Lista zadań z matematyki nr 3 NE FiR

Lista zadań nr 3 do zajęć z matematyki – LS NE FiR
Równania macierzowe, wektory i wartości własne macierzy
A1. Rozwiązać układy równań z zadania A1. z listy 1 metodą macierzy odwrotnej.
A2. Obliczyć macierze odwrotne dla macierzy z zadania A1. z listy 2 (o ile, oczywiście, istnieją).
A3. Znaleźć macierz X spełniającą równanie AXB = C dla:
1 2
 , B =
3
5


a) A = 
1 2 3 0


 2 1

 , C =
1
1


 1 3

 ;
3
8


1 1 2 1


1 2
 , B =
3
6


b) A = 
1 3 9

 2 1

 , C =
1
1


 1 3

 ;
3
8


8

c) A =  0 1 2 3  , B =  0 1 2 2  , C =  0 1 4 10  ;
2

1

1

d) A =  0
2

1

0
2 0 1


0
1 0 0 

2 3 0
1

1 2 3 , B = 
0
2 0 1
0


1 0 0 
2 4 8 8 


1 2 4 3 


7
3
−2 

1 2


, C = 6
0 − 12  .
1 2
 7
6
10 
0 2 


 3
3
6 

0 1 1

0 0 2 
A4. Niech f (a, b, c, d) = (a + b + c, a + b + d, a + c + d, b + c + d). Wyznaczyć f –1.
A5. Niech f :R3 → R3 przekształcenie liniowe, takie, iż f (1, 1, 1) = (2, 0, 1), f (1, 1, 0) = (1,-1, 0),
f (2, 0, 0) = (0, 1, 1). Wyznaczyć f (2, 2, 1), f (0, 2, 1) i f (1,-3, 4).
A6. Wektor x nazywamy wektorem własnym, a liczbę λ wartością własną macierzy A, jeśli x jest różny
od wektora zerowego i x oraz λ spełniają równanie macierzowe Ax = λx. Znaleźć wektory
i wartości własne dla macierzy:
1 1  2 4 

 , 
 ,
1 1  4 2 
1
 2 4 0 

 1
 4 2 0 , 
 0 0 2  0

 0

1 0 0
  3 2 0  3
  1
1 0 0 
2
2
2
,

 ,  −2
0 2 4 
  0 2 1   0

0 4 2 
1
2
−
1
2
0

1 ,

1 
 3 1 0


1 2 1 .
0 1 1


B7. a) Udowodnić, że jeśli macierz A jest nieosobliwa, to macierze A oraz A-1 mają te same wektory
własne. Jaki jest związek między wartościami własnymi tych macierzy?
b) Czy każdy wektor własny macierzy A jest wektorem własnym macierzy A2. Jaki jest związek
między wartościami własnymi tych macierzy?
B8. Wyznaczyć macierz odwrotną dla macierzy określonej w zadaniu B8. z listy 2.
B9. Niech X ={x1, …, xn} będzie zbiorem n wektorów m-elementowych (n punktów xi ∈ R m ), przy
czym n > m; d(p, q) = ( p − q ) T ( p − q ) – odległość (euklidesowa) pomiędzy punktami p i q;
f (p) =
∑
n
i =1
d ( x i , p) 2 – suma kwadratów odległości pomiędzy ustalonym punktem p a punktami
ze zbioru X. Wykazać, że minimum funkcji f realizuje x =
1
n
n
∑
i =1
xi – średnia arytmetyczna
zbioru X.
B10. Przy założeniach z poprzedniego zadania, Σ =
1
n
n
∑
i =1
( x i − x )( x i − x )T – to macierz kowariancji
(lub inaczej macierz kształtu) zbioru X. Wykazać, że a) macierz ta jest macierzą słabo dodatnio
określoną o wymiarach m × m ;
b) można ją zapisać równoważnie w postaci
Σ=
1
n
n
∑
i =1
x i x i − xx T lub Σ = 1n XX T − xx T .
T
●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○
Procedura szukania wartości i wektorów własnych macierzy (poprzez znajdowanie miejsc zerowych
wielomianu charakterystycznego macierzy):
Równanie Bx = 0 ma rozwiązanie różne od wektora zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy detB = 0. Aby
znaleźć wartości własne macierzy A konstruujemy macierz A - λI (gdzie I jest macierzą jednostkową)
i szukamy takich λ, dla których det(A - λI) = 0. Następnie, dla każdego z takich λ osobno,
rozwiązujemy równanie Bx = 0, gdzie B = A - λI. x jest wtedy wektorem własnym odpowiadającym
wartości własnej λ. Uwaga: wektor własny jest wyznaczony z dokładnością do stałej, to jest jeśli x jest
wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ, to cx też (gdzie c = const, dowolna, różna od
zera, stała).
Ad. A3. Jeśli macierze A i B są nieosobliwe, to mnożymy równanie AXB = C przez macierz A-1
lewostronnie i przez B-1 prawostronnie. Wtedy X = A-1CB-1.
Ad. A6. e)
2
0 
3 − λ

 = (3 - λ)(2 - λ)(1 - λ) - 4(3 - λ + 1 - λ) =(λ - 5)( λ + 1)(2 - λ).
det  2
2−λ
2 
 0
2
1 − λ 

 − 12 
 4 2 0 0
 0 0 0 0
→
 → x = x2   ; itd.
Dla λ = -1 
 1 
 2 3 2 0
 2 1 0 0
 − 1
 0 2 2 0
 0 1 1 0
 




∑ d ( x , x ) ≤ ∑ d ( x , p) .
∑ x − 2 x ∑ x + nx ≤ ≤
n
Ad. B9. Wystarczy pokazać, że dla dowolnego wektora p zachodzi
Dla
n
∑
i =1
d(x, p)2 = (x - p)2 = x2 - 2px + p2.
m=1
Czyli
n
i =1
n
2
i =1
2
i
2
i =1
i
n
i =1
i
2
i
2
xi − 2 p∑i =1 xi + np 2 . Po przeniesieniu na jedną stronę i po podzieleniu przez n dostajemy
n
0 ≤ x 2 − 2 px + p 2 = ( x − p ) 2 , co jest zawsze spełnione. Analogicznie można przeprowadzić
rozumowanie dla dowolnego m. Wtedy d ( x , p) 2 = ( x − p) T ( x − p) = x T x − p T x − x T p + p T p .