Laboratorium 2

Transkrypt

Laboratorium 2

Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
Przejmowanie ciepła przy wymuszonym opływie wzdłuż
płaskiej płyty
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest numeryczne modelowanie mechanizmu wymiany ciepła wzdłuż płaskiej
płyty omywanej strumieniem płynu.
Wprowadzenie
Proces przejmowania ciepła wzdłuż płaskiej płyty omywanej płynem jest bardzo
rozpowszechniony w procesach technicznych. Można go spotkać m.in. w olbrzymich
płytowych wymiennikach ciepła o wysokościach przekraczających 3 metry oraz w mniejszej
skali, np. gdy mikroprocesory chłodzone są strumieniem powietrza wytworzonym przez
wentylatory. Zrozumienie oraz modelowanie mechanizmu przejmowania ciepła wzdłuż
płaskiej płyty ma bardzo istotne znaczenie przy projektowaniu oraz optymalizacji tych
procesów.
Rozważany przepływ płynu wzdłuż grzanej płyty jest przedstawiony na rys. 2. W wyniku
wzajemnego oddziaływania płynu oraz płyty powstaje obszar, w którym prędkość płynu
zmienia się od wartości zero na powierzchni płyty do prędkości niezakłóconego przepływu.
Obszar, w którym występuje opisane zjawisko zwany jest hydrodynamiczną warstwą
przyścienną.
Jeżeli istnieje różnica temperatur między płytą a omywanym płynem, to w obszarze między
płytą a czynnikiem omywanym temperatura będzie zmieniać się od temperatury płyty Ts do
temperatury przepływu niezakłóconego T∞ (rys. 3). Obszar ten nazywamy termiczną warstwą
przyścienną. Warstwa ta może być mniejsza, większa lub taka sama jak hydrauliczna warstwa
przyścienna.
Zjawisko w którym występuje warstwa hydrauliczna lub termiczna nosi nazwę konwekcji.
Zależnie od natury przepływu konwekcja posiada dwie formy. Jeżeli przepływ jest
wymuszony przez urządzenia dodatkowe, takie jak wentylator, pompa, itp., mówimy o
wymuszonej konwekcji. Jeżeli przepływ jest konsekwencją istnienia różnicy gęstości płynu,
będącej wynikiem różnic temperatur, mówimy o konwekcji naturalnej. Najczęściej można
spotkać kombinację tych dwóch odmian konwekcji zwaną konwekcją mieszaną. W naszym
laboratorium będziemy zajmowali się numerycznym modelowaniem przepływu w przypadku
konwekcji wymuszonej.
Rys. 1 Warstwa przyścienna wzdłuż płaskiej ściany - badania eksperymentalne
Autor: Sławomir Pietrowicz
1
u∞
Laminarna warstwa
przyścienna
Obszar
przejściowy
Turbulentna warstwa
przyścienna
u∞
u∞
3
2
1
δ
4
x kr1
x kr2
B
dQ’x
D
T
Q x+dx
Qx
dQ’’x
A
Ts
x
δT
Rys. 2 Warstwa przyścienna przy opływie powierzchni płaskiej: 1 - warstwa laminarna, 2 –
obszar przejściowy, 3 – warstwa turbulentna, 4 – podwarstwa laminarna
y
T∞
T∞
C
Ts
x
dx
Rys. 3 Termiczna warstwa przyścienna
Hydrauliczna warstwa przyścienna
Równania opisujące przepływ cieczy w postaci równań różniczkowych zostały
wyprowadzone przez Naviera – Stokesa w 1845 r., ze względu na złożony charakter tych
zależności, rozwiązania ogólne są niemożliwe. Przy pewnych założeniach upraszczających,
polegających na pomijaniu członów, które mają małą wartość w porównaniu z innymi
członami można uzyskać prostsze, przybliżone formy, łatwiejsze do rozwiązania (Stokes
1851 r. i inni). Niestety wszystkie te uproszczenia dotyczyły przepływów w których liczba
Reynoldsa jest niewielka, a więc o małej skali zastosowań w technice. Rewolucyjnym
krokiem w rozwiązywaniu równań Naviera – Stokesa było wprowadzenie idei warstwy
przyściennej przez Prandtla w 1904 r. i zdefiniowanej jako obszar w którym lepkość wpływa
istotnie na pole prędkości, które jest silnie niejednorodne.
Obszar ten został podzielony na kilka podstref (rys. 2) takich jak: laminarna warstwa
przyścienna (1), przejściowa warstwa przyścienna (2) oraz turbulentna warstwa przyścienna
(3). Po dokładniejszej analizie turbulentnej warstwy przyściennej można stwierdzić, że blisko
2
powierzchni ciała stałego występuje podwarstwa laminarna (4), która stopniowo przechodzi w
warstwę turbulentną (3).
Hydrodynamiczną warstwę przyścienną można opisać następującymi równaniami:
- równaniem ciągłości:
∂ρ
+ ∇(ρ u ) = 0
∂t
(1)
gdzie:
ρ – gęstość płynu;
u – wektor prędkości, którego składowe prędkości odpowiednio w kierunkach – x, y, z
wynoszą u = (ux, uy, uz).
-
równaniem bilansu pędu w postaci równania Naviera – Stokesa:
∂ρ u
+ u ⋅ ∇( ρ u) = ρ F − ∇p + µ ∆u
∂t
(2)
W rozpatrywanym modelu hydrodynamicznej warstwy przyściennej można zastosować
szereg założeń upraszczających, wynikających z cech tej warstwy. Pierwszym istotnym
uproszczeniem jest fakt, że rozpatrywany przepływ może być uznany za przepływ
dwuwymiarowy – w kierunku osi x oraz y, co prowadzi do konkluzji, że składowa prędkości
uz jest równa zeru. Zakładamy także, że płyn omywający płytę jest płynem nieściśliwym,
czyli ρ = const.
Drugim ważnym uproszczeniem jest założenie, że przepływ ma charakter przepływu
ustalonego, tzn.
∂u x ∂u y ∂ρ
=
=
= 0;
(3)
∂t
∂t
∂t
Pozostałe uproszczenia to uproszczenia, które są konsekwencją założeń hydrodynamicznej
warstwy przyściennej:
∂u y
∂u x
∂u
∂ 2u
∂ 2u x
∂p
∂p
>> x ≈ −
= 0 , 2x >>
= 0,
>>
=0
(4)
2
∂x
∂y
∂y
∂x
∂y
∂y
∂x
Po zastosowaniu powyższych uproszczeń równania, które pozwolą nam opisać rozkład
prędkości w pobliżu ściany, można zapisać jako:
- równania ciągłości
∂u x ∂u y
+
=0
∂x
∂y
-
równania bilansu pędu
 ∂u
∂u 
∂p ∂  ∂u
ρ  u x x + u y x  = − +  µ x
∂x
∂y 
∂x ∂y  ∂y

(5)



(6)
Charakter przepływu hydrodynamicznej warstwy przyściennej definiują tzw. krytyczne liczby
Reynoldsa, które zostały wyznaczone eksperymentalnie i są opisane równaniami:
u x
u x
Re kr1 = ∞ kr1 oraz Re kr 2 = ∞ kr 2
(7)
ν
ν
gdzie:
3
u∞ - prędkość niezakłóconego przepływu;
xkr1 – odległość wzdłuż osi x, dla której następuje przejście od warstwy laminarnej do
warstwy przejściowej (rys.2);
xkr2 - odległość wzdłuż osi x, przy której przekroczeniu przepływ ma charakter
turbulentny (rys.2);
ν – kinematyczny współczynnik lepkości.
Krytyczne liczby Reynoldsa przy opływie płaskiej powierzchni ciała stałego są zawarte w
granicach od 104 do 4 106. W praktyce przyjmuje się:
Re kr1 ≈ Re kr 2 ≈ 5 × 10 5
Jak wspomniano wcześniej zakłada się, że prędkość cząstek płynu położonych bezpośrednio
przy powierzchni ciała stałego jest równa zeru (pierwszy warunek brzegowy):
u x = u y = 0 dla y = 0;
(8)
Poza warstwą przyścienną o grubości δ, prędkość płynu u∞ nie zmienia się w kierunku
prostopadłym do opływanej powierzchni (drugi warunek brzegowy):
 ∂u x 


=0
(9)
∂
y

 y >δ
u x = u ∞ (x) dla y ≥ δ
Należy postawić pytanie, co to jest grubość hydrodynamicznej warstwy przyściennej δ?
Definiuje się ją jako odległość od powierzchni ciała stałego, na której prędkość ux osiąga 99%
prędkości u∞. Zilustrowano to na rys. 4.
u ∞≅
u∞
0.99 w
y
δ
∂u
∂y =0
Zerowa
prędkość
na powierzchni
płyty ux= u y=0
x
Rys. 4 Rozkład prędkości w hydrodynamicznej warstwie przyściennej oraz warunki brzegowe
Jeden z przybliżonych sposobów rozwiązań równań hydrodynamicznej warstwy przyściennej
otrzymuje się na podstawie równania całkowego Kármaná.
W końcowej fazie równania (5) i (6) po wprowadzeniu równań całkowych Kármaná można
sprowadzić do równania różniczkowego zwyczajnego o postaci:
cf
τs
du ∞
∂δ **
1
1 dρ ∞ **
δ =
+
2δ ** + δ *
+
=
(10)
ρ ∞ dx
∂x
u∞
dx
2
ρ ∞ u ∞2
gdzie:
(
δ * u∞ =
δ ( x)
∫ (u
∞
)
− u x )dy - δ*- grubość odsunięcia i należy ją interpretować jako stratę
0
spowodowaną przyhamowaniem płynu w warstwie przyściennej, gdy wszystkie punkty
konturu ściany przesunąć o δ*(x) w głąb obszaru przepływu, redukcja strumienia masy w
4
przepływie idealnym przez tak zwężony przekrój lub w opływie wokół tak pogrubionego
profilu byłaby identyczna jak w przepływie rzeczywistym z warstwą przyścienną (rys. 5).
δ u∞ =
**
δ ( x)
∫ u (u
x
∞
− u x )dy - δ**(x) - grubość straty pędu. Przesunięcie konturu ściany o δ** w
0
głąb obszaru wewnętrznego, redukcja pędu w przepływie idealnym byłaby identyczna jak w
przepływie rzeczywistym.
Rys. 5 Profil prędkości z zaznaczoną warstwą zmniejszonego strumienia płynu
Wielkość cf określa się jako miejscowy współczynnik oporu, który jest zdefiniowany przez
wyrażenie:
2τ s
cf =
(11)
ρ ∞ u ∞2
gdzie:
τs – naprężenie tarcia na powierzchni płyty, wynikające z lepkości cieczy można opisanej
równaniem:
 ∂u 
3 u
τ s = µ  x 
= µ x
(12)
 ∂y  yx =0 2 δ
Całkowita siła oporu na powierzchni płyty wynosi:
L
F = ∫ τ s ( x)dx
(13)
0
Charakter zmian lokalnego współczynnika oporu w zależności od rodzaju przepływu został
przedstawiony na rys.6.
5
Rys. 6 Zmienność lokalnego współczynnika oporu w zależności od charakteru przepływu
Charakter krzywej Cf(x) zależny jest od rodzaju przepływu. W obszarze laminarnym i
turbulentnym krzywa ta ma tendencję malejącą, natomiast tylko w obszarze przejściowym
wartość miejscowego współczynnika oporu rośnie.
Aby obliczyć wyrażenie 12, należy rozwiązać całkowe wyrażenia δ*, δ**. W tym celu
niezbędna będzie znajomość rozkładu prędkości w warstwie przyściennej.
W najprostszym przypadku zakłada się, że rozkład prędkości w laminarnej warstwie
przyściennej można aproksymować wielomianem trzeciego stopnia:
wx = a 0 + a1 y + a 2 y 2 + a3 y 3
(14)
w którym po uwzględnieniu warunków brzegowych (8) i (9) współczynniki przy zmiennej y
wynoszą:
3 u∞
1 u∞
a0 = 0 , a1 =
, a 2 = 0 ; a3 = −
2 δ
2δ3
Po scałkowaniu wyrażenia na δ* oraz δ** uzyskamy zależność na grubość warstwy
przyściennej w postaci:
νx
x
δ = 4.64
= 4.64
(15)
u∞
Re x
gdzie miejscowa liczba Reynoldsa zdefiniowana jest zależnością:
u x
Re x = ∞
ν
Na podstawie dokładnych obliczeń dokonanych przez Blassiusa, można wyliczyć, że grubość
laminarnej warstwy przyściennej wynosi:
νx
x
δ =5
=5
(16)
u∞
Re x
Jak wynika z analizy równania opisującego laminarną warstwę przyścienną, grubość tej
warstwy jest odwrotnie proporcjonalna do liczby Reynoldsa.
Miejscowy współczynnik oporu wynosi:
0.664
cf =
(17)
Re x
i jest odwrotnie proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego iloczynu prędkości oraz
odległości x od krawędzi płyty.
6
Rozkład prędkości dla turbulentnej warstwy przyściennej zgodnie z postulatem Prandtla
można aproksymować wykładniczą zależnością:
1
 y n
u x = u∞  
δ 
(18)
gdzie:
n = 7, gdy rozpatrujemy przepływ, który mieści się w zakresie liczb Reynoldsa między
5 × 10 5 ≤ Re x ≤ 10 7 .
Po uwzględnieniu powyższych założeń, zależność, która opisuje grubość turbulentnej
warstwy przyściennej, przyjmuje postać:
1
5
 ν  45
x
δ = 0.376  x = 0.376 1 / 5
(19)
Re x
 u∞ 
a miejscowy współczynnik oporu wynosi:
0.0592
cf =
(20)
Re1x/ 5
W tabeli 1 przedstawiono podsumowujące zestawienie, na podstawie którego można obliczyć
grubość warstwy przyściennej oraz miejscowy współczynnik oporu w zależności od
charakteru przepływu.
Tabela 1
Charakter przepływu
Zakres liczby
Reynoldsa
Laminarny
Rex <5 ×105
Turbulentny
5
Grubość warstwy
przyściennej
5x
δ ( x) =
Re x
7
5 ×10 <Rex <10
δ ( x) = 0.376
x
Re
1
5
x
Miejscowy
współczynnik oporu
0.664
c f ( x) =
Re x
c f ( x) =
0.0592
Re
1
5
x
Termiczna warstwa przyścienna na powierzchni płaskiej
Przejmowanie ciepła
powierzchni płaskiej
przy
laminarnej
warstwie
przyściennej
na
Z chwilą, gdy płyn omywający ciało stałe ma inną temperaturę niż powierzchnia ciała stałego,
w pobliżu tej powierzchni powstaje tzw. termiczna warstwa przyścienna, w której temperatura
zmienia się od temperatury powierzchni ciała stałego Ts do temperatury płynu poza warstwą
przyścienną T∞. Warstwa ta została pokazana na rys. 7.
7
y
T∞
B
T∞
dQ’x
D
T
Q x+dx
Qx
dQ’’x
A
Ts
x
δT
u∞
C
x
Ts
dx
Rys. 7 Bilans energii dla termicznej warstwy przyściennej
Jeżeli uznamy, że omywający płyn jest jednoskładnikowy, wtedy oprócz równań opisujących
hydrauliczną warstwę przyścienną tzn. równania ciągłości i równania bilansu pędu, niezbędne
jest także równanie bilansu energii w postaci:
dT
dp
ρc p
= ∇ ⋅ (λ∇T ) +
+ µΦ v
(21)
dt
dt
gdzie:
Φv – funkcja dyssypacyjna Rayleigha
Podobnie jak to miało miejsce w hydraulicznej warstwie przyściennej, można założyć, że
wymiana ciepła ma charakter ustalony oraz dwuwymiarowy:
∂T ∂p ∂T ∂p ∂p ∂u x ∂u y ∂u z
=
=
=
=
=
=
=
=0
(22)
∂t
∂t
∂z ∂y ∂z
∂z
∂z
∂z
Następne bardzo ważne uproszczenia wynikają z charakteru warstwy oraz badań
eksperymentalnych i wynoszą:
2
∂ 2u x
∂ 2u x
∂ 2T
∂ 2T
 ∂u x 
>> 2 ≈ 0,
>>
≈ 0, 
(23)
 =0
∂y 2
∂x
∂y 2
∂x 2
 ∂x 
Po wprowadzeniu przytoczonych uproszczeń do równań 2 oraz 21 otrzymano równanie
bilansu energii w postaci:
2
 ∂u 
∂T
∂T
∂  ∂T 
∂p
 + u x
ρc p u x
(24)
+ ρc p u y
=  λ
+ µ  x 
∂y
∂y ∂y  ∂y 
∂y
 ∂y 
oraz równanie bilansu pędu:
 ∂u
∂u 
∂ 2u
∂p
ρ  u x x + u y x  = − + µx 2x
(25)
∂x
∂y 
∂x
∂y

Dokładne rozwiązanie układu równań różniczkowych opisujących hydrauliczną i termiczną
∂p
warstwę przyścienną możemy uzyskać przy założeniach, że ρ = const,
= 0 . Przy takich
∂x
założeniach równania 24 i 25 można przedstawić w formie:
∂T
∂T
∂ 2T ν
ux
+ uy
=a 2 +
∂y
∂y
cp
∂y
8
 ∂u x

 ∂y



2
(26)
ux
∂u x
∂u
∂ 2u x
+ uy x =ν
∂x
∂y
∂y 2
∂u x ∂u y
+
=0
∂x
∂y
(27)
(28)
gdzie:
a – dyfuzyjność termiczna (współczynnik wyrównywania temperatur)
z warunkami brzegowymi w postaci:
ux = uy = 0, T = Ts dla y = 0;
ux = u∞, T = T∞ dla y → ∞
(29)
(30)
Miejscowe liczby Nusselta wynoszą:
Nu x = 0.564 Re x Pr dla małych liczb Prandtla; (31)
Nu x = 0.3323 Pr Re x dla 0.6 < Pr < 10;
(32)
Nu x = 0.3393 Pr Re x dla dużych liczb Prandtla. (33)
Przy wyznaczaniu liczby Prandtla i liczby Nusselta właściwości fizyczne płynu powinny być
określone dla średniej temperatury warstwy przyściennej zdefiniowanej zależnością:
T + T∞
(34)
Tw = s
2
Przejmowanie ciepła
powierzchni płaskiej
przy
turbulentnej
warstwie
przyściennej
na
Turbulentna warstwa przyścienna powstaje wtedy, gdy prędkość omywanego płynu jest na
tyle duża, że przepływ ma charakter turbulentny. Jeżeli cała powierzchnia jest izotermiczna
oraz liczba Prandtla nie jest mniejsza od 0.5, hydrodynamiczna i termiczna warstwa
przyścienna rozpoczynają się od tego samego miejsca (x = 0), a grubość ich jest prawie
jednakowa. Ta ważna cecha prowadzi do stwierdzenia że, podobnie jak to miało miejsce w
przypadku hydrodynamicznej warstwy przyściennej, rozkład nadwyżki temperatury w
turbulentnej warstwie przyściennej ma rozkład wykładniczy:
1
T − Ts  y  7
ϑ
ϑ+ =
=
= 
(35)
ϑ∞ T∞ − Ts  δ T 
Przy takim rozkładzie nadwyżki temperatury lokalną liczbą Nusselta, można obliczyć z
zależności:
Nu x = 0.0296 Re
0.8
x
Pr
1
3
(36)
W tabeli 2 przedstawiono podsumowujące zestawienie, na podstawie którego można obliczyć
lokalną liczbę Prandtla oraz Nusselta w zależności od charakteru przepływu.
Tabela 2
9
Laminarny
Zakres liczby
Reynoldsa
Rex <5 ×105
Zakres liczy
Prandtla
Pr > 0.6
Nu x = 0.332 Re x 3 Pr
Turbulentny
5 ×105<Rex <107
0.6 < Pr < 60
Nu x = 0.0296 Re 0x.8 3 Pr
Charakter przepływu
Liczba Nusselta
Średnia liczna Nusselta zdefiniowana zależnością
L
1
Nu = ∫ Nu x dx
L0
wynosi:
Dla przepływu laminarnego:
αL
Nu =
= 0.664 Re 0L.5 Pr 1 / 3 dla ReL<5×105
λ
(38)
(39)
Dla przepływu turbulentnego:
αL
(40)
= 0.037 Re 0L.8 Pr 1 / 3 dla 5×105<ReL< 107 oraz 0.6<Pr<60
λ
Dla laminarnej warstwy przyściennej stosunek grubości termicznej warstwy przyściennej do
hydrodynamicznej warstwy przyściennej jest stały i wynosi:
Nu =
1
−
δt
= Pr 3
(41)
δ
Dla powietrza charakteryzującego się liczbą Prandtla równą 0.7 stosunek ten wynosi –
1.12625.
Plan laboratorium
1. Pierwszy zestaw ćwiczeń przeprowadzić dla wartości liczby Reynoldsa wynoszącej
106 czyli dla przepływu laminarnego, zaobserwować zmiany miejscowego
współczynnika oporu, oszacować wartości xkr1, xkr2. Następnie wyznaczyć profil
prędkości w dwóch przekrojach - około połowy i na końcu płyty, to samo powtórzyć
dla profilu temperatury. Określić dla jakich wartości x, profil prędkości oraz
temperatury wynosi około 99 % prędkości lub temperatury przepływu
niezakłóconego, porównać z wartościami teoretycznymi, przedstawionymi w tabeli 1.
2. Powtórzyć czynności opisane w punkcie 2, zmieniając liczbę Reynoldsa w granicach
od 106 do 107, zastanowić się nad wyborem modelu przepływu (turbulentny,
laminarny)
3. Przeprowadzić obliczenia dla płyty o długości 5 m, która jest omywana olejem o
temperaturze 60°C i prędkości v = 2 m/s. Temperaturę płyty przyjąć 20°C. Dla
temperatury średniej, która wynosi: 40°C, właściwości oleju są następujące: gęstość ρ
= 876 kg/m3 oraz kinematyczny współczynnik lepkości wynosi ν = 242 ×10-6m2/s, cp=
1950 J/kg*K, λ= 0.144 W/m*K. Obliczyć ilość ciepła oddanego od olej do płyty.
10 Autor: Sławomir Pietrowicz

Laboratorium 2

Transkrypt

Podobne dokumenty

Warstwa przyścienna - teoria

5. SIŁY OPORU KSZTAŁTU

6. ODERWANIE WARSTWY PRZYŚCIENNEJ

Rozwiązanie Blasiusa dla laminarnej warstwy przyściennej

Opory przy opływie

Karta produktu - Gór-Stal

Płyta przykrywająca TYP I Kręgi nadstawcze 500, 1000 - Eko

ZESTAW ZADAŃ NR 1 1. Gdy komputer pracuje (jest włączony