Zobacz zadania na konkurs Gimnazjum część I

Zobacz zadania na konkurs Gimnazjum część I

Zadania konkursowe dla gimnazjum
Część I.
1. Jaka jest ostatnia cyfra liczby 32009?
2. Uzasadnij, że suma 98+97+96+95+94+93+92+9 jest podzielna przez 90.
3. Oblicz √176 − 2√275 − √891 + √1584 .
4. Dowiedź, że
√3 − √8 +√5 − √24 + √7 − √48 = 1.
5. Która z liczb jest większa
3100−2150 czy 350+275 ?
6. Uzasadnij, że jeżeli 𝑎 jest liczbą naturalną, to liczba 𝑎 3− 𝑎 jest podzielna
przez 6.
7. Z przystani wypłynęły jednocześnie parowiec i kuter. Oba statki płynęły w
tym samym kierunku. Pierwszy z prędkością 24 km/h, drugi – 15 km/h.
Po upływie 3 godzin podróży parowiec osiadł na mieliźnie. Po pewnym
czasie parowiec ruszył w dalszą drogę i po upływie 7 godzin dogonił
kuter. Ile godzin parowiec stał na mieliźnie?
8. Z miast A i B wyruszyły jednocześnie dwa samochody, jadąc naprzeciw
siebie. Gdy się spotkały, okazało się, że pierwszy z nich przebył drogę o
60 km dłuższą niż drugi. Pierwszy samochód przybył do miasta B po
5 godz., drugi zaś do miasta A po 7,5 godz. jazdy. Jaka jest odległość
między miastami?
9. Student, którego zapytano, ile ma lat, odpowiedział: „Za 10 lat będę miał
dwa razy tyle, ile miałem 4 lata temu.” Ile lat ma student?
10. Gdy baryłka jest w 30% pusta, zawiera o 30 litrów więcej niż, gdy jest w
30% napełniona. Jaka jest pojemność baryłki?
11. W świeżych grzybach jest 90% wody. Po wysuszeniu zostaje w nich 60%
wody. Gdy wysuszono pewną porcję grzybów, stały się one lżejsze o
15 kg. Ile grzybów było przed suszeniem?
12. Po kolejnych dwóch podwyżkach cen towaru o ten sam procent jego
cena ze 100 zł zmieniła się na 125,44 zł. O jaki procent podwyższano
cenę?
13. W trapezie ABCD, w którym ADIIBC, zachodzą równości AB = BC, AC = CD
oraz BC + CD = AD. Wyznacz Katy tego trapezu.
B
A
C
D
14. Marta wypisała wszystkie liczby od 1 do 100 000. Ile cyfr napisała?
15.W pewnej klasie jest 30 uczniów. Wśród nich jest 5 takich, którzy mają
brata i siostrę oraz 7 takich, którzy nie mają ani brata, ani siostry. Ilu
uczniów tej klasy ma brata, jeśli wiadomo, że 13 ma siostrę?
16. W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne AD i BE, które przecinają się
w punkcie F. Miary kątów trójkąta AEF podano na rysunku. Znajdź miary
kątów trójkąta ABC.
17.Do ponumerowania stron dużego tomu encyklopedii użyto 2989 cyfr. Ile
stron ma ten tom?
18.Gdyby cena 1 kg soli była równa liczbie dekagramów soli, które można
kupić za 1 zł, to jaka byłaby cena 1 kg soli?
19.W akwarium, w kształcie naczynia prostopadłościennego, znajdowało się
50 litrów wody. Akwarium nie było pełne. Dno akwarium jest
prostokątem o bokach długości 30 cm i 50 cm. Do akwarium wsypano
piasek i wtedy 5 litrów wody przelało się przez brzegi akwarium.
Następnie z akwarium wylano jeszcze 10 litrów wody, po czym górny
poziom wody znajdował się na tej samej wysokości jak przed wsypaniem
piasku. Oblicz jakiej wysokości jest to akwarium i jaką pojemność zajmuje
wsypany piasek. Przedstaw obliczenia.
20.Z sześciennych klocków zbudowano sześcian, a następnie z jego górnej
warstwy usunięto kilka klocków – tak, jak pokazano na rysunku. Objętość
otrzymanej bryły jest równa 176 cm3. Oblicz długość krawędzi jednego
klocka.
21.Ile gramów wody należy dolać do 750 g roztworu o stężeniu 3,6%, by
otrzymać roztwór o stężeniu 1,5%?
22.Wykaż, że dla dowolnych liczb a i b zachodzi nierówność:
𝑎2 ∙ 10100 + 𝑏 2 ∙ 1098
≥ 𝑎𝑏 ∙ 1099
2
23. Pewna liczba naturalna x spełnia równanie
(x∙10−3 )2
105
= 10−3 ∙ 102 . Ile cyfr
ma ta liczba?
24. Znajdź wszystkie liczby naturalne spełniające warunek:
3
1 < √𝑥 < 2 < √𝑥 < 3.
25.Wyznacz a z wzoru 𝑐 =
26.
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
, gdzie a ≠ −b, b ≠ c, b ≠−c, b ≠ 0, c ≠ 0.