Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny

Transkrypt

Numeryczne aproksymacje
prawdopodobieństwa ruiny
Krzysztof Burnecki
Aleksander Weron
Centrum Metod Stochastycznych
im. Hugona Steinhausa
Instytut Matematyki i Informatyki
Politechnika Wrocławska
www.im.pwr.wroc.pl/˜hugo
Statystyka aktuarialna - teoria i praktyka. Wrocław, 21-23 maja 2007
Program wystąpienia
• Klasyczny proces ryzyka
• Prawdopodobieństwo ruiny w czasie nieskończonym
– Znane dokładne wzory na prawdopodobieństwo ruiny
– Aproksymacje w czasie nieskończonym
– Porównanie aproksymacji na przykładzie danych szkodowych
• Prawdopodobieństwo ruiny w czasie skończonym
– Znane dokładne wzory na prawdopodobieństwo ruiny
– Aproksymacje w czasie skończonym
– Porównanie aproksymacji na przykładzie danych szkodowych
1
Literatura
[1] S. Asmussen (2000), Ruin Probabilities, World Scientific.
[2] K. Burnecki, P. Miśta, A. Weron (2005), A new gamma type
approximation of the ruin probability, Acta Physica Polonica B
36, 1473–1483.
[3] K. Burnecki, P. Miśta, A. Weron (2005), Ruin probabilities in
finite and infinite time, w: Statistical Tools for Finance and
Insurance. [Edytorzy] P. Cizek, W. Härdle, R. Weron (Springer),
341–379.
[4] K. Burnecki, P. Miśta, A. Weron (2005), What is the best
approximation of ruin probability in infinite time?, Appl. Math.
(Warsaw) 32, 155–176.
[5] J. Grandell (2000), Simple approximations of ruin probability,
Insurance: Mathematics & Economics 26, 157–173.
2
Proces zagregowanej wypłaty
St =
Nt
X
Xk ,
St = 0, gdy Nt = 0
k=1
Nt – liczba wypłat w portfelu do czasu t
X1 , X2 , ... – wysokości poszczególnych wypłat
Założenia:
• Nt jest jednorodnym procesem Poissona o intensywności λ > 0
• X1 , X2 , . . . są niezależnymi zmiennymi o jednakowych rozkładach
danych dystrybuantą F i skończonej średniej µ
• zmienne losowe Nt , X1 , X2 , . . . są wzajemnie niezależne
3
Proces ryzyka
Rt = u + ct − St ,
u – kapitał początkowy
c – intensywność napływu składki
Założenia:
• c = (1 + θ)λµ, gdzie względny narzut na bezpieczeństwo θ > 0
4
Prawdopodobieństwo ruiny
Czas ruiny:
τ (u) = inf{t ≥ 0 : Rt < 0}
Definicja 1 Prawdopodobieństwo ruiny w skończonym czasie T
ψ(u, T ) = P(τ (u) ≤ T )
Prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym czasie
ψ(u) = P(τ (u) < ∞)
5
6
Współczynnik dopasowania
Definicja 2 Współczynnikiem dopasowania nazywamy dodatnie
rozwiązanie (o ile istnieje) równania:
1 + (1 + θ)µR = MX (R),
R < sup MX (z) < ∞
z
7
Rozkłady lekko-ogonowe
nazwa
parametry
wykładniczy
β>0
gęstość
fX (x) = βe−βx ,
x≥0
βα
xα−1 e−βx ,
Γ(α)
τ −1 −cxτ
gamma
α > 0, β > 0
fX (x) =
Weibull
c > 0, τ ≥ 1
n
P
βi > 0,
ai = 1
fX (x) = cτ x
e
,
n
P
fX (x) =
(ai βi e−βi x ),
mieszanina wykł.
i=1
x≥0
x≥0
x≥0
i=1
Rozkłady ciężko-ogonowe
nazwa
parametry
Weibull
c > 0, 0 < τ < 1
log-normalny
µ ∈ R, σ > 0
log-gamma
α > 0, β > 0
Pareto
α > 0, ν > 0
Burr
α > 0, ν > 0, τ > 0
gęstość
τ
fX (x) = cτ xτ −1 e−cx ,
(log(x)−µ)2
−
2σ 2
e
√ 1
2πσx
β α (log(x))α−1
fX (x) =
,
xβ+1
Γ(α)α
α
ν
fX (x) = ν+x
,
ν+x
α τ −1
fX (x) = ατ ν τx α+1 ,
(ν+x )
fX (x) =
x≥0
,
x≥0
x≥1
x≥0
x≥0
8
Prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym
czasie. Wyniki dokładne
• Zerowy kapitał początkowy
ψ(u) =
1
1+θ
• Wykładniczy rozkład wypłat
1
θβu
ψ(u) =
exp −
1+θ
1+θ
9
• Rozkład wypłat gamma (numeryczne całkowanie od 0 do ∞);
średnia 1 oraz α ≤ 1
αθ sin(απ)
θ(1 − R/α) exp(−Ru)
+
· I,
ψ(u) =
1 + (1 + θ)R − (1 + θ)(1 − R/α)
π
gdzie
Z
I=
0
∞
xα exp {−(x + 1)αu}
[xα
2
2
{1 + α(1 + θ)(x + 1)} − cos(απ)] + sin (απ)
dx
10
• Mieszanina 2 rozkładów wykładniczych
1
ψ(u) =
{(ρ − r1 ) exp(−r1 u) + (r2 − ρ) exp(−r2 u)} ,
(1 + θ)(r2 − r1 )
gdzie
i1/2
ρ + θ(β1 + β2 ) − {ρ + θ(β1 + β2 )} − 4β1 β2 θ(1 + θ)
h
r1 =
2
,
2(1 + θ)
i1/2
ρ + θ(β1 + β2 ) + {ρ + θ(β1 + β2 )} − 4β1 β2 θ(1 + θ)
h
r2 =
2
2(1 + θ)
aβ1−1
p=
−1
−1 ,
aβ1 + (1 − a)β2
ρ = β1 (1 − p) + β2 p
,
Aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny w
nieskończonym czasie
• Aproksymacja Craméra–Lundberga
• Aproksymacja wykładnicza
• Aproksymacja Lundberga
• Aproksymacja Beekmana–Bowersa
• Aproksymacja Renyi
• Aproksymacja De Vyldera
• Aproksymacja 4-momentowa gamma De Vyldera
11
• Aproksymacja ”heavy traffic”
• Aproksymacja ”light traffic”
• Aproksymacja ”heavy-light traffic”
• Aproksymacja podwykładnicza
• Komputerowa aproksymacja za pomocą wzoru
Pollaczka–Chinczyna
12
• Aproksymacja Craméra–Lundberga
ψCL (u) = Ce−Ru ,
0
gdzie C = θµ/ {MX
(R) − µ(1 + θ)}
13
14
• Aproksymacja wykładnicza
(
ψE (u) = exp −1 − p
2µθu − µ(2)
(µ(2) )2
gdzie µ(k) = E(Xik )
+
(4/3)θµµ(3)
)
,
• Aproksymacja Lundberga
µ(2) 4θµ2 µ(3)
−2µθu
ψL (u) = 1 + θu −
exp
2µ
3(µ(2) )3
µ(2)
15
16
• Aproksymacja Beekmana–Bowersa
L1 , L2 , L3 , . . . – wartości drabinowe; fL1 (x) = F̄X (x)/µ
Liczba wartości drabinowych K dana jest rozkładem
geometrycznym z parametrem q = θ/(1 + θ), więc
L=
K
X
Li
i=1
ma złożony rozkład geometryczny
17
ψ(u) = P(L > u) = P(L > 0)P(L > u|L > 0)
1
ψBB (u) =
{1 − G(u)} ,
1+θ
gdzie parametry α, β dystrybuanty rozkładu gamma G są dane przez
(3)
(3)
4µµ
4µµ
(2)
(2)
α= 1+
−
1
θ
/(1+θ),
β
=
2µθ/
µ
+
−
µ
θ
(2)
2
(2)
3(µ )
3µ
18
• Aproksymacja Renyi
1
ψR (u) =
1+θ
exp −
2µθu
µ(2) (1 + θ)
19
• Aproksymacja De Vyldera
Parametry definiujące nowy proces z wykładniczym rozkładem
wypłat:
(2)3
9λµ
λ̄ =
2 ,
(3)
2µ
2µµ(3)
θ̄ =
2 θ
(2)
3µ
i
1
θ̄β̄u
ψDV (u) =
exp −
1 + θ̄
1 + θ̄
3µ(2)
β̄ = (3) .
µ
20
• Aproksymacja 4-momentowa gamma (4MG) De Vyldera
Parametry definiujące nowy proces z rozkładem wypłat gamma
λ̄ =
(µ(2) µ(4)
λ(µ(3) )2 (µ(2) )3
,
− 2(µ(3) )2 )(2µ(2) µ(4) − 3(µ(3) )2 )
3(µ(3) )2 − 2µ(2) µ(4)
µ̄ =
,
µ(2) µ(3)
(2)
µ̄
θµ(2(µ(3) )2 − µ(2) µ(4) )
θ̄ =
,
(µ(2) )2 µ(3)
(µ(2) µ(4) − 2(µ(3) )2 )(2µ(2) µ(4) − 3(µ(3) )2 )
=
(µ(2) µ(3) )2
21
Twierdzenie 1 [Burnecki, Miśta, Weron (2005)]
R − β̄R
ᾱ u
)e
ᾱ
θ̄(1 −
ψ4M G (u) =
1 + (1 + θ̄)R − (1 + θ̄)(1 −
ᾱθ̄ sin(ᾱπ)
+
· I,
R
π
)
ᾱ
gdzie
Z
I=
0
oraz ᾱ =
∞
xᾱ
µ̄2
,
µ̄(2) −µ̄2
xᾱ e−(x+1)β̄u dx
,
2
2
1 + ᾱ(1 + θ̄)(x + 1) − cos(ᾱπ) + sin (ᾱπ)
β̄ =
µ̄
µ̄(2) −µ̄2
22
• Aproksymacja ”heavy traffic”
2θµu
ψHT (u) = exp − (2)
µ
23
• Aproksymacja ”light traffic”
1
ψLT (u) =
(1 + θ)µ
Z
∞
F̄X (x)dx
u
24
• Aproksymacja ”heavy-light traffic”
θ
ψHLT (u) =
ψLT
1+θ
θu
1+θ
1
+
ψHT (u)
(1 + θ)2
25
• Aproksymacja podwykładnicza
)
(
S=
F ∗2 (x)
=2
F : lim
x→∞ F̄ (x)
ψS (u) =
1
θµ
Z
u
µ−
F̄ (x)dx
0
26
• Komputerowa aproksymacja za pomocą wzoru
Pollaczka–Chinczyna
n
∞ X
1
θ
ψ(u) = P(L > u) =
B0∗n (u),
1 + θ n=0 1 + θ
B0 – ogon rozkładu odpowiadający gęstości b0 (x) =
FX (x)
µ
27
Ponieważ ψ(u) = EZ, gdzie Z = 1(L > u), otrzymujemy następujący
algorytm
Algorytm
1. Wygeneruj zmienną losową K z rozkładu geometrycznego z p =
1
,
1+θ
2. Wygeneruj zmienne losowe X1 , X2 , · · · , XK opisane gęstością b0 (x),
3. Oblicz L = X1 + X2 + · · · + XK ,
4. Jeżeli L > u, to Z = 1, w przeciwnym wypadku Z = 0,
28
Twierdzenie 2 [Burnecki, Miśta, Weron (2005)] Gęstość b0 (x) ma
postać zamkniętą dla tylko czterech rozkładów:
• wykładniczy =⇒ b0 (x) wykładniczy,
• mieszanina wykładniczych
b0 (x) mieszanina
=⇒
a1
an
wykładniczych z wagami Pn β1( ai ) , · · · , Pn βn( ai ) ,
i=1 βi
• Pareto =⇒ b0 (x) Pareto z (α − 1, ν),
• Burr =⇒ b0 (x) zmodyfikowany beta.
i=1 βi
nieskończonym czasie. Podsumowanie
29
Rozkład
Wykł.
Gamma
Metoda
30
Wei-
Miesz.
Log-
bull
wykł.
norm.
Pareto
Burr
Craméra-Lundberga
+
+
–
+
–
–
–
Wykładnicza
+
+
+
+
+
α>3
ατ > 3
Lundberga
+
+
+
+
+
α>3
ατ > 3
Beek.- Bow.
+
+
+
+
+
α>3
ατ > 3
Renyi
+
+
+
+
+
α>2
ατ > 2
De Vyldera
+
+
+
+
+
α>3
ατ > 3
4MG De Vyldera
+
+
+
+
+
α>3
ατ > 3
Heavy Traffic
+
+
+
+
+
α>2
ατ > 2
Light Traffic
+
+
+
+
+
+
+
H.-L. Traffic
+
+
+
+
+
α>2
ατ > 2
Podwykładnicza
–
–
0<τ <1
–
+
+
+
Poll.- Chincz.
+
+
+
+
+
+
+
Rozważane dane
Dane pochodzą od Property Claim Services (PCS) (jednostka
Insurance Services Office Inc. (ISO)) i opisują straty w mieniu
ubezpieczonym będące rezultatem katastrof naturalnych na terenie
USA w latach 1990-1999
31
Rozważane dane
32
Numeryczne aproksymacje p-stwa ruiny w
• Błąd względny 11 metod względem wartości dokładnych
(mieszanina dwóch rozkładów wykładniczych) i aproksymacji
Pollaczka–Chinczyna (przypadek log-normalny), θ = 30%
33
35
0
0.6
0.4
0.2
0
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
(psi(u)-psi_{exact}(u))/psi_{exact}(u)
0.1
0
-0.1
-0.3
-0.2
0.2
0.8
1
0.3
5
10
15
20
25
30
u (USD billion)
35
40
45
50
0
5
Rysunek 1:
10
15
20
25
30
u (USD billion)
35
40
45
Bardziej skuteczne metody (lewa strona): aproksymacja Craméra–
Lundberga (ciągła niebieska linia), wykładnicza (przerywana brązowa linia), Beekmana–
Bowersa (kropkowana czerwona linia), De Vyldera (przerywana czarna linia) i 4momentowa gamma De Vyldera (przerywana zielona linia). Mniej skuteczne (prawa
strona): Lundberga (przerywana czerwona linia), Renyi (kropkowana niebieska linia),
heavy traffic (ciągła różowa linia), light traffic (przerywana zielona linia) and heavy-light
traffic (przerywana brązowa linia). Mieszanina rozkładów wykładniczych
50
0
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-1
-0.8
-0.6
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-1
-0.8
0.4
0.6
37
0.6
1
2
3
4
5
6
u (USD billion)
7
8
9
10
0
1
Rysunek 2:
2
3
4
5
6
u (USD billion)
7
8
9
Bardziej skuteczne metody (lewa strona): aproksymacja wykładnicza
(kropkowana niebieska linia), Beekmana–Bowersa (przerywana brązowa linia), heavylight traffic (ciągła czerwona linia), De Vyldera (przerywana czarna linia) and 4momentowa gamma De Vyldera (przerywana zielona linia). Mniej skuteczne (prawa
strona): Lundberga (przerywana czerwona linia), heavy traffic (ciągła różowa linia),
light traffic (przerywana zielona linia), Renyi (przerywana brązowa linia) i podwykładnicza (kropkowana niebieska linia). Rozkład log-normalny
10
38
Prawdopodobieństwo ruiny w skończonym
• Wypłaty z rozkładu wykładniczego (β = 1, c = 1)
1
ψ(u, T ) = λ exp {−(1 − λ)u} −
π
Z
0
π
f1 (x)f2 (x)
dx,
f3 (x)
gdzie
n √
√
o
f1 (x) = λ exp 2 λT cos x − (1 + λ)T + u
λ cos x − 1 ,
√
√
√
f2 (x) = cos u λ sin x −cos u λ sin x + 2x i f3 (x) = 1+λ−2 λ cos x
skończonym czasie
• Symulacje Monte Carlo
• Aproksymacja Segerdahla
• Aproksymacja dyfuzyjna
• Poprawiona aproksymacja dyfuzyjna
• Aproksymacja De Vyldera – skończony horyzont
39
40
skończonym czasie
• Aproksymacja Segerdahla
ψS (u, T ) = C exp(−Ru)Φ
T − umL
√
ωL u
,
0
0
gdzie C = θµ/ {MX
(R) − µ(1 + θ)}, mL = C {λMX
(R) − 1}
2
00
ωL
= λMX
(R)m3L
−1
i
41
skończonym czasie
• Aproksymacja dyfuzyjna
ψD (u, T ) = IG
T µ2c
; −1;
2
σc
u|µc |
σc2
,
gdzie µc = λθµ, σc = λµ(2) , oraz
√
√
√
√
IG(x; ζ; u) = 1 − Φ (u/ x − ζ x) + exp (2ζu) Φ (−u/ x − ζ x)
42
skończonym czasie
• Poprawiona aproksymacja dyfuzyjna
Niech c = 1, wtedy
ψCD (u, t) = IG
T δ1
δ2
Ru
δ2
+ ;−
;1 +
u2
u
2
u
,
00
000
00
gdzie δ1 = λMX
(γ0 ), δ2 = MX
(γ0 )/ {3MX
(γ0 )} i γ0 spełnia
równanie: κ0 (γ0 ) = 0, gdzie κ(s) = λ {MX (s) − 1} − s
43
skończonym czasie
• Aproksymacja De Vyldera – skończony horyzont
Zamiana procesu zagregowanej wypłaty takim z wypłatami z
rozkładu wykładniczego dopasowując pierwsze trzy momenty.
Zastosowanie dokładnego wyniku dla rozkładu wykładniczego
Twierdzenie 3 [Burnecki, Miśta, Weron (2005)]
3µ(2)
β̄ = (3) ,
µ
3
9λµ(2)
λ̄ =
2µ(3)2
i
2µµ(3)
θ̄ =
2 θ
(2)
3µ
Numeryczne aproksymacje p-stwa ruiny w
skończonym czasie
• porównanie 4 aproksymacji dla mieszaniny dwóch rozkładów
wykładniczych, θ = 30%
44
45
0.2
0
-0.2
-0.6
-0.8
0.1
0
0
-0.4
0.4
0.3
0.2
psi(u,T)
0.5
(psi(u,T)-psi_(MC)(u,T))/psi_(MC)(u,T)
0.6
0.4
0.7
0.6
3
6
9
12
15
18
u (USD billion)
21
24
27
30
0
Rysunek 3:
3
6
9
12
15
18
u (USD billion)
21
24
27
Wynik metody Monte Carlo (lewa strona), błąd względny (prawa strona).
Aproksymacja Segerdahla (niebieska przerywana linia), dyfuzyjna (kropkowana czerwona linia), poprawiona dyfuzyjna (ciągła czarna linia) oraz De Vyldera w skończonym
horyzoncie (przerywana zielona linia). T jest ustalone a u się zmienia
30
46
0.6
0.4
0.2
0
-0.4 -0.2
-1
0
0
-0.8 -0.6
0.03
0.01
0.02
psi(u,T)
0.04
(psi(u,T)-psi_(MC)(u,T))/psi_(MC)(u,T)
0.05
0.8
1
0.06
2
4
6
8
10
12
T (years)
14
16
18
20
0
Rysunek 4:
2
4
6
8
10
12
T (years)
14
16
18
Wynik metody Monte Carlo (lewa strona), błąd względny (prawa strona).
Aproksymacja Segerdahla (niebieska przerywana linia), dyfuzyjna (kropkowana czerwona linia), poprawiona dyfuzyjna (ciągła czarna linia) oraz De Vyldera w skończonym
horyzoncie (przerywana zielona linia). u jest ustalone a T się zmienia
20

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rozwiązywanie numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych

STATYSTYKA NIELEGALNA ADOPCJA (ART.211A)

statystyka eutanazja (art. 150)

statystyka kazirodztwo (art. 201)

wnioskowanie statystyczne - UwB Wydział Ekonomiczno

Wstęp

Hotel spa Kozubnik