3 Xf

Matematyka II
LISTA 4. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. Obliczanie pochodnej funkcji z definicji. Pochodna funkcji
złożonej. Różniczka funkcji. Równanie stycznej do wykresu funkcji. Różniczkowalność funkcji.
Zad.1. Obliczyć z definicji pochodne następujących funkcji:
f ( x) 
1)
1
3
w punkcie x0  2 ; 2) f  x   x w punkcie x0  R ; 3) f  x   x w pkt. x0  R
x
Zad.2. Obliczyć pochodne następujących funkcji:
2 x  6 ; 3) f x   cos(8  3x) ;4) f x   ln(2  x) ;
x  2 ; 2) f x  
1) f x   x 4  2 x 3 
5)
f x   tg (sin x) ; 6) f x   e 5 x  x ; 7) f x   e sin x ; 8) f x   (5x  x 5 )10 ;
9)
f x   5 x x
2
 2 x ;10)
f x   ctg (
x2 x
3
x6
) ;11) f x   tg 3 ( x 2  x ) ; 12) f x   3x 5  x 2 
f x   2 sin x  x  3 ; 14) f x   ( x  x )e
3
13)
2
5
x
x
1
 12 ;
x
 4x
3  cos x
; 16) f x  
;
5x  1
sin x
x
; 15) f  x  
2
2x 1
x5 x3
2
x 2 3 x


;
18)
; 19) f x   (1  x )e
; 20) f ( x)  4 1  tgx ;
f
x

x
4
2 1
x
1
2
 x  4x 
 ; 22) g m  cos(m 3  m) ; 23) hw  3 w  w3 ; 24) pk   3k 3  sin k ;
21) f  x   ln 
 5x  1 
17)
f x  
25)
f x   tg 3 ( x 2  x ) ;26) f x   5 x x 2  2 x ;27) f x   ctg (
28)
f x   tg 3 ( x 2  x ) ;29) f x   (1  x 2 )e x
Zad. 3.Obliczyć pochodne
1)
2
3 x
;30)
x2 x
3
x6
);
f ( x)  4 1  tgx .
f x , f x , f x  dla funkcji:
f x   x 5  8x 4  13 ; 2) f x   x 3 2 x  1 ; 3) f x  
2
2x
.
x 1
Zad.4. Korzystając z pochodnej logarytmicznej obliczyć pochodne funkcji:
1) y  x ; 2) y  x
; 3) y  sin x 
; 4) y  xe cos 5 x ; 5) y  x .
Zad.5. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń:
x
1)
3
cos x
sin x
xx
2x
7,97 ; 2) ln 1,02 ; 3) e 0,1 ; 3) a  3 1,06 ; 4) b  arctg 0,95 .
Zad.6. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji
1)
f x   x 2 w punkcie P2, 4 ; 2) y  e  x w punkcie o odciętej x = 1;
2
Zad.7. Na wykresach funkcji: a) f ( x)  x ; b) f ( x)  ln x ; c)
Znaleźć punkty, w których styczna jest równoległa do prostej y
3
Zad.8. Dla funkcji

f ( x)  sin x
 x.

f ( x)  1  x x x obliczyć f ' (0)  f ' (1)
Zad.9.. Znaleźć punkty, w których następujące funkcje nie posiadają pochodnych:
1)
f ( x)  x  2 ; 2) f ( x)  x  x  1 . Podać interpretację graficzną..
KB 2015/2016
Strona 1