Produkt grup

Produkt grup
1
Definicja i przykłady produktów grup
Zadanie 1 Rozważmy dwie podgrupy G1 , G2 grupy G. Przy jakich założeniach odwzorowanie
f : G1 × G2 → G, f (g1 , g2 ) = g1 g2 , jest homomorfizmem grup? Kiedy to odwzorowanie jest
izomorfizmem grup?
Zadanie 2 Podaj przykład izomorfizmu grup Z2 × Z5 i Z10 .
Zadanie 3 Czy grupy Z3 × Z3 i Z9 są izomorficzne?
Zadanie 4 Znajdź wszystkie podgrupy następujących grup:
a)Z2 × Z4 ,
2
b)Z3 × Z3 ,
c)Z2 × Z5 .
Suma prosta podgrup
Zadanie 5 Przedstaw grupę Z10 w postaci sumy prostej podgrup izomorficznych z grupami Z2 i
Z5 .
Zadanie 6 Czy grupę Z można przedstawić w postaci sumy prostej dwóch nietrywialnych podgrup?
Zadanie 7 Przedstaw w postaci sumy prostej podgrup C = R+ ⊕ . . .
Zadanie 8 Udowodnij, że jeżeli B jest taką podgrupą grupy przemiennej A, że grupa A/B jest
cykliczna, to istnieje podgrupa C grupy A, dla której A = B ⊕ C.
3
Twierdzenie o rozkładzie na sumę prostą podgrup
Zadanie 9 Wyznacz z dokładnością do izomorfizmu wszystkie grupy abelowe rzędu:
10, 25, 36, 100, 144, 180, 210, 1000.
Zadanie 10 Które z poniższych grup są izomorficzne:
Z6 × Z6 , Z2 × Z18 , Z2 × Z3 × Z6 , Z2 × Z12 , Z2 × Z2 × Z3 × Z3 ?
Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia z algebry, III rok informatyki, wiosna 2003.
Produkt grup, wersja pierwsza, 28 V 2003.
1