Metody Planowania Eksperymentów

Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 1 z 14
METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW
dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki
[email protected]
www.fct.put.poznan.pl/cv23.htm
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
1
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 2 z 14
LITERATURA
1. Atkinson, A. C., A. N. Donev, Optimum Experimental Designs, Oxford Science
Publications, Clarendon Press, Oxford, 1992.
2. Draper, N. R., H. Smith, Analiza Regresji Stosowana, PWN, Warszawa, 1973.
3. Mańczak K., Technika Planowania Eksperymentu, WNT, Warszawa, 1976.
4. Rafajłowicz, E., Algorytmy Planowania Eksperymentu z Implementacjami w Środowisku
MATHEMATICA, Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ, Warszawa, 1996.
5. Rafajłowicz, E., Optymalizacja Eksperymentu z Zastosowaniami w Monitorowaniu
Jakością Produkcji, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 2005.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
2
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 3 z 14
SPIS TREŚCI
1. Wstęp
2. Metoda analizy regresji
3. Plany czynnikowe dwupoziomowe
4. Plany czynnikowe wielopoziomowe
5. Plan optymalizacji Boxa - Wilsona
6. Plany D-optymalne (podstawowe założenia, kryteria optymalności; Plany D- i Toptymalne)
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
3
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 4 z 14
1. WSTĘP
Planowanie eksperymentu łączy ze sobą elementy teorii z bezpośrednią praktyką. Początki
jej datowane są na lata dwudzieste i trzydzieste zeszłego wieku, a jej rozwój związany był z
badaniami eksperymentalnymi w rolnictwie. Ze względu na długie okresy wegetacji roślin,
złe zaplanowanie eksperymentu mogło zostać naprawione najwcześniej dopiero po roku. Stąd
prawidłowo zaplanowany eksperyment był podstawą badań rozstrzygających o doborze gatunków czy sposobie upraw.
Po drugiej wojnie światowej techniki planowania eksperymentów przeniesione zostały do
niektórych gałęzi przemysłu. Głównym miejscem zastosowań stał się przemysł chemiczny,
gdzie planowanie eksperymentu służy między innymi doborowi optymalnych warunków
prowadzenia procesu technologicznego, czy też otrzymania substancji o pożądanych właściwościach. Podjęto również próby zastosowania planowania w badaniach laboratoryjnych w
celach poznawczych.
W ostatnim dwudziestoleciu zeszłego wieku nastąpił znaczny wzrost zainteresowania metodami planowania eksperymentu, zarówno w aspektach praktycznych jak też teoretycznych.
Związane to było z jednej strony z gwałtownym rozwojem technik obliczeniowych (dostępność tanich i szybkich komputerów), z drugiej natomiast strony z powstaniem nowych obszarów zastosowań takich jak chociażby sterowanie jakością produkcji.
1.1. Zastosowania metod planowania eksperymentu
Sterowanie jakością produkcji. Badania te obejmują cały szereg zagadnień związanych
nie tylko z klasyczną kontrolą jakości czy sposobami prowadzenia kart kontrolnych, ale również badania eksperymentalne stosowane na etapie projektowania i wdrażania wyrobów do
produkcji. Celem tych badań jest poszukiwanie optymalnych warunków prowadzenia procesu.
Minimalizacja zmienności w jakości produkcji. Obok badań związanych z sterowaniem
jakością wytwarzania istotnym zagadnieniem jest utrzymanie zadanych parametrów wyrobu,
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
4
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 5 z 14
przy jednoczesnej minimalizacji ich rozrzutu wokół wartości zadanych. Chodzi tu o taki sposób produkcji, aby liczba produktów wadliwych oraz różnice pomiędzy parametrami charakteryzującymi produkty dobre były jak najmniejsze.
Eksperyment w systemach automatyki. Pomiar odpowiedzi układu na skokową zmianę
sygnału wejściowego jest ważnym elementem technik projektowania układów regulacji automatycznej. Celem takich badań jest budowa modelu matematycznego obiektu na podstawie
danych pomiarowych. Pozwala to na właściwe zaprojektowanie układu regulacji. Ważnym
zagadnieniem w takich badaniach jest właściwy dobór wymuszeń.
Planowanie zadań obliczeniowych. Przeprowadzając symulacje komputerowe obniżyć
można koszty badań eksperymentalnych na rzeczywistych obiektach. Dzięki znacznemu
wzrostowi mocy obliczeniowej komputerów powstają coraz bardziej złożone modele opisujące badane zjawiska. Jednakże prowadzi to do paradoksalnej sytuacji. Coraz bardziej rozbudowane modele wymagają prowadzenia obliczeń w coraz dłuższym czasie przy wykorzystaniu coraz większych mocy obliczeniowych, co zwiększa koszty tego etapu badań. Równocześnie mocno rozbudowane modele złożonych zjawisk nie poddają się prostemu opisowi matematycznemu, i zaczynają wykorzystywać różne algorytmy przybliżone takie jak stochastyczne czy heurystyczne. Wszystko to spowodowało, że modele takie zaczęto traktować podobnie
jak podlegające badaniom eksperymentalnym obiekty fizyczne i w efekcie stosować techniki
planowania eksperymentu. Pojawił się tutaj jednakże nowy problem. W klasycznym eksperymencie wyniki badań zakłócone są przez różne często nie zidentyfikowane czynniki, co
oznacza, że dla tych samych warunków prowadzenia doświadczenie otrzymujemy różne wyniki. Odmienna sytuacja jest w przypadku eksperymentów komputerowych, w których dla
tych samych danych wejściowych wynik powtórnych obliczeń jest dokładnie taki sam. Wymagało to zastosowania nowych technik planowania eksperymentu.
Doświadczenia w badaniach leków. Badania kliniczne nowych leków stanowią ważną i
równocześnie specyficzną grupę zastosowań technik planowania eksperymentu. Związane jest
to zarówno ze specyfiką badań – badania prowadzone są na ludziach – jak też z możliwością
wystąpienia szeregu zjawisk zarówno korzystnych (właściwości terapeutyczne badanego specyfiku) jak też niekorzystnych (efekty uboczne).
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
5
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 6 z 14
1.2. Podstawowe pojęcia
W badaniach eksperymentalnych dysponujemy pewnym obiektem badań, który poddajemy doświadczeniom. Obiekt ten traktować możemy jako czarną skrzynkę, która w wyniku
zastosowanych wymuszeń u generuje odpowiedzi y (rysunek 1.1).
u1
u2
OBIEKT
uM
y1
y2
yT
ε1, ε2, …, εT,
Rys. 1.1. Schematyczna reprezentacja eksperymentu. u1, u2 ,..., uM – czynniki lub zmienne
objaśniające, y1, y2, ..., yT – wyjścia lub odpowiedzi obiektu, ε1, ε2, …, εT – błędy losowe zakłócające odpowiedzi obiektu.
Przedstawiony na rysunku 1.1 obiekt ma M wejść u1, u2 ,..., uM zwanych czynnikami lub
zmiennymi objaśniającymi oraz T wyjść y1, y2, ..., yT zwanych również odpowiedziami obiektu. Badany obiekt poddany jest nieznanym i niemierzalnym zakłóceniom ε1, ε2, …, εT. Przyj-
muje się, że liczba zakłóceń odpowiada liczbie wyjść T.
Przeprowadzane badania mają doprowadzić do stworzenia opisu matematycznego (modelu matematycznego) analizowanego obiektu. W tym celu eksperymentator, w trakcie badań,
modyfikuje czynniki u obserwując odpowiedzi obiektu y. Przy czym wszystkie odpowiedzi
obiektu obarczone są nieznanymi błędami ε. Są one przypadkowe i podlegają ciągłym nieprzewidywalnym zmianom. Dlatego też powtarzając eksperyment przy tych samych określonych wartościach wejść x1, x2 ,..., xM możliwe jest otrzymanie różnych wartości wyjść y1, y2,
..., yT.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
6
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 7 z 14
Prawdziwy związek pomiędzy odpowiedziami obiektu y a czynnikami u jest zwykle nieznany. Oznacza to, że badany obiekt opisuje nieznana, ogólnie nieliniowa funkcja, której argumentami są zarówno określone przez eksperymentatora czynniki u, jak też niemierzalne
zakłócenia ε
y = f (u1 , u 2 , K u m , ε 1 , ε 2 , K , ε t )
(1)
Ponieważ rzeczywista postać tej funkcji jest nieznana, to obieramy model matematyczny
będący funkcją aproksymującą odpowiedzi obiektu w badanym obszarze. Model ten wyznaczmy na podstawie obserwacji wyjść obiektu.
Model matematyczny uzyskany albo w formie wzorów matematycznych, albo też w postaci algorytmu spełniać powinien kilka warunków
1. Być możliwie prosty.
2. Charakteryzować się dużą dokładnością w punktach, gdzie dokonano pomiarów.
3. Zapewniać możliwość „sensownej” oceny (aproksymować) wartości wyjścia w punktach,
w których nie dokonano pomiarów. Wymaganie to ograniczone jest do obszaru badań.
4. Opis powinien odzwierciedlać cechy jakościowe badanego procesu. Oznacza to, że powinien na przykład zachować wypukłość zależności y od x, o ile badany proces cechę taką
posiada.
Opracowywany plan eksperymentu zależy od modelu opisującego badany obiekt. Stąd
istotny jest dobór właściwego modelu. W wielu przypadkach na podstawie rozważań teoretycznych można zaproponować postać modelu opisującego badany obiekt. Jednakże najczęściej nie jest to możliwe. W takich przypadkach dokonać tego należy na podstawie danych
eksperymentalnych.
Jak stąd wynika sprawa doboru postaci modelu opisującego badany obiekt jest bardzo
istotna dla powodzenia identyfikacji właściwości obiektu i jego ewentualnej dalszej optymalizacji.
W prowadzonych badaniach eksperymentalnych wyróżnić można kilka etapów począwszy od decyzji dotyczących obiektu badań, poprzez przyjęcie stosowanych metod badaw-
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
7
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 8 z 14
czych, na analizie uzyskanych wyników badań skończywszy. Celem uzyskania odpowiedzi na
postawione pytania dotyczące badanego obiektu kolejno należy
1.
Wyodrębnić szeroko rozumiany obiekt badań eksperymentalnych. Obiekt taki traktować
można jako pewnego rodzaju czarną skrzynkę, która w wyniku zastosowania wymuszeń
x generuje odpowiedź y (rysunek 1.1).
2.
Wskazać pewne mierzalne wielkości y charakteryzujące badany obiekt, dalej zwane wyjściami lub odpowiedziami obiektu. Pomiary tych wielkości odbywać się mogą przy po-
mocy różnych przyrządów pomiarowych.
3.
Wyróżnić wielkości u, o których mamy podstawy przypuszczać, że oddziaływają na
wskazane wcześniej wielkości y charakteryzujące aktualny stan obiektu badań. Wielkości
te nazywać będziemy wielkościami wejściowymi, czynnikami lub zmiennymi objaśniającymi.
4.
Scharakteryzować pewien opis matematyczny zwany modelem matematycznym opisujący zależność pomiędzy wejściami u a wyjściami y. Opis ten zwykle nie jest w pełni znany. Informacje o nim zdobywamy w trakcie przeprowadzanego eksperymentu. Należy tutaj podkreślić, że przez eksperyment rozumiemy serię doświadczeń wykonywanych każdorazowo od początku do końca w sposób niezależny.
5.
Określić plan eksperymentu, przez który rozumieć będziemy zestaw wielkości wejściowych u, które stosowane będą w trakcie eksperymentu. W przyjętym tutaj ujęciu planowanie eksperymentu ma na celu, uwzględniając wygodę eksperymentatora umożliwić
wyznaczenie pożądanego opisu matematycznego (modelu matematycznego) oraz ułatwić
obliczenia w fazie opracowywania wyników badań. Dodatkowo przyjęty plan eksperymentu ma na celu zminimalizować koszt badań.
6.
Wykonać eksperyment przez który rozumiemy serię doświadczeń.
7.
Opracować wyniki badań.
Tak więc przed przystąpieniem do identyfikacji obiektu rozważyć należy, znane z wcze-
śniejszych doświadczeń, związki pomiędzy rozpatrywanymi zmiennymi. Przeanalizować należy również działanie obiektu uwzględniając cel jego istnienia. Na tej podstawie określić
należy ogólną strukturę modelu obiektu, ustalając wejścia i wyjścia. W końcu przyjąć należy
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
8
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 9 z 14
postać modelu matematycznego lub też kilku jego wariantów. Mając model przystąpić możemy do planowania eksperymentu.
Poszukiwanie planu eksperymentu jest procesem złożonym realizowanym zgodnie z pewnym algorytmem. Algorytm ten uwzględniając różne czynniki generuje oczekiwany produkt
w postaci „dobrego” plany eksperymentu. Przy tym przystępując do planowania zastanowić
się należy nad celem przyjętego działania. W zasadzie wskazać można dwa podstawowe cele,
dla których podejmowane jest planowanie eksperymentu
1. Modelowanie powierzchni odpowiedzi systemu. Celem planowania jest możliwie dokładne, w określonym sensie, oszacowanie zależności funkcyjnej opisującej związek pomiędzy wejściem u a wyjściem y.
2. Poszukiwanie ekstremum odpowiedzi obiektu. W przypadku, gdy opis matematyczny
obiektu nie jest znany, należy najpierw na podstawie przeprowadzonego eksperymentu
oszacować funkcję opisującą obiekt, a następnie wykonać jej maksymalizację.
1.3. Kryteria „dobrego” planu eksperymentu
Istotnym zagadnieniem jest opracowanie „dobrego” planu eksperymentu. Podać możemy
cały szereg różnych wymagań związanych z planami eksperymentu spośród, których wyróżnić można następujące:
1. Planowanie ortogonalne. W czasach, gdy dostępność komputerów była znikoma lub
żadna opracowanie wyników eksperymentów było zajęciem bardzo pracochłonnym. Dlatego zaproponowano tak zwane plany ortogonalne, to znaczy takie, w których kolumny
macierzy zawierającej wyniki pomiarów spełniały warunek ortogonalności. Iloczyn takiej macierzy XTX generuje macierz diagonalną, dla której w prosty sposób znajduje się
macierz odwrotną. Dodatkowo plany takie charakteryzują się szeregiem zalet z punktu
widzenia statystycznego. Przede wszystkim pominięcie w modelu pewnych członów nie
powoduje konieczności przeliczania oszacowań pozostałych parametrów, o ile pomiary
wykonane zostały zgodnie z planem ortogonalnym dla tego nowego modelu. Inną ich cechą jest to, że dla wielu modeli i wskaźników jakości planowania, plany ortogonalne okazały się optymalne.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
9
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 10 z 14
2. Rotatabilność planu. Model matematyczny procesu tworzony jest często w otoczeniu
wybranego punktu, zwanego centrum eksperymentu. Pożądaną cechą planu jest zapewnienie, by dokładność oszacowania wartości wyjść modelu (mierzona przy pomocy wariancji) nie preferowała żadnego kierunku. Inaczej mówiąc własność ta oznacza stałość
wariancji w stałej odległości od centrum planu.
3. Optymalność planu. Wymaganie optymalności oznacza, że przyjęty został pewien
wskaźnik mierzący jakość różnych planów. Plan uznajemy za optymalny, gdy zapewnia
najwyższą możliwą do osiągnięcia w danych warunkach wartość tego wskaźnika. Wskaźnikiem takim może być przykładowo dokładność oszacowania parametrów modelu.
4. Zapobieganie złemu uwarunkowaniu problemu estymacji. Wymaganie to związane
jest ze zmniejszaniem błędów numerycznych powstających przy obliczaniu oszacowań
parametrów modelu metodą najmniejszych kwadratów. Plany ortogonalne w pewnym
stopniu spełniają ten wymóg.
5. Odporność na duże zakłócenia. W trakcie badań powstać mogą tak zwane błędy grube.
Mogą one wystąpić na skutek chwilowej niesprawności układu pomiarowego lub też błędów popełnionych przez człowieka (źle odczytane wyniki pomiarów, błędy popełnione
przy wprowadzaniu danych, itp., itd.). Problem odporności oszacowania modelu na tak
zwane błędy grube pomiarów jest stosunkowo nowy. Oczekujemy takiego zaplanowania
eksperymentu, aby zminimalizować skutki ewentualnych błędów grubych.
6. Odporność na nieprawidłową specyfikację modelu. Jednym z założeń przyjętych w
badaniach planów optymalnych jest założenie, że postać modelu znana jest przed doświadczeniem, z dokładnością do nieznanych parametrów, a specyfikacja modelu jest dokładna. Założenie to bardzo silnie ogranicza możliwości planowania eksperymentu. W
ostatnim okresie pojawiają się prace wskazujące na nowe możliwości w tym zakresie
1.4. Standaryzacja zmiennych
Każdy z czynników ui, i = 1, 2, ..., M, których wpływ na obiekt badamy, przyjmuje wartości z pewnego przedziału zmian
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
10
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
u i ,min ≤ u i ≤ u i ,max ,
Strona 11 z 14
i = 1,2, K , M
(2)
Granice górna ui,max i dolna ui,min w jakich zmieniają się poszczególne czynniki zależą zarówno od fizycznych ograniczeń badanego układu jak też od przedziału zmian interesujących
eksperymentatora. Ograniczenia te wynikać mogą na przykład z zakresu temperatur w jakich
badane substancje są cieczami, względnie są one stabilne termicznie. Inne ograniczenia wynikać mogą z możliwości aparaturowych.
Bardzo często zdarza się, że czynniki, których wpływ na obiekt badamy, przyjmują wartości z różnych zakresów liczbowych. Różnice te mogą być nawet kilku rzędów. W takich
przypadkach korzystna jest transformacja zmiennych zwana również standaryzacją lub kodowaniem zmiennych. Polega to na takim ich przeskalowanie, aby nowe zmienne, oznaczone
dalej przez xi, przybierały wartości z przedziału [-1, 1], wówczas, gdy oryginalne zmienne
zmieniają się w przedziałach [ui,min, ui,max], i = 1, 2, ..., M.
Transformacja ta przekształca układ współrzędnych, w którym znajdują się zmienne rzeczywiste, do nowego układu współrzędnych z punktem centralnym (środkiem układu) wyznaczonym przez punkt u10, u20, ..., uM0, w którego otoczeniu wykonuje się eksperyment. Jednocześnie skala nowego układu współrzędnych dobrana jest w taki sposób, aby planowane
wartości zmian czynników ∆ui, i = 1, 2, ..., M były jednostkowe w nowym układzie współrzędnych. Takie standaryzowane lub kodowane zmienne definiuje się w sposób następujący
xi =
u i − u i0
,
∆u i
i = 1,2, K , M
(3)
gdzie
u i 0 = u i ,min +
u i ,max − u i ,min
2
=
u i ,max + u i ,min
2
(4)
jest punktem centralnym nowego układu współrzędnych, oraz
∆u i = u i ,max − u i 0 = u i 0 − u i ,min =
u i ,max − u i ,min
2
(5)
jest planowaną wartością zmian czynnika ui (wartością bezwzględną kroku wzdłuż osi OXi w
skali naturalnej.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
11
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 12 z 14
W przypadku, gdy eksperyment opisywany jest przy pomocy zmiennych kodowanych,
koniecznym jest powrót do oryginalnych zmiennych, szczególnie w przypadku interpretacji
uzyskanych wyników. Wtedy stosować należy transformację odwrotną
u i = u i 0 + x i ⋅ ∆u i
(6)
1.5. Obszar badań
Jak już wcześniej wspomniano każdy z badanych czynników przyjmuje wartości z pewnego przedziału zmian. W zależności od przyjętego charakteru ograniczeń wyróżnić można
kilka szczególnych przypadków. Niektóre z nich przedstawione zostały one na rysunku 1.2.
(a)
x2
(c)
(b)
(d)
x1
Rys. 1.2. Przykłady niektórych obszarów badań: a) kwadrat (bryła dla M > 2); b) koło (sfera
dla M > 2); c) sympleks, dla eksperymentów związanych z badaniami nad skłądem
mieszanin; d) z dodatkowymi ograniczeniami wykluczającymi duże wartości równocześnie dla x1 i x2.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
12
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 13 z 14
Jeżeli ograniczenie (2) spełnione jest niezależnie dla każdego z M czynników, to obszar
badań dla zmiennych xi jest M wymiarową bryłą. W szczególnym przypadku dla M = 2 jest to
kwadrat (rysunek 1.2a), natomiast dla M = 3 – sześcian. Ten typ ograniczeń jest najczęściej
spotykanym obszarem badań.
Czasami natura eksperymentu wymusza bardziej złożoną specyfikację przedziałów zmian
dla czynników, a tym samym obszaru badań. Przykładem może być sferyczny obszar badań
zdefiniowany wyrażeniem
m
∑x
i =1
2
i
≤ R2
(7)
gdzie R jest promieniem sfery. W przypadku gdy M = 2 uzyskujemy koło (rys. 1.2b), natomiast dla M = 3 obszar badań będzie kulą. Przyjęcie takiego obszaru sugeruje równy poziom zainteresowania we wszystkich kierunkach wychodzących z punktu centralnego planu.
Spora grupa badań związana jest z optymalnym doborem składu mieszaniny. W takim
przypadku funkcja odpowiedzi nie zależy od całkowitej ilości poszczególnych składników
mieszaniny, a od proporcji w jakich one się znajdują. Oznacza to, że jeżeli w trakcie badań
zmieniamy ilość jednego ze składników mieszaniny, to automatycznie musimy zmienić ilości
pozostałych. Ograniczenie to zapisujemy w postaci
M
∑x
i =1
i
= 1,
xi ≥ 0
(8)
Oznacza ono, że mieszanina M składników generuje obszar badań będący (M – 1) wymiarowym sympleksem. Obszar badań w przypadka 3 składnikowej mieszaniny pokazuje rysunek 1.2c.
Częstokroć obszary badań są bardzie złożone, szczególnie gdy występują specjalne ograniczenia. Przykładowo sytuacja taka wystąpić może w przypadku badań nad reakcją następczą w której interesuje nas produkt przejściowy B
A→ B→C
(9)
Prowadzenie takiej reakcji w długim czasie lub też przy podwyższonej temperaturze jest
niekorzystne. Obszar takich badań przedstawia rysunek 1.2d.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
13
Metody Planowania Eksperymentów
Rozdział 1.
Wstęp
Strona 14 z 14
Oznaczmy przez ℑ określony przez eksperymentatora obszar badań. Algorytm postępowania mający na celu wygenerowanie planu eksperymentu poszukiwać będzie, w zadanym
obszarze ℑ, planu eksperymentu spełniającego określone przez eksperymentatora oczekiwania (kryteria). Należy tu podkreślić, że postać tego obszaru determinować będzie zarówno
sposób w jaki ten plan będziemy znajdować, jak też rodzaj uzyskanego planu.
1.6. Błąd losowy
Wykonując eksperyment uzyskujemy obserwowane w N punktach planu zbudowanego
na obszarze ℑ wyjścia obiektu yi, i = 1, 2, ..., N. Przy czym wszystkie obserwacje obciążone
są pewnym błędem εi. Wyróżnić możemy tutaj dwa przypadki
5.
Błąd systematyczny. Związany on może być na przykład z niewłaściwym skalibrowa-
niem aparatury, błędach popełnionych w trakcie przygotowywania doświadczenia itp.
Wystąpienie jego jest najczęściej związane z błędami popełnianymi przez eksperymentatora i jest niekorzystne. Jednym ze sposobów postępowania mającym na celu eliminację
takiej sytuacji jest wykonywanie doświadczeń, w ramach planu, w sposób losowy.
6.
Błąd losowy. Jest on reprezentowany przez wektor ε na rysunku 1.1. Błędy losowe są
niezależne od eksperymentatora i występują zawsze.
W przypadku błędów losowych zakładamy, że wszystkie zakłócenia εi, i = 1, 2, ..., N są
niezależnymi zmiennymi losowymi o wartości oczekiwanej zero i skończonych, jednakowych
dla wszystkich zakłóceń, wariancjach σ2, czyli
ε i = N (0, σ 2 )
(10)
Zakładamy również, że zakłócenia te oddziaływują addytywnie na obiekt badań
y i = µi + ε i ,
i = 1,2, K , N
(11)
gdzie µi są prawdziwymi, nieznanymi wartościami wyjść modelu.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
14