Algebra

Algebra
Lista 4
1. Zaªó»my, »e
H
jest podgrup¡
G, a N
podgrup¡ normaln¡
G.
Poka», »e wtedy
HN
jest podgrup¡
G.
N , a N podgrup¡ normaln¡ G. Poka», »e wtedy K
G. Wskazówka: Rozwa» G = A4 (grupa permutacji parzystych
czterech elementów), N - podgrupa A4 izomorczna z grup¡ czwórkow¡ Kleina.
2. Zaªó»my, »e
K
jest podgrup¡ normaln¡
nie musi by¢ podgrup¡ normaln¡
3. Jak wygl¡da podgrupa
S3
generowana przez cykl
Podaj tabelk¦ grupy ilorazowej
S3
(1, 2, 3)?
Poka», »e ta podgrupa jest normalna.
przez t¡ podgrup¦. Zdeniuj epimomorzm z
S3
na t¡ grup¦
ilorazow¡.
a: fa : G → G, fa (x) = axa−1 jest automorzmem grupy G.
G opisywane funkcjami fa dla a ∈ G s¡ automorzmami wewn¦trznymi.
4. Poka», »e funkcja sprz¦»enia przez
Automorzmy grupy
automorzmy zewn¦trzne.
Pozostaªe automorzmy to
Poka», »e zbiór wszystkich autormor-
zmów grupy z dziaªaniem skªadania stanowi grup¦, a zbiór automorzmów wewn¦trznych jest
jej podgrup¡.
5. Zaªó»my, »e w pewnej grupie istnieje dokªadnie jeden element
taki, »e
6.
x2 = 1.
Poka», »e wtedy
(a) Udowodnij Fakt 54 z
odpowiednio
B i A,
x
x
ró»ny od elementu neutralnego
nale»y do centrum grupy, czyli
Notatek :
Obraz i j¡dro homomorzmu
∀a ∈ G ax = xa.
F :A→B
s¡ podgrupami,
co wi¦cej, j¡dro jest podgrup¡ normaln¡.
(b) Udowodnij Fakt 55 z
Notatek :
j¡dro homomorzmu jest jednoelementowe wtedy i tylko
wtedy, gdy homomorzm jest ró»nowarto±ciowy.
7. Niech grupa
podgrup¡
G
G dziaªa na zbiorze X .
x ∈ X stabilizator stab(x) jest
stab(x)
jest podgrup¡ normaln¡
x∈X
Udowodnij, »e dla dowolnego
oraz, »e przekrój wszystkich stabilizatorów
T
G.
Notatek : zbiór orbit dziaªania grupy G na zbiorze X
Wzoruj si¦ na dowodzie podobnego twierdzenia o warstwach.
8. Udowodnij Twierdzenie 65 z
X.
Wskazówka:
9. Przypomnijmy, »e centrum grupy,
Poka», »e
Z(G)
Z(G),
deniujemy jako
tworzy podziaª
Z(G) = {a ∈ G : ∀b ∈ G ab = ba}.
jest podgrup¡ normaln¡. Mo»esz to zrobi¢ bezpo±rednio, ale mo»esz te» sko-
rzysta¢ z zadania 7, rozwa»aj¡c dziaªanie grupy
G
na sobie przez sprz¦»¦nia (patrz
Notatki,
Przykªad 61 (c); czym s¡ wtedy stabilizatory? czym jest przekrój wszystkich stabilizatorów?).
10. Zbuduj izomorzm pomi¦dzy
G/Z(G)
oraz zbiorem automorzmów wewn¦trznych
G.