1 - Politechnika Poznańska

Transkrypt

Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 1 z 37
PLANY DOŚWIADCZEŃ CZYNNIKOWYCH NA
DWÓCH POZIOMACH
x1
x2
OBIEKT
y
xK
e
Rysunek 3.1. Rozważany obiekt nieliniowy. x1, x2 ,..., xK – czynniki
lub zmienne objaśniające, y – wyjście lub odpowiedź
obiektu, e – błąd losowy zakłócający odpowiedź obiektu.
y = f ( x1 , x2 ,K , x K ,e )
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
(3.1)
1
Rozdział 3
Strona 2 z 37
Dany punktu
(
x 0 = x10 , x20 ,K , x K0
)T
(3.2)
Liniowa funkcja regresji o postaci
ŷ = b0 + b1 x1 + b2 x2 + K + bK x K
(3.3)
gdzie bj, j = 0, 1, ..., K są nieznanymi współczynnikami regresji
Mariusz B. Bogacki
2
Rozdział 3
Strona 3 z 37
Dany obszar badań
x min
≤ x j ≤ x max
,
j
j
j = 1,2 ,K , K
(3.5)
Plan eksperymentu
(
x i = xi ,1 , xi ,2 ,K , xi ,K
Mariusz B. Bogacki
),
T
i = 1,2 ,K N
(3.4)
3
Rozdział 3
Strona 4 z 37
Plan eksperymentu czynnikowego na dwóch poziomach
(ang. factorial experiment) polega na przyjmowaniu przez każde z K
wejść obiektu xj, j = 1, 2, ..., K wartości na jednym z dwóch poziomów: minimalnym
x 0j − ∆x j ;
x min
j
i maksymalnym
x 0j + ∆x j ;
x max
.
j
j = 1,2 ,K ,K
(3.6)
gdzie:
xj0 środek przedziału zmian dla poszczególnych zmiennych
∆x j =
x min
+ x max
j
j
2
Mariusz B. Bogacki
(3.7)
4
Rozdział 3
Strona 5 z 37
Skalowanie lub standaryzacja zmiennych
tj =
x j − x 0j
∆x j
,
j = 1, 2, ..., K
(3.8)
2
t2min t20 t2max
x2min x20 x2max
8
6
4
2
1
1
1
0
-2
-1
-1
0
0
-1
-1
1
2
-1
0
0
2
4
x1min
x10
a)
6
x1max
-2
t1min
t10
t1max
b)
Rysunek 3.2. Plan eksperymentu czynnikowego na dwóch poziomach
typu 2K dla dwóch zmiennych; a) zmienne wyrażone w
jednostkach naturalnych; b) zmienne po standaryzacji.
Mariusz B. Bogacki
5
Rozdział 3
Strona 6 z 37
Transformacja odwrotna
x j = x 0j + t j ∆x j ,
j = 1, 2, ..., K
(3.9)
Podstawiamy zależność (3.9) do równania regresji (3.3)
K
K
j =1
j =1
(
)
ŷ = b0 + ∑ b j x j = b0 + ∑ b j x 0j + t j ∆x j =
K
K
j =1
j =1
(3.10)
= b0 + ∑ b j x 0j + ∑ b j ∆x j t j
ŷ = a0 +
K
∑ a jt j
(3.11)
j =1
gdzie:
a0 = b0 +
K
∑ b j x 0j
(3.12)
j =1
a j = b j ∆x j ,
Mariusz B. Bogacki
j = 1, 2, ..., K
(3.13)
6
Rozdział 3
Strona 7 z 37
Tabela 3.1. Przykład pełnego eksperymentu czynnikowego typu 23.
Nr
1
2
3
4
5
6
7
8
t1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
t2
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
t3
+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
t3
t1
t2
Rysunek 3.3. Plan całkowitego eksperymentu czynnikowego na
dwóch poziomach dla 3 zmiennych.
Mariusz B. Bogacki
7
Rozdział 3
Strona 8 z 37
Kodowanie planów
Tabela 3.2. Plan pełnego eksperymentu czynnikowego typu 23. Sposób kodowania.
Nr
x0
x1
x2
x3
x1x2 x1x3 x2x3 x1x2 Kod
x3
1
+1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
(1)
2
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
a
3
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
b
4
+1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
-1
ab
5
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
c
6
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
ac
7
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
bc
8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
abc
(1), a, b, ab, c, ac, bc, abc
Mariusz B. Bogacki
(3.14)
8
Rozdział 3
Strona 9 z 37
Tworzenie planów 2K
Plan typu 22 w zapisie kodowym
(1), a, b, ab
(3.15)
Plan 23
(3.14)
Plan 24
(1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, d, ad, bd, abd, cd, acd, bcd, abcd
(3.16)
Mariusz B. Bogacki
9
Rozdział 3
Strona 10 z 37
Stosowalność planów czynnikowych typu 2K
y = a0 + a1 x1 + a 2 x2 + a3 x3 + a12 x1 x2 +
+ a13 x1 x3 + a 23 x2 x3 + a123 x1 x2 x3
(3.14)
N = 23 = 8 doświadczeń
Mariusz B. Bogacki
10
Rozdział 3
Strona 11 z 37
Wielomian stopnia drugiego
K = 2 zmienne
y = a0 + a1 x1 + a 2 x2 + a12 x1 x2 + a11 x12 + a 22 x2 2
(3.15)
Tabela 3.3. Macierz wejść dla modelu będącego wielomianem kwadratowym
postaci
2
y = a 0 + a1 x1 + a 2 x 2 + a12 x1 x 2 + a11 x1 + a 22 x 2
2
.
Plan typu 22.
Nr
x0
x1
x2
x1 x2
x12
x22
1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
2
+1
-1
+1
-1
+1
+1
3
+1
+1
-1
-1
+1
+1
4
+1
-1
-1
+1
+1
+1
Mariusz B. Bogacki
11
Rozdział 3
Strona 12 z 37
Właściwości planów czynnikowego na dwóch poziomach typu 2K
(i)
Jest symetryczny względem środka eksperymentu. Wszystkie doświadczenia umieszczone są symetrycznie względem punktu
centralnego (rysunek 3.2 i 3.3). Wynika stąd następująca równość
K
∑ xij = 0 ,
j = 1, 2, ..., K
(3.16)
i =1
(ii)
Jest ortogonalny. Wszystkie iloczyny skalarne wektorów kolumnowych macierzy eksperymentu X dla i ≠ j mają wartość zero
K
∑ xsj xsi = 0 ,
i, j = 0, 1, 2, ..., K, i ≠ j
(3.17)
s =1
(iii) Sumy kwadratów wszystkich kolumn macierzy X wynoszą N.
K
∑ xij2 = N ,
j = 1, 2, ..., K
(3.18)
i =1
Mariusz B. Bogacki
12
Rozdział 3
Strona 13 z 37
Eksperyment czynnikowy na dwóch poziomach
Liczba doświadczeń w eksperymencie
N = 2K
K = 2;
N = 22 = 4;
K = 3;
N = 23 = 8;
K = 10;
N = 210 = 1024;
K = 30;
N = 230 = 1 073 741 824;
Mariusz B. Bogacki
13
Rozdział 3
Strona 14 z 37
Eksperymenty ułamkowe (fractional factorial experiments)
Oznaczamy jako plany typu 2K-M,
gdzie:
K to liczba zmiennych (czynników),
M to ułamkowość planu
M = 1 oznacza plany połówkowe;
M = 2 oznacza plany ćwiartkowe;
M = 3 – plany ósemkowe
i tak dalej
Mariusz B. Bogacki
14
Rozdział 3
Strona 15 z 37
Podział planu całkowitego na plany ułamkowe
Dla K = 3 zmiennych wejściowych t1, t2 i t3,
ŷ = a0 + a1t1 + a2 t2 + a3t3 + a12 t1t2 +
+ a13t1t3 + a 23t2 t3 + a123t1t2 t3
(3.19)
Plan pełnego eksperymentu 23
Mariusz B. Bogacki
(3.14)
15
Rozdział 3
Strona 16 z 37
Tabela 3.2. Plan pełnego eksperymentu czynnikowego typu 23. Sposób kodowania.
x1x2x3
Kod
+1
-1
(1)
-1
+1
+1
a
-1
+1
-1
+1
b
-1
+1
-1
-1
-1
ab
-1
+1
+1
-1
-1
+1
c
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
ac
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
bc
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
abc
Nr
x0
x1
x2
x3
x1x2 x1x3 x2x3
1
+1
-1
-1
-1
+1
+1
2
+1
+1
-1
-1
-1
3
+1
-1
+1
-1
4
+1
+1
+1
5
+1
-1
6
+1
7
8
Mariusz B. Bogacki
16
Rozdział 3
Strona 17 z 37
Podział planu całkowitego na dwa plany połówkowe
Plan pełnego eksperymentu 23
(3.14)
kody zawierające nieparzystą liczbę liter
a, b, c, abc
(3.20)
kody zawierające parzystą liczbę liter
(1), ab, ac, bc
Mariusz B. Bogacki
(3.21)
17
Rozdział 3
Strona 18 z 37
Tabela 3.4. Plan eksperymentu połówkowego typu 23-1. Wiersze nieparzyste.
Nr
t0
t1
t2
t3
t1 t2 t1 t3 t2 t3 t1 t2 Kod
t3
2
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
a
3
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
b
5
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
c
8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
abc
równość charakterystyczna planu lub kontrast określający
t1t2 t3 = +1
Mariusz B. Bogacki
(3.26)
18
Rozdział 3
ŷ = a0′ + a1′t1 + a2′t2 + a3′t3
Strona 19 z 37
(3.22)
Jeśli prawdziwe współczynniki regresji α12, α13, α23, α123, są niezerowe, to obliczone przez nas oszacowania będą łączną oceną następujących wyrażeń
( )
( )
( )
E (a ′ ) = α
E a0′ = α 0 + α123
E a1′ = α1 + α 23
E a ′ =α +α
2
2
13
3
3
+ α12
Mariusz B. Bogacki
(3.23)
19
Rozdział 3
Strona 20 z 37
Tabela 3.5. Plan eksperymentu połówkowego typu 23-1. Wiersze parzyste.
Nr
t0
t1
t2
t3
t3
1
+1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
(1)
4
+1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
-1
ab
6
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
ac
7
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
bc
równość charakterystyczna planu lub kontrast określający
t1t2 t3 = −1
Mariusz B. Bogacki
(3.27)
20
Rozdział 3
ŷ = a0″ + a1″t1 + a2″t2 + a3″t3
Strona 21 z 37
(3.24)
Jeśli prawdziwe współczynniki α12, α13, α23, α123, są niezerowe, to
obliczone przez nas współczynniki regresji będą łączną oceną następujących wyrażeń
( )
( )
( )
E (a ″ ) = α
E a0″ = α 0 − α123
E a1″ = α1 − α 23
E a ″ = α −α
2
2
13
3
3
− α12
Mariusz B. Bogacki
(3.25)
21
Rozdział 3
Strona 22 z 37
Plan zdefiniowany kontrastem określającym
t1t2 = −1
(3.28)
zawiera wiersze opisane kodami
a, b, ac, bc
(3.29)
Tabela 3.6. Plan połówkowego eksperymentu typu 23-1 określonego
kontrastem (3.28).
Nr
t0
t1
t2
t3
t3
2
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
a
3
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
b
6
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
ac
7
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
bc
Mariusz B. Bogacki
22
Rozdział 3
ŷ = a0′′′ + a1′′′t1 + a2′′′t2 + a3′′′t3
Strona 23 z 37
(3.30)
Jeśli prawdziwe współczynniki α2, α12, α23, α123, są niezerowe, to
obliczone przez nas współczynniki regresji będą łączną oceną następujących wyrażeń
E (a0′′′) = α 0 − α12
E (a1′′′) = α1 − α 2
E (a2′′ ) = α 3 − α123
E (a3′′′) = α13 − α 23
Mariusz B. Bogacki
(3.31)
23
Rozdział 3
Strona 24 z 37
Dla K = 3 mamy 8 różnych planów połówkowych o 4 doświadczeniach
t1t2 = +1
t1t3 = +1
t 2 t 3 = +1
t1t2 t3 = +1
t1t2 = −1
(3.32)
t1t3 = −1
t 2 t 3 = −1
t1t2 t3 = −1
Mariusz B. Bogacki
24
Rozdział 3
Strona 25 z 37
Przypadek 4 zmiennych wejściowych t1, t2, t3, t4.
Plan eksperymentu całkowitego zawiera 24 = 16
ŷ = a0 + a1t1 + a 2 t2 + a3t3 + a4 t4 +
+ a12 t1t2 + a13t1t3 + a14 t1t4 + a23t2 t3 +
+ a 24 t2 t4 + a34 t3t4 + a123t1t2 t3 + a124 t1t2 t4 +
(3.33)
+ a134 t1t3t4 + a 234 t2 t3t4 + a1234 t1t2 t3t4
Plan całkowity
(1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, d, ad, bd, abd, cd, acd, bcd, abcd
(3.34)
plan połówkowy o parzystej liczbie liter
(1), ab, ac, bc, ad, bd, cd, abcd
(3.36)
plan połówkowy o nieparzystej liczbie liter
a, b, c, abc, d, abd, acd, bcd
(3.35)
Równość charakterystyczna
t1t2 t3t4 = −1
Mariusz B. Bogacki
(3.39)
25
Rozdział 3
Strona 26 z 37
ŷ = a0′ + a1′t1 + a 2′t2 + a3′t3 + a 4′t4 +
+ a ′t t + a ′t t + a ′t t
12 1 2
13 1 3
(3.37)
14 1 4
Jeżeli prawdziwe współczynniki regresji a23, a24, a34, a123, a124, a134,
a234, a1234, są niezerowe, to obliczone przez nas współczynniki regresji
będą łączną oceną następujących wyrażeń
E (a0′′′) = α 0 − α1234
E (a1′′′) = α1 − α 234
E (a2′′′) = α 2 − α134
E (a3′′ ) = α 3 − α124
E (a4′′′) = α 4 − α123
′′′ ) = α12 − α 34
E (a12
(3.38)
′′′ ) = α13 − α 24
E (a13
′′′ ) = α14 − α 23
E (a14
Mariusz B. Bogacki
26
Rozdział 3
Strona 27 z 37
Plan ćwiartkowy, stanowiący ¼ planu całkowitego
t1t2 t3t4 = +1
(3.40)
t1t3t4 = −1
w zapisie kodowym
(1), ac, ad, cd
(3.41)
Tabela 3.7. Plan ułamkowy typu 24-2. Kontrasty określające (3.40).
Nr t0 t1 t2 t3 t4 t1t t1t t1t t2t t2t t3t t1t2 t1t2 t1t3 t2t3 t1t2t3 Ko
4
t3
t4
t4
t4
t4
d
+ + + + + +
-
-
-
-
+
(1)
2 + + - + -
-
+
-
+ -
-
+
-
+
+
ac
3 + + -
-
-
+ +
-
-
+
-
-
+
+
ad
- + + +
-
-
- +
+
+
-
-
+
cd
2
1 + -
4 + -
-
-
-
- +
Mariusz B. Bogacki
3
4
3
-
4
27
Rozdział 3
Strona 28 z 37
Funkcja regresji postaci
ŷ = a0′ + a1′t1 + a3′t3 + a4′t4
(3.42)
obliczone współczynniki regresji będą łączną oceną następujących
wyrażeń
E (a0′′′) = α 0 − α 2 − α134 + α1234
E (a1′′′) = α1 − α12 − α 34 + α 234
E (a3′′ ) = α 3 − α14 − α 23 + α124
E (a4′′′) = α 4 − α13 − α 24 + α123
Mariusz B. Bogacki
(3.43)
28
Rozdział 3
Strona 29 z 37
Właściwości statystyczne planów czynnikowych
Wariancje wszystkich współczynników regresji są jednakowe
var (a j ) =
1 2
σ ,
N
j = 1, 2, ..., K
(3.44)
Wariancja funkcji regresji ŷ 0 w punkcie t0
σ2 ⎡
var ŷ =
1 + t10
( )
0
N ⎢⎣
( )2 + (t20 )2 + K + (tK0 )2 ⎤⎥⎦
(3.45)
W przypadku planów czynnikowych dwupoziomowych zachodzi
równość
( )2 + (t20 )2 + K + (tK0 )2 = 1 + K
1 + t10
(3.46)
a więc
( ) = N [1 + K 2 ]
var ŷ
0
σ2
(3.47)
Planowanie o kulistym rozkładzie informacji określane jest mianem planowania rotatabilnego.
Mariusz B. Bogacki
29
Rozdział 3
Strona 30 z 37
Jednoczesna zmiana wszystkich zmiennych wejściowych jest podstawową zaletą planów czynnikowych
w porównaniu do planów tradycyjnych, w których dokonuje się kolejnych zmian poszczególnych zmiennych
wejściowych.
Mariusz B. Bogacki
30
Rozdział 3
Strona 31 z 37
Problem 3.1.
W reakcji otrzymywania tionouretanów jako substraty wykorzystuje się między innymi kwas chlorooctowy oraz ksantogenian izobutylowosodowy. Wydajność tej reakcji zależy od czasu i temperatury reakcji oraz stosunku molowego kwasu chlorooctowego do ksantogenianu izobutylowosodowego. Wcześniejsze badania pozwalają określić przedziały zmian dla poszczególnych czynników wpływających
na wydajność procesu (tabela 3.8).
Tabela 3.8. Przedziały zmian dla poszczególnych czynników wpływających na wydajność otrzymywania tionouretanów.
Zmienna
Czas reakcji, s
x1
Stosunek mo- Temperatura, K
lowy
x3
MClCH2COONa/Mi
BuXNa
Poziom górny
1800
x2
1.2
Poziom podsta-
1200
1.1
288
Poziom dolny
600
1.0
278
Przedział zmian
600
0.1
10
298
wowy
Mariusz B. Bogacki
31
Rozdział 3
Strona 32 z 37
Wprowadźmy nowe standaryzowane zmienne
x1 − 1200
600
x − 1.1
t2 = 2
0.1
x − 288
t3 = 3
10
t1 =
(3.48)
Tabela 3.9. Plan eksperymentu typu 23 oraz uzyskane w poszczególnych doświadczeniach wydajności reakcji otrzymywania
tionouretanu.
Nr
t0
t1
t2
t3
t1 t2
t1 t3
t2 t3
t1 t2 Wyd.,
t3
%
1
+1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
8.0
2
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
16.4
3
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
12.7
4
+1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
-1
22.5
5
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
43.0
6
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
56.7
7
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
52.2
8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
67.4
Mariusz B. Bogacki
32
Rozdział 3
Strona 33 z 37
W zapisie macierzowym eksperyment ten przedstawimy jako
⎡+ 1
⎢+ 1
⎢
⎢+ 1
⎢+ 1
T=⎢
⎢+ 1
⎢+ 1
⎢
⎢+ 1
⎢
⎣+ 1
−1
+1
−1
+1
−1
+1
−1
+1
−1
−1
+1
+1
−1
−1
+1
+1
0
8
M
0
L
L
O
L
−1
−1
−1
−1
+1
+1
+1
+1
+1
−1
−1
+1
+1
−1
−1
+1
+1
−1
+1
−1
−1
+1
−1
+1
+1
+1
−1
−1
−1
−1
+1
+1
− 1⎤
+ 1⎥
⎥
+ 1⎥
− 1⎥
⎥
+ 1⎥
− 1⎥⎥
− 1⎥
⎥
+ 1⎦
(3.49)
Obliczamy
⎡8
⎢0
T
T T=⎢
⎢M
⎢0
⎣
0⎤
0⎥
⎥ = 8I
M⎥
8⎥⎦
(3.50)
⎤
0 L 0⎥
⎥
1
L 0⎥ = 1 I
8
⎥ 8
M O M⎥
1
0 L ⎥
8⎦
(3.51)
oraz
(T T)
T
−1
⎡1
⎢8
⎢
= ⎢0
⎢
⎢M
⎢0
⎣
gdzie I jest macierzą jednostkową.
Mariusz B. Bogacki
33
Rozdział 3
Strona 34 z 37
W przypadku ogólnym dla N = 2K doświadczeń
TT T = NI
(3.52)
oraz
(TT T)−1 = N1 I
(3.53)
stąd, współczynniki regresji
(
T
k= T T
)
−1
TT y =
Mariusz B. Bogacki
1 T
T y
N
(3.54)
34
Rozdział 3
Strona 35 z 37
Problem 3.2.
Zagadnienie ważenia trzech przedmiotów [3]. Za pierwszym razem
dokonujemy tarowania wagi, a następnie w trzech pomiarach umieszczamy na wadze kolejno trzy przedmioty, jeden po drugim. Plan takiego tradycyjnego eksperymentu przedstawiono w tabeli 3.10.
Mariusz B. Bogacki
35
Rozdział 3
Strona 36 z 37
Tradycyjny eksperyment
Tabela 3.10. Plan tradycyjnego eksperymentu ważenia trzech przedmiotów.
N
t1
t2
t3
y
1
-
-
-
y1
2
+
-
-
y2
3
-
+
-
y3
4
-
-
+
y4
Ciężary poszczególnych przedmiotów
k1 = y 2 − y1
k 2 = y3 − y1
(3.55)
k3 = y 4 − y1
Wariancje obliczonych ciężarów
var (k1 ) = var (k 2 ) = var (k 3 ) = 2σ 2
Mariusz B. Bogacki
(3.56)
36
Rozdział 3
Strona 37 z 37
Eksperyment czynnikowy
Tabela 3.11. Plan czynnikowego eksperymentu ważenia trzech
przedmiotów.
N
t1
t2
t3
y
1
-
-
-
y1
2
+
+
-
y2
3
+
-
+
y3
4
-
+
+
y4
1
(− y1 + y2 + y3 − y4 )
2
1
k 2 = (− y1 + y 2 − y1 + y 4 )
2
1
k 3 = (− y1 − y 2 + y3 + y 4 )
2
k1 =
(3.57)
Wariancje obliczonych ciężarów
var (k1 ) = var (k 2 ) = var (k3 ) = σ 2
Mariusz B. Bogacki
(3.58)
37

1 - Politechnika Poznańska

Transkrypt

Podobne dokumenty

Metody Planowania Eksperymentów

Metody algorytmiczne Metoda poszukiwania i wędrówki

Lista sponsorów 1. Rolnicza Spółdzielnia Produkcyjna

OGŁOSZENIA DROBNE

MARIUSZ WANDOR życiorys

Janus Galka - Rechtsanwalt Galka