać ilustrację graficzną układów równań, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego,
• odczytać (jeśli jest to możliwe) współrzędne przecięcia się figur, które są ilustracją graficzną równań w układzie równań,
• rozwiązać algebraicznie układy równań, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego,
• rozwiązać prosty układ równań z parametrem, w których obliczenie parametru sprowadza się do rozwiązania równania
(nierówności) liniowego albo kwadratowego,
• rozwiązać proste zadanie tekstowe prowadzące do rozwiązania układów równań, z których jedno jest stopnia drugiego.


27 Równanie kwadratowe
z parametrem
• określić stopień równania w zależności od wartości współczynników przy niewiadomej w równaniu kwadratowym i liniowym, tj.
równanie ax 2  bx  c jest kwadratowe, gdy a  0 oraz jest liniowe, gdy a  0
• określić liczbę pierwiastków równania kwadratowego w zależności od wyróżnika Δ,
a  0
a  0
a  0
lub 
lub 
,
  0
  0
  0
• rozwiązywać układ nierówności (równań) typu 
• stosować wzory Viete’a do wyznaczania parametru w równaniu kwadratowym,
• stosując wzory Viete’a obliczać wartości wyrażeń, np.:
28 Nierówność kwadratowa
1 1

x 3  x23 itp.
x1 x2 , 1


• określać stopień trójmianu kwadratowego po sprowadzeniu go do postaci ax 2  bx  c ,
z parametrem
• wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych,
• badać warunki rozwiązania nierówności kwadratowej w zależności od wyróżnika Δ i współczynnika a – zależnych od danego
parametru,
2
• sporządzać wykres trójmianu kwadratowego, czyli funkcji kwadratowej f x   ax  bx  c przy uwzględnieniu przypadków:
(1)   0 ,
(2)   0 ,
gdzie Δ zależy od parametru.
(3)   0 ,


Wielomiany
L.p.
Temat lekcji
29 Suma, różnica i iloczyn
wielomianów jednej
zmiennej
• uporządkować wielomian jednej zmiennej oraz określać jego stopień,
• dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany jednej zmiennej,
• określać warunki jakie spełniają wielomiany równe (zagadnienia z parametrem) prowadzące do rozwiązywania równań
kwadratowych lub liniowych.
30 Dzielenie wielomianów
jednej zmiennej z resztą


• porządkować wielomian malejąco lub rosnąco,
• dzielić wielomian jednej zmiennej przez jednomian,
• dzielić wielomiany jednej zmiennej przez dwumian postaci x  m  i ax  b , gdzie m  R , a  R \ 0 i b  R ,
• rozkładać wielomian W x  na czynniki, gdy przy dzieleniu wielomianu przez dwumian ax  b reszta R z dzielenia jest równa
zeru ( R x   0 ) i wyłączając wspólny czynnik przed nawias,
• rozkładać wielomian na czynniki stosując wzoru skróconego mnożenia,
• obliczać resztę z dzielenia wielomianu W x  przez x  r jako wartość wielomianu W r  ( R x   W r  ), stosując twierdzenie
o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x  a ,
• rozwiązywać zadania z parametrem, w których określa się dla jakiego parametru wielomian W x  jest podzielny przez x  r
(zadania te sprowadzają się do rozwiązywania równań kwadratowych lub liniowych).
31 Pierwiastki wielomianu
i twierdzenia o nich


• sprawdzać, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu,
• korzystać z tw. Bèzouta (jeśli r jest pierwiastkiem wielomianu W x  , to W  x   Q x    x  r  i odwrotnie),
• stosować twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych,
• rozwiązywać zadania z parametrem i szukać pierwiastków całkowitych wśród wyrazu wolnego wielomianu,
• rozwiązywać równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych lub liniowych,
• wskazywać pierwiastek wielokrotny wielomianu,
• rozwiązywać zadania z parametrem prowadzące do prostych równań wielomianowych, kwadratowych lub liniowych.
32 Rozkładanie wielomianów
na czynniki


Przypomnieć rozkładanie niektórych wielomianów przez stosowanie:
a) wzorów skróconego mnożenia,
b) wyłączania wspólnego czynnika przed nawias,
c) stosowanie wzorów na obliczanie pierwiastków trójmianu kwadratowego,
d) grupowanie wyrazów i wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,
e) stosować tw. o dzieleniu wielomianu przez x  r .
33 Równania wielomianowe


• określić czy dane równanie jest równaniem jednej zmiennej,
• sprawdzać czy dana liczba jest rozwiązaniem równania stopnia wyższego niż 2,
• korzystać z własności iloczynu a  b  c  0  a  0 lub b  0 lub c  0 przy rozwiązywaniu równania typu


x x  1x  4 x 2  9  0 ,


2
• rozwiązywać równania typu x 3  3x  0 – rozkładając lewą jego stronę na czynniki x x  3  0 lub typu
x x  2  4 x  2
2
• każde równanie postaci W  x   0 zapisać tak, aby lewa strona była iloczynem trójmianów kwadratowych i wielomianu I stopnia
albo iloczynem trójmianów kwadratowych,
• rozwiązywać równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych albo równań kwadratowych
i liniowych,
• rozwiązywać równania wielomianowe przez wprowadzenie pomocniczej niewiadomej (np. równania dwukwadratowe),
• rozwiązywać równania wielomianowe z parametrem.
34 Nierówności wielomianowe


• sprawdzać czy dana liczba spełnia nierówność wielomianową,
• rozwiązywać proste nierówności wielomianowe postaci W  x   0 , W  x   0 , W  x   0 i W  x   0 metodą:
a) siatki znaków,
b) rysując „linię znaków”,
c) rysując wykresy funkcji f i g, gdy W  x   g  x   f x  , gdzie funkcje f i g są co najwyżej drugiego stopnia,
d) określa znak ilorazu lub iloczynu funkcji f i g,
• rysować przy pomocy komputera lub kalkulatora graficznego wykres y  W x  i odczytywać z rysunku znaki tej funkcji.


Wyrażenia wymierne
L.p.
Temat lekcji
35 Wyrażenie wymierne i jego
dziedzina
• określać dziedzinę wyrażenia wymiernego z jedną niewiadomą, w którego mianowniku występuje wielomian dający się
sprowadzić do iloczynu wielomianów stopnia pierwszego (np. dziedziną wyrażenia
W x 
jest zbiór tych liczb dla
P x 
których P x   0 ),
• określać dziedzinę wyrażenia wymiernego, gdy jego mianownik jest iloczynem wielomianów pierwszego lub drugiego stopnia z
parametrem,
• wskazać wyrażenia wymierne równe.


36 Skracanie i rozszerzanie
wyrażeń wymiernych
37 Mnożenie i dzielenie
• określić dziedzinę wyrażenia
W  x
,
P x
• skrócić wyrażenie wymierne
W x 
,
P x 
• skrócić wyrażenie wymierne
W x 
,
P x 


• określać dziedzinę każdego z wyrażeń, które mnożymy lub dzielimy,
• nim pomnoży wyrażenia rozłoży liczniki i mianowniki na czynniki,
• skracać, jeżeli to możliwe mając iloczyny wyrażeń wymiernych, np.
x  2x  2  x  2  x  2
x2  4 x  2


3
x  8 x  2 x  2 x 2  2 x  4 x  2 x 2  2 x  4

• dzielić wyrażenia wymierne, gdzie
38 Dodawanie i odejmowanie

P x  Q x  P x  M x 
:


, przy czym zakłada, że W  x   0 i M x   0 i Q x   0 .
W x  M  x  W x  Q x 


• przypomnieć działania na wyrażeniach algebraicznych,
• ustalić wspólny mianownik wyrażeń wymiernych, które dodajemy lub odejmujemy i podać ich dziedzinę,
• dodawać i odejmować proste wyrażenia wymierne (analogicznie jak wyrażenia algebraiczne).
39 Rozwiązywanie równań
wymiernych


• rozwiązywać proste równania wymierne, których rozwiązanie sprowadza się do rozwiązywania równań kwadratowych lub
liniowych, np.:
x 1
x3
1
1
x 2  3x  5
 2,
 4x , 
 3 itp.
 0,
x

3
x
x
x
1
x2
• określa dziedzinę każdego równania wymiernego,
• rozwiązywać układy równań wymiernych prowadzących do rozwiązywania układów równań, z których przynajmniej jedno jest
stopnia drugiego,
• rozwiązywać równania i układy równań wymiernych przez wprowadzenie pomocniczej niewiadomej,
• rozwiązuje zadania prowadzące do rozwiązywania równań lub układów równań wymiernych.
40 Nierówności wymierne


• każdą nierówność wymierną zapisać w jednej z postaci:
W x  0
P x 
P x 
P x 
P x 
 0 lub
 0 lub
 0 lub
 0 , gdzie
W x 
W x 
W x 
W x 
• określić dziedzinę nierówności wymiernej oraz korzystać z twierdzeń:
a)
P x 
 0  P x   W x   0 ,
W x 
P x 
 0  P x   W x   0 ,
W x 
c)
P x 
 0 , gdy P x   W x   0 i W  x   0 ,
W x 
d)
P x 
 0 , gdy P x   W x   0 i W  x   0 ,
W x 
b)
• rozwiązywać proste nierówności wymierne (po określeniu dziedziny nierówności) rozwiązywać ją jak nierówność wielomianową
(lub jako układ nierówności)
Np.:
x5
3x
3x  1 1
 2
 lub 2
itp.
x  9 x  3x
x2 x


Funkcja wykładnicza
L.p.
Temat lekcji
41 Potęga o wykładniku
rzeczywistym
• szacować wartość potęgi, np.: 2
3
,3
2
,
2
2
itp.
• przedstawiać w postaci potęgi o zadanej, jednej podstawie wyrażenia, np.:
2
x
2 
1
x 1
,
22
93
x2
 

3 ,  2

x
1 2
• wykonując działania na potęgach o wykładnikach niewymiernych stosować twierdzenia dotyczące działań na potęgach o
wykładnikach wymiernych,


1 2
,
• rozwiązywać układy prostych równań wykładniczych prowadzących do równań kwadratowych lub liniowych.
42 Wzór i wykres funkcji
wykładniczej


1
x
x 3
x
x
• wśród wzorów np. y  2 , y  2 , y  2 2  3 , y  3 itp. wskazać te, które są funkcjami wykładniczymi,
• szkicować wykresy funkcji wykładniczych o różnych podstawach,
x
• odczytać z wykresu y  a , gdzie a  R  i a  1 własności funkcji wykładniczej,
• obliczać, dla jakiego argumentu funkcja wykładnicza przyjmuje daną wartość,
• sprawdzać, czy punkt o danych współrzędnych leży na wykresie funkcji wykładniczej,
• obliczać ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu oraz posługując się poznanymi metodami obliczać dla jakiego
argumentu funkcja wykładnicza przyjmuje daną wartość.
43 Przekształcanie wykresu


x
• mając wykres funkcji wykładniczej f x   a , gdzie x  R  i x  1 rysuje wykresy funkcji g takich, że:
funkcji wykładniczej
x
a) g x   a – w symetrii względem osi x,
x
b) g x   a – w symetrii względem osi y,

x p
c) g x   a
– w przesunięciu o wektor u   p, 0 ,

x
d) g x   a  q – w przesunięciu o wektor   0, q ,
x
• mając wykres funkcji f x   a rysuje wykresy funkcji g takich, że: g x   f x  , g x   c  f x  i g x   f c  x 


Funkcja logarytmiczna
L.p.
Temat lekcji
44 Działania na logarytmach
(powtórzenie)
• stosować twierdzenia na:
a) logarytm iloczynu: log a x  y  log a x  log a y
x
b) logarytm ilorazu: log a y  log a x  log a y
n
c) logarytm potęgi: log a x  n  log a x , gdzie n  N
1
log b
c
d) zmieniać podstawy logarytmu log a x  log a i log a b  log a
x
c
• w prostych przykładach obliczać niewiadomą, która jest pod znakiem logarytmu, np.: log x  log 2  log 25  2 log 3
• szacuje wartość logarytmów, np.: log 7 2 , log 5 15 itp.


45 Funkcja logarytmiczna i jej
• rysować wykresy funkcji logarytmicznych o różnych podstawach np.: y  log 2 x , y  log 0,5 x itp.
własności
• określać dziedzinę, zbiór wartości funkcji logarytmicznej, miejsce zerowe oraz określa monotoniczność w zależności od podstawy
logarytmu,
• korzystając z wykresu odpowiedniej funkcji logarytmicznej
a) szacuje wartość wyrażenia, np.: log 2 7 , log 5 100 , log 3 5 itp.
b) porządkuje rosnąco lub malejąco wartości wyrażeń, np.: log 2 6 , log 3 6 , log 4 6 itp.
46 Przekształcanie wykresu
funkcji logarytmicznej


• mając wykresy funkcji logarytmicznej y  f x  i y  g x  , gdzie funkcja g jest obrazem funkcji f określa jakie przekształcenie
wykonano, by z wykresu funkcji g otrzymać wykres funkcji f (lub odwrotnie),
• mając wykres funkcji y  log a x szkicuje wykresy:
a) y  log a x  p  ,
b) y  log a x  p  ,
c) y  log a x  p   q i podaje wektor przesunięcia,
• mając wykres funkcji y  log a x rysuje wykres funkcji:
a) y   log a x ,
b) y  log a  x  ,
c) y   log a  x  ,
d) y  log a x ,
e) y  k  log a x ,
f) y  log a k x , gdzie k  0
i opisuje to przekształcenie,

• mając wykres funkcji f x   log a x , gdzie a  R \ 1 szkicuje wykres funkcji g, gdzie
a) g  x    log a x i x  R  – w symetrii względem osi x,
b) g x   log a  x  i x  R  i g1  x   log a  x  ,
c) g x   log a x  p  i g1 x   log a x ,
d) g  x   log a x  q i g1 x   log x  q ,
e) g  x   f x  ,
f) g  x   c  log a x ,
h) g  x   log a  c  x  , gdzie c  x  0 ,

• określać dziedzinę funkcji logarytmicznej oraz tej, która jest obrazem funkcji f x   log a x , gdzie x  R  i a  R \ 1 w
przekształceniach opisanych powyżej,
• odczytać z wykresu funkcji logarytmicznej pewne dane i pisać jej wzór.


Przykłady zastosowania potęg i logarytmów
L.p.
Temat lekcji
47 Rozwiązywanie równań typu
• korzystać z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x n  a , gdzie n  N  oraz:
n
x a
a) gdy a  0 i n jest liczbą naturalną dodatnią,
b) gdy a  0 i n jest liczbą naturalną nieparzystą,
n
• szkicuje wykres funkcji f x   x dla liczb naturalnych:
a) n parzystych ,
b) n nieparzystych,
• określa liczbę rozwiązań równania x n  a ,


6
3
3
3
• rozwiązuje równania wielomianowe np.: x  x  1  x x  1  0  x  x  1 x  1  0 itp.
• obliczać podstawę logarytmu, gdy dane są współrzędne punktu leżącego na wykresie funkcji y  log a x oraz argument x, gdy
dane są y i a,
• zapisuje potęgi liczb naturalnych w notacji wykładniczej,
• korzystać przy obliczaniu wartości wyrażeń z twierdzeń o logarytmach ze szczególnym uwzględnieniem twierdzenia dotyczącego
zmiany podstawy logarytmu.
48 Wzrost, zanik wykładniczy
i skala logarytmiczna


• zrozumieć omówienie własności funkcji wykładniczej – przy jednakowych przyrostach argumentu wartość funkcji wykładniczej
rośnie (maleje) tyle samo razy,
• sporządzać wykresy np.:
t
2
a) f  t   f  t0     – zanik wykładniczy,
3
t
b) f  t   f t0   1,06  – wzrost wykładniczy,
gdzie t0 – chwila, w której rozpoczęto obserwację, f  t0  – wartość początkowa obserwacji,
• funkcje y  f t  opisują zjawiska fizyczne, chemiczne oraz zagadnienia osadzone w kontekście praktycznym (spłacanie kredytu
lub odsetki przy lokacie),
• opisać zjawiska zmieniające się wykładniczo, przedstawienie na wykresie przy zastosowaniu skali logarytmicznej,
• opisać zjawiska np.:
a) przy obliczaniu głośności dźwięku,
b) skali Richtera przy trzęsieniu ziemi,
c) odczynu pH w roztworach,
d) stężenia leku we krwi itp.


Ciągi liczbowe
L.p.
Temat lekcji
49 Pojęcie ciągu liczbowego,
jego rodzaje i sposoby
określania
• wyznaczać wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym,
• rozróżniać ciągi skończone i nieskończone,
• wyznaczać wyrazy ciągu, które ilustruje graf, czyli odkrywa reguły tworzenia kolejnych wyrazów ciągu,
• rozróżniać ciągi stałe, rosnące, malejące i naprzemienne,
• wyznaczać wzór na n-ty wyraz ciągu, gdy suma jego n początkowych wyrazów jest określona wzorem Sn ,
• obliczać wyrazy ciągu, gdy jest on określony wzorem rekurencyjnym,
• napisać wzór rekurencyjny ciągu określonego wzorem ogólnym,
• przedstawić ciąg określony wzorem w postaci grafu, tabelki i wykresu.


50 Ciąg arytmetyczny i jego
własności
• zbadać, czy ciąg określony wzorem ogólnym jest arytmetyczny,
a) napisać wzór na n-ty wyraz ciągu, gdy znane są a1 i r ciągu arytmetycznego,
b) obliczyć w ciągu arytmetycznym jedną wielkość, gdy dane są trzy spośród: an , n, a1 i r,
• określić związek między oszczędzaniem bez kapitalizacji odsetek a ciągiem arytmetycznym, gdy stopa oprocentowania jest stała.
51 Suma n początkowych
wyrazów ciągu
arytmetycznego


• stosować wzory na an i S n ciągu arytmetycznego, gdy:
a) oblicza się sumę wyrazów ciągu arytmetycznego równooddalonych od wyrazu początkowego i ostatniego,
b) oblicza się sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, gdy:
1°) znana jest wartość a1 , an i n,
2°) znana jest wartość a1 , n i r,
c) wyznaczać wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, gdy suma S n określona jest wzorem,
d) rozwiązywać proste równania, gdy lewa jego strona jest sumą wyrazów ciągu arytmetycznego.
52 Ciąg geometryczny i jego
własności


• badać czy ciąg jest geometryczny:
a) podać warunki, które powinny być spełnione, by trzy liczby w podanej kolejności tworzyły ciąg geometryczny oraz:
b) odróżniać ciąg arytmetyczny od geometrycznego,
c) odróżniać różnicę ciągu arytmetycznego od ilorazu ciągu geometrycznego,
• obliczyć dowolny wyraz ciągu geometrycznego określonego wzorem ogólnym,
• podać związek ciągu geometrycznego z wartością kapitału K1 , K 2 , ..., K n , gdy dochód z kapitału K jest rozliczany łącznie z
kapitalizacją odsetek (w jednakowych okresach czasowych),
• rozwiązywać proste zadania umieszczone w kontekście praktycznym, wymagające znajomości wzoru na n-ty wyraz ciągu
geometrycznego,
• wyznaczać wzór ogólny ciągu geometrycznego an  , gdy znane są jego dwa wyrazy, które są podane lub zaznaczone na wykresie.
53 Suma n początkowych
wyrazów ciągu
geometrycznego


• stosować wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,
• obliczać sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, gdy znane są:
a) a1 i q,
b) wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego,
c) gdy znane są trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego,
• obliczać jedną spośród czterech wielkości a1 , q, n, S n , gdy znane są wartości trzech,
• rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym z wykorzystaniem wzoru na sumę S n .



kontrola matematyki

Transkrypt

Podobne dokumenty

klasa III

Wprowadzenie

Załącznik Nr 5 TRUDNOŚCI Formy/metody/sposoby dostosowania

Schemat blokowy dla algorytmu iteracyjnego i rekurencyjnego

Hasło zlozonosc

Funkcja RIPEMD-160 - Zabezpieczenia kryptograficzne

Pobierz PDF - e-Swoi

Algorytmy - podstawowe informacje

klasa II

PEA – laboratorium nr 2