zadania zeszłoroczne

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY
ZADANIE
1
2
3
KOD
4
5
SUMA
PUNKTÓW
PUNKTACJA
PODPIS
SPRAWDZAJĄCEGO
KURATORYJNY KONKURS MATEMATYCZNY
dla uczniów szkół podstawowych
w roku szkolnym 2010/2011
I stopień konkursu (szkolny)
20 października 2010 r.
Witamy na Konkursie
Otrzymujesz do rozwiązania 5 jednakowo punktowanych zadań (każde za 4 punkty).
Na rozwiązanie wszystkich zadań przeznaczono 60 minut.
Czytaj uważnie treści wszystkich zadań.
Rozwiązania zadań zapisuj czytelnie długopisem (piórem) z czarnym lub niebieskim
tuszem (atramentem).
Rozwiązując każde zadanie przedstaw sposób swojego rozumowania.
Ołówka możesz używać jedynie do wykonywania rysunków, w żadnym wypadku nie próbuj
nim rozwiązywać zadań, nawet „na brudno”. Jeśli się pomylisz, to skreśl zbędne
fragmenty.
Nie używaj korektora i kolorowych pisaków.
Nie korzystaj z kalkulatora.
Życzymy Ci „połamania pióra”.
Wojewódzka Komisja Konkursu Matematycznego
1
Zadanie 1.
Mały Tomek zbudował na podłodze w pokoju piramidkę z klocków sześciennych jednakowej
wielkości, tak jak pokazano na rysunku. Pierwsza warstwa to ułożony kwadrat 5 na 5
klocków, druga – kwadrat 3 na 3 klocki, ułożone równo na wewnętrznych kostkach niższej
warstwy. Na szczycie stoi 1 klocek.
Pytanie 1
Ilu klocków potrzebowałby Tomek, gdyby chciał
zbudować
podobną
ale większą
piramidę,
rozpoczynając od warstwy 13 na 13 klocków?
Pytanie 2
Ile jest klocków „wewnętrznych” w piramidzie
opisanej w pytaniu pierwszym, tj. takich, których
żadnej ścianki nie widać z zewnątrz, przy oglądaniu
piramidy z dowolnej strony? (zakładamy, że nie
możemy obejrzeć piramidy od strony podłoża)
Odpowiedz na oba pytania, podając składniki obliczonych sum lub sposób obliczenia.
Zadanie 2.
W klasie jest 27 uczniów. Każdy uczeń uprawia przynajmniej jedną z trzech dyscyplin
sportowych: piłkę nożną, pływanie lub tenis. Największa liczba uczniów uprawia pływanie,
a najmniejsza tenis. W piłkę nożną gra 15 uczniów. Tylko jeden uczeń uprawia jednocześnie
trzy wymienione dyscypliny sportowe. Dwoje uprawia tenis i piłkę nożną. Czworo uprawia
pływanie i piłkę nożną. Troje uprawia tenis i pływanie.
Pytanie 1
Ilu uczniów uprawia tylko jedną dyscyplinę sportu - pływanie?
Pytanie 2
Ilu uczniów uprawia tylko jedną dyscyplinę sportu - tenis?
Odpowiedz na oba pytania, podając sposób rozwiązania.
Zadanie 3.
Hurtownik zakupił pewną liczbę piłeczek gumowych pakowanych w siatkach, zawierających
po 7 sztuk, płacąc za każdą siatkę z piłeczkami 20 zł. Następnie sprzedał wszystkie zakupione
piłeczki w cenie po 20 zł za paczkę ale w każda paczka zawierała tylko 6 sztuk.
Pytanie
Ile piłeczek sprzedał hurtownik, jeśli różnica pomiędzy uzyskaną przez hurtownika kwotą ze
sprzedaży a kwotą, jaką zapłacił za towar wynosiła 17 280 zł?
2
Zadanie 4.
Pole prostokąta ABCD wynosi 24 cm2. Bok AB jest równoległy do boku DC. Na boku AB
zaznaczono punkt E różny od punktów A i B, na DC zaznaczono punkt F różny od punktów
C i D. Pole ∆ FDA wynosi 5 cm2.
Oblicz ile wynosi pole ∆ CFE. Odpowiedź uzasadnij lub opisz jak doszedłeś do rozwiązania.
Zadanie 5.
Posiadamy kwotę równą dokładnie 2 zł 17 gr w dostępnych jednostkach monetarnych groszy
(monety 1 gr, 2 gr, 5 gr), dziesiątek groszy (monety 10 gr, 20 gr, 50 gr), i złotych (monety
1 zł, 2 zł). Wypisz, jakie dokładnie kwoty na pewno można wypłacić z posiadanej sumy,
niezależnie od posiadanego zestawu monet, z których składa się ta suma.
Rozpatrz wszystkie możliwości, uwzględniając różne możliwe zestawy monet składające się
na posiadaną kwotę. Liczby monet w poszczególnych nominałach są dowolne.
Przykład: Z pewnością nie w każdym przypadku możemy wypłacić 1 zł 6 gr, bo takiej kwoty
nie wypłacimy posiadając następujący zestaw monet: jedna moneta 2 zł + jedna moneta 10 gr
+ jedna moneta 5 gr + jedna moneta 2gr.
Uwaga 1: Nie bierzemy pod uwagę wypłacenie 0 zł i 2 zł 17 gr.
Uwaga 2: Podanie w odpowiedzi błędnych kwot powoduje obniżenie oceny punktowej za
rozwiązanie zadania.
3
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY
ZADANIE
1
2
3
KOD
4
5
SUMA
PUNKTÓW
PUNKTACJA
PODPIS
SPRAWDZAJĄCEGO
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY
dla uczniów szkół podstawowych
w roku szkolnym 2010/2011
II stopień konkursu (rejonowy)
27 listopada 2010 r.
Witamy na Konkursie
Otrzymujesz do rozwiązania 5 jednakowo punktowanych zadań (każde za 4 punkty).
Na rozwiązanie wszystkich zadań przeznaczono 90 minut.
Czytaj uważnie treści wszystkich zadań.
Rozwiązania zadań zapisuj czytelnie długopisem (piórem) z czarnym lub niebieskim
tuszem (atramentem).
Rozwiązując każde zadanie przedstaw sposób swojego rozumowania.
Ołówka możesz używać jedynie do wykonywania rysunków, w żadnym wypadku nie próbuj
nim rozwiązywać zadań, nawet „na brudno”. Jeśli się pomylisz, to skreśl zbędne
fragmenty.
Nie używaj korektora i kolorowych pisaków.
Nie korzystaj z kalkulatora.
Życzymy Ci „połamania pióra”.
Wojewódzka Komisja Konkursu Matematycznego
4
Zadanie 1.
Prostokąt podzielono na 4 mniejsze prostokąty, jak
pokazano na rysunku. Znane są pola trzech składowych
prostokątów. Wartości pól są podane na rysunku (liczby
umieszczone na odpowiadających prostokątach). Oblicz
pole czwartego największego składowego prostokąta.
Podaj sposób obliczenia.
Zadanie 2.
Trasa autobusu komunikacji miejskiej prowadzi od jednego zakończenia (pętli) do drugiego.
Trasę tę obsługują autobusy jeżdżąc od pętli do pętli i z powrotem. Na wszystkich
przystankach na trasie jest informacja dla podróżujących, że autobusy przyjeżdżają co 20
minut. Każdy autobus, po przejechaniu trasy w jedną stronę, zanim wyruszy z pętli w trasę
powrotną, ma 20 minutowy postój. Wiadomo, że każdy autobus pokonuje trasę w jedną stronę
(nie wliczając postojów na pętli) w 1 godzinę i 20 minut. Ile autobusów należy wprowadzić
do obsługi tej trasy, aby zapewniły one ciągłą, zgodną z rozkładem jazdy obsługę pasażerów?
Przedstaw sposób obliczenia. Czas postojów na przystankach pomijamy.
Zadanie 3.
Suma dzielników pewnej niewiadomej liczby naturalnej, bez liczby 1 i bez dzielnika
będącego liczbą niewiadomą, wynosi 41. Znajdź niewiadomą liczbę wiedząc, że rozkłada się
ona na trzy czynniki pierwsze, a jednym z nich jest liczba 5. Podaj sposób obliczenia
niewiadomej liczby.
Zadanie 4.
W akwarium, w kształcie naczynia prostopadłościennego, znajdowało się 50 litrów wody.
Akwarium nie było pełne. Dno akwarium jest prostokątem o bokach długości 30 cm i 50 cm.
Do akwarium wsypano piasek i wtedy 5 litrów wody przelało się przez brzegi akwarium.
Następnie z akwarium wylano jeszcze 10 litrów wody, po czym górny poziom wody
znajdował się na tej samej wysokości jak przed wsypaniem piasku. Oblicz jakiej wysokości
jest to akwarium i jaką pojemność zajmuje wsypany piasek. Przedstaw obliczenia.
5
Zadanie 5.
Ania rozpoczęła czytanie pewnej książki. Przez 4 pierwsze dni czytała każdego dnia średnio
po 12 stron. Przez następne dni czytała dziennie po 20 stron. Ostatniego dnia przeczytała
ostatnie 10 stron książki. Okazało się, że gdyby czytała po 14 stron dziennie, całą książkę
przeczytałaby w tyle samo dni. Ile dni zajęło Ani przeczytanie tej książki?
6
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY
dla uczniów szkół podstawowych
w roku szkolnym 2010/2011
II stopień konkursu (rejonowy)
27 listopada 2010 r.
Schemat punktowania.
Za poprawne i pełne rozwiązanie każdego zadania (nawet, gdy będzie inne od przewidzianych
przez nas rozwiązań) uczeń otrzymuje 4 punkty. W celu dokładnego zróżnicowania osiągnięć
uczniów i obiektywizacji oceniania w poszczególnych zadaniach za poprawne wykonanie
niezbędnych czynności przydziela się następującą liczbę punktów:
NUMER
ZADANIA
Zadanie 1
LICZBA
PUNKTÓW
WYKONYWANA CZYNNOŚĆ
Znalezienie odpowiednich związków prowadzących do
rozwiązania.
Wykonanie przekształceń, wyliczeń i podanie odpowiedzi
Obliczenie czasu pokonania całej trasy (w dwie strony) przez
2
2
1
autobus – wielkości niezbędnej do wyliczenia liczby
Zadanie 2
2
autobusów.
Znalezienie związku pomiędzy czasem przejazdu trasy
autobusu a liczbą autobusów.
1
Wykonanie obliczeń i podanie odpowiedzi.
Użycie liczby 41 do wyrażenia sumy dzielników i znalezienie
związku prowadzącego do rozwiązania. Podanie liczby 2 i 3
jako spełniających zależność oraz podanie liczby
niewiadomej – 30
Zadanie 3
Przeprowadzenie poprawnego wnioskowania i wykazanie, że
liczby 2 i 3 to jedyne liczby pierwsze spełniające zależność, a
więc liczba 30 to jedyne rozwiązanie zadania.
7
2
2
Zadanie 4
Zadanie 5
Obliczenie początkowej wysokości poziomu wody.
1
Znalezienie związku pomiędzy odlaną wodą a wysokością nad
powierzchnią wody.
1
Obliczenie wysokości akwarium.
1
Obliczenie objętości piasku.
1
Znalezienie związków pomiędzy liczbą dni (niewiadomą),
a wielkościami podanymi w zadaniu.
Wykonanie przekształceń, obliczeń i podanie odpowiedzi.
8
2
2
Przykładowe rozwiązania zadań – szkice rozwiązań.
Zadanie 1.
Boki prostokąta podzielono na części. Oznaczając na krótszym boku jego części jako długości
a i b, na dłuższym - c i d, można zapisać podane wielkości jako:
ac = 6, bc = 2, bd = 14; Szukane pole ad.
Po przekształceniach pierwszego i trzeciego związku otrzymujemy:
a=
6
14
,d = .
c
b
Wyliczone a i d mnożymy, za bc podstawiamy 2, co wynika z drugiego związku:
a⋅d =
6 14 6 ⋅ 14 6 ⋅ 14
⋅ =
=
= 42
c b
bc
2
Otrzymujemy szukaną wielkość pola ad = 42.
Odpowiedź.: Szukane pole prostokąta wynosi 42.
Zadanie 2.
Z podanych czasów wynika, że autobus pokonuje całą trasę tam i z powrotem (wliczając
1
postoje) w czasie: 2 ⋅ 1 h 20 min + 2 ⋅ 20 min = 3 h
3
1
1
W tym czasie, co 20 min ( h ), z każdego przystanku musi odjechać autobus. W czasie 3 h
3
3
1
1 1
odstępów h jest 3 : = 10
3
3 3
Odpowiedź.: Potrzeba 10 autobusów.
Zadanie 3.
Szukana liczba jest postaci 5 ⋅ a ⋅ b , gdzie a i b są liczbami pierwszymi, a ≠ b , a ≠ 5 i b ≠ 5 .
Dzielnikami szukanej liczby są więc zatem liczby:1, a, b, 5, ab, 5a, 5b, 5ab.
Suma tych dzielników za wyjątkiem 1 i 5ab, zgodnie z warunkami zadania, wynosi 41.
Tak więc szukana liczba spełnia warunek:
a + b + 5 +ab + 5a + 5b = 41
6a + 6b + ab + 5 = 41
6a + 6b + ab = 36 (*)
Powyższe równanie spełniają liczby a = 2 i b = 3 , a więc niewiadoma liczba to:
5 ⋅ a ⋅ b = 5 ⋅ 2 ⋅ 3 = 30
Równanie spełniają tylko liczby 2 i 3. Innego rozwiązania nie ma, gdyż zastępując którąś
z liczb a, b (albo obie) przez inną (a więc większą) liczbę pierwszą zwiększymy wartość
wyrażenia występującego po lewej stronie równania (*) i równość nie będzie zachodzić.
Odpowiedź.: Niewiadomą liczbą jest 30.
9
Zadanie 4.
Oznaczmy wysokość akwarium jako h.
Początkowo naczynie było wypełnione do wysokości x (dm) odpowiadającej równaniu
3 ⋅ 5 ⋅ x = 50
15 ⋅ x = 50
x=
50 10
= (dm)
15 3
Dodanie piasku spowodowało uzupełnienie naczynia do pełnej pojemności. Odlanie 10 litrów,
wody spowoduje, że poziom wody sięgać będzie (jak na początku) wysokości 10/3 (dm).
10 litrów odlanej wody odpowiada zatem pojemności:
3 ⋅ 5 ⋅ y = 10 , gdzie y oznacza różnicę wysokości od górnego poziomu wody do wysokości
naczynia h.
y=
10 2
= (dm)
3⋅5 3
Wysokość akwarium wynosi zatem:
h= x+ y =
10 2 12
+ =
= 4 (dm)
3 3 3
Dodanie piasku spowodowało uzupełnienie naczynia do pełnej pojemności i ponadto wylanie
się 5 dm3 wody. Jeśli dodatkowo odlejemy jeszcze 10 litrów, w akwarium pozostanie 35 dm3
wody. Ponieważ na początku w akwarium było 50 litrów wody, a teraz sięga ona do tej samej
wysokości co na początku, to w akwarium znajduje się 50 − 35 = 15 dm3 piasku.
Odpowiedź.: Wysokość akwarium wynosi 4 dm. Piasek zajmuje objętość 15 litrów (dm3).
Zadanie 5.
Oznaczając przez x liczbę dni ze średnią czytania 20 stron dziennie, łączną liczbę stron
książki można przedstawić jako:
4 ⋅12 + x ⋅ 20 + 1⋅10
Z drugiej strony (przyjmując, że Ania czytała tę książkę tyle samo dni, ze stałą prędkością
czytania 14 stron dziennie), łączną liczbę stron książki można przedstawić jako:
(4 + x + 1) ⋅14
Tak więc:
4 ⋅12 + x ⋅ 20 + 1 ⋅10 = (4 + x + 1) ⋅14
Po wyliczeniu otrzymujemy x = 2 dni, tak więc Ania czytała książkę 4 + 2 + 1 = 7 dni
Odpowiedź.: Ania przeczytała całą książkę w ciągu 7 dni.
10
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY
ZADANIE
1
2
3
KOD
4
5
SUMA
PUNKTÓW
PUNKTACJA
PODPISY
SPRAWDZAJĄCYCH
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY
dla uczniów szkół podstawowych
w roku szkolnym 2010/2011
III stopień konkursu (wojewódzki)
15 stycznia 2011 r.
Witamy na Konkursie
Otrzymujesz do rozwiązania 5 jednakowo punktowanych zadań (każde za 4 punkty).
Na rozwiązanie wszystkich zadań przeznaczono 120 minut.
Czytaj uważnie treści wszystkich zadań.
Rozwiązania zadań zapisuj czytelnie długopisem (piórem) z czarnym lub niebieskim
tuszem (atramentem).
Rozwiązując każde zadanie przedstaw sposób swojego rozumowania.
Ołówka możesz używać jedynie do wykonywania rysunków, w żadnym wypadku nie próbuj
nim rozwiązywać zadań, nawet „na brudno”. Jeśli się pomylisz, to skreśl zbędne
fragmenty.
Nie używaj korektora i kolorowych pisaków.
Nie korzystaj z kalkulatora.
Życzymy Ci „połamania pióra”.
Wojewódzka Komisja Konkursu Matematycznego
11
Zadanie 1.
Pewną niewiadomą liczbę trzycyfrową pomnożono przez drugą liczbę trzycyfrową utworzoną
z tych samych cyfr, zapisanych w odwrotnej kolejności. W wyniku mnożenia otrzymano
liczbę 125020. Znajdź niewiadome liczby trzycyfrowe. Przedstaw rozwiązanie.
Zadanie 2.
Oblicz po ilu pełnych minutach i pełnych sekundach od godziny piętnastej wskazówka
minutowa minie wskazówkę godzinową po raz pierwszy przed godziną szesnastą. Przedstaw
obliczenia, prowadzące do wyniku.
Zadanie 3.
Z naczynia zawierającego 24 l wody należy odlać dokładnie 10 l wody. Dysponujemy do tego
dwoma pustymi naczyniami o pojemnościach 11 l i 5 l. Wodę możemy przelewać z naczynia
do innego naczynia dowolną ilość razy. Podaj jak można osiągnąć zadany cel, ustalając
kolejność czynności przelewania wody (w każdym kroku należy wskazać z którego i do
którego naczynia przelewamy wodę).
Zadanie 4.
Siedem osób siedzi przy okrągłym stole na miejscach ponumerowanych w prawo od 1 do 7.
Numery miejsc jednocześnie stanowią numery graczy. Osoby te rozgrywają pewną grę. Na
początku gry każda z osób dysponowała pewną liczbą monet jednozłotowych. Pierwszy gracz
miał ich największą liczbę, a każdy następny sąsiadujący z prawej miał o jedną monetę mniej.
Siódmy gracz miał najmniejszą liczbę monet. Gra polega na tym, że każda osoba przekazuje
graczowi sąsiadującemu z prawej strony, o jedną monetę więcej niż otrzymała od gracza
sąsiadującego z lewej strony. Gra trwa do czasu gdy nie będzie możliwe kolejne przekazanie
monet, zgodnie z określonymi wyżej zasadami. Grę rozpoczyna gracz numer jeden,
przekazując 1 zł graczowi numer dwa. Po zakończeniu gry okazało się, siódmy gracz posiada
4 razy więcej monet od gracza numer jeden. Oblicz ile monet posiadał na początku gry każdy
z graczy. Pokaż jak znalazłeś rozwiązanie.
Zadanie 5.
Na bokach kwadratu ABCD zaznaczono środki odpowiednio: na boku AB środek E, na boku
BC środek F, na boku CD środek G i na boku DA środek H. Na odcinku poprowadzonym od
punktu E do punktu F zaznaczono środek K. Jaką część kwadratu zajmują łącznie pola
czworokątów: AEKH i CFKG.
12
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY
dla uczniów szkół podstawowych
w roku szkolnym 2010/2011
III stopień konkursu (wojewódzki)
15 stycznia 2011 r.
Schemat punktowania.
Za poprawne i pełne rozwiązanie każdego zadania (nawet, gdy będzie inne od przewidzianych
przez nas rozwiązań) uczeń otrzymuje 4 punkty. W celu dokładnego zróżnicowania osiągnięć
uczniów i obiektywizacji oceniania w poszczególnych zadaniach za poprawne wykonanie
niezbędnych czynności przydziela się następującą liczbę punktów:
NUMER
ZADANIA
Zadanie 1
Zadanie 2
LICZBA
PUNKTÓW
WYKONYWANA CZYNNOŚĆ
Odgadnięcie skrajnych cyfr
Napisanie związków pomiędzy cyframi i iloczynem,
przekształcenia
Wskazanie środkowej cyfry, odpowiedź
Porównanie prędkości poruszania się wskazówek (kątów
pokonywanych przez obie wskazówki w tym samym czasie)
Zapisanie związków pomiędzy kątami pokonywanymi przez
obie wskazówki. Znalezienie wyrażenia odpowiadającego
szukanej wielkości czasu
Obliczenie szukanego czasu, odpowiedź
(Odpowiedź bez zaokrąglenia w dół do minut i sekund ale
zawierająca żądane jednostki czasu – uznajemy za
prawidłową)
Za podanie ciągu czynności prowadzącego do wyniku, aby w
1
2
1
1
2
1
4
największym naczyniu pozostało 14 l wody
Jeśli w ciągu czynności zabraknie ostatniego etapu
Zadanie 3
przelewania – należy przyznać 3 pkt, jeśli zabraknie dwóch –
należy przyznać 2 pkt, jeśli zabraknie więcej należy przyznać
0 pkt
13
Uwaga: zadanie ma oczywiście wiele rozwiązań i każde z
nich należy premiować wg. powyższego schematu oceniania.
Spostrzeżenie i podanie zależności - jak zmniejsza się liczba
monet u każdego z graczy, każdorazowo po otrzymaniu, a
1
następnie przekazaniu dalej monet.
1
Sformułowanie zależności liczby monet od nr gracza.
1
1
Wskazanie warunku zatrzymania gry w zależności od
Zadanie 4
początkowej liczby monet siódmego gracza
Zbudowanie równania (wyrażenia), z którego można
wyliczyć liczbę początkową monet, wyliczenie i podanie
odpowiedzi
Uwaga
Odgadnięcie (bez pokazania drogi wnioskowania z warunków
zadania) prawidłowego rozwiązania liczby monet (1pkt) wraz
z wykonaniem symulacji gry (sprawdzenia) – razem 3 pkt
Zadanie 5
Zauważenie przydatnych symetrii utworzonych figur w
kwadracie (podział kwadratu i dobranie odpowiednich jego
elementów)
Znalezienie składowych pól algebraicznie lub graficznie
Podanie odpowiedzi w postaci ułamka lub liczby procent
14
1
2
1
Przykładowe rozwiązania zadań – szkice rozwiązań.
Zadanie 1.
Wynik mnożenia ma cyfrę jedności 0, więc pierwszą i ostatnią cyfrą jest 2 i 5 (zero
wykluczamy, ponieważ po przestawieniu cyfr w jednej z liczb byłaby to pierwsza cyfra).
Zatem do odnalezienia jest cyfra środkowa i w obu liczbach pisanych w odwrotnej kolejności
jest tą samą. Oznaczmy ją literą a. Cyfra a jest dowolną z zakresu od 0 do 9.
Zapisujemy liczby w postaci:
200 + 10a + 5, 500 + 10a + 2
Ich iloczyn (200 + 10a + 5)(500 + 10a + 2) = 125020
Po przekształceniach:
102910 + 2050a + 5020a + 100a2 = 125020
707a + 10a2 = 2211
a = 3 (dopuszczamy odgadnięcie, które jest łatwe na podstawie porównania iloczynu 707a i
wielkości liczby 2211)
Sprawdzenie potwierdza znalezione rozwiązanie
Odpowiedź: Niewiadomymi liczbami są 532 i 235.
Zadanie 2.
Wskazówka minutowa zakreśla kąt 12 razy większy niż wskazówka godzinowa w tym samym
czasie. Oznaczmy przez x kąt, jaki zakreśli wskazówka godzinowa od godziny piętnastej do
momentu minięcia jej przez wskazówkę minutową.
Wskazówka minutowa od godziny piętnastej do momentu „spotkania” wskazówki godzinowej
zakreśli kąt 90° + x.
90° + x = 12x
x = 90° : 11
2
90° + x = 90° + 90° : 11 = 98 (°)
11
Zatem pytanie w zadaniu można sformułować – w jakim czasie wskazówka minutowa zakreśli
ten kąt?
1° - kąt jaki zakreśla wskazówka minutowa w ciągu 10s (3600s odpowiada 360°)
2
9
9
s
98 ⋅ 10 s = 981 s =16 min 21
11
11
11
Odpowiedź: Po 16 min 21 s.
15
Zadanie 3.
W kolejnych etapach przelewamy z jednego naczynia większego do innego mniejszego do
pełnej zawartości mniejszego a z naczynia mniejszego do większego pełną zawartość
mniejszego. Zadanie ma wiele rozwiązań. Przykładowe rozwiązania uwzględniające kolejne
etapy przelewania przedstawiono poniżej:
Naczynie I
24
19
19
14
Naczynie II o poj. 11
0
0
5
5
Naczynie III o poj. 5
0
5
0
5
sytuacja wyjściowa
przelano z I do III
przelano z III do II
przelano z I do III
Naczynie II o poj. 11
0
11
6
6
1
0
5
5
Naczynie III o poj. 5
0
0
5
0
5
5
0
5
sytuacja wyjściowa
przelano z I do II
przelano z II do III
przelano z III do I
przelano z II do III
przelano z II do I
przelano z III do II
przelano z I do III
lub
Naczynie I
24
13
13
18
18
19
19
14
Zadanie 4.
Jeśli n oznaczymy początkową liczbę monet siódmego gracza, to pierwszy posiadał
początkowo n +6 monet.
W pierwszej turze przekazywania sobie monet (każdy z graczy przyjmie i przekaże monety
jeden raz ) każdy gracz, oprócz pierwszego, będzie miał o 1 zł mniej niż na początku.
(przekazuje o jedną monetę więcej niż otrzymał, siódmy gracz przekaże pierwszemu 7 zł i to
kończy turę).
Druga tura spowoduje, że każdy z graczy, oprócz pierwszego, będzie miał o 2 zł mniej niż na
początku (ostatni przekazuje pierwszemu 2 ⋅ 7 zł) itd.
Tak więc po n turach ostatni gracz (siódmy) będzie posiadał 0 zł, ale przekaże przedtem n ⋅ 7
zł graczowi pierwszemu.
Następna n +1 tura będzie ostatnia (niepełna), gdyż siódmy gracz nie będzie mógł jej
dokończyć (nie będzie mógł wykonać ruchu zgodnie z warunkami gry bo ma wtedy o jedną
monetę za mało).
Siódmy gracz posiada w tym samym czasie (n + 1) ⋅ 7 − 1 monet i jest to – z treści zadania – 4
razy więcej niż posiada pierwszy gracz. Pierwszy w tym samym momencie ma
(n + 6) – (n + 1), więc można napisać równanie:
16
(n + 1) ⋅ 7 − 1 = 4 ⋅ ((n + 6) − (n + 1) )
7 n + 7 − 1 = 20
n=2
Odpowiedź: Kolejni gracze od pierwszego do siódmego mieli na początku gry odpowiednio
po 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 monety.
Zadanie 5.
Przykład rozwiązania graficznego z podziałem kwadratu na 16 kwadratów jednostkowych
D
G
C
H
F
K
A
E
B
W podziale widać, że szukane łączne pole czworokątów (zaznaczone szarym tłem) składa się
z pól składowych:
- całe pola kwadratów jednostkowych - pole wynosi 4,
- połowy pól kwadratów jednostkowych - pole wynosi 1,
- połowy prostokątów 1x3 – pole wynosi 3
Łączne pole wskazanych czworokątów wynosi 8.
Odpowiedź Pole czworokątów zajmuje część całego kwadratu 8/16 = 0,5=50%
17