Analiza matematyczna, zad. 5

Analiza matematyzna, zad. 5
8 listopada 2005
1. Korzystaj¡ z deniji zbada¢ ró»nizkowalno±¢ podanyh funkji w punktah
(a) f (x, y) = x2 − y 2, (x0 , y0) = (1, −2);
(
√ xy
dla (x, y) 6= (0, 0),
x2 +y 2
(b) f (x, y) =
(x0 , y0) = (0, 0).
dla (x, y) = (0, 0),
0
2. Napisa¢ równanie pªaszzyzny styznej do wykresu funkji we wskazanym punkie (nale»¡ym do wykresu funkji)
√
√
(a) z = 9 − x2 − y 2, (x0 , y0, z0 ) = ( 2, − 3, 2);
(b) z = y · ln(2 + x2 y − y 2), (x0 , y0, z0 ) = (2, 1, z0 ).
p
3. Pokaza¢, »e je»eli zterokrotnie ró»nizkowalna funkja f : R2 → R dla pewnyh wspóªzynników A, B, C ∈ R speªnia równanie
∂2f
∂2f
∂2f
+
B
·
+
C
·
= 0,
∂x2
∂x∂y
∂y 2
A·
to funkje
∂f
∂x
i
∂f
∂y
równie» speªniaj¡ to równanie.
4. Sprawdzi¢, »e funkja f (x, y) = |xy| jest i¡gªa w punkie (0, 0), ma w punkie (0, 0)
pohodne z¡stkowe, ale nie jest ró»nizkowalna w punkie (0, 0). Czy pohodne z¡stkowe
f s¡ i¡gªe w (0, 0)?
p
5. Sprawdzi¢, »e funkja
f (x, y) =
x · sin 4 · arctan xy
0
je±li x 6= 0;
je±li x = 0,
jest i¡gªa w pewnym otozeniu punktu (0, 0), pohodne z¡stkowe f s¡ ogranizone i i¡gªe
ze wzgldu na ka»d¡ ze zmiennyh, ale f nie jest ró»nizkowalna w (0, 0).
6. Sprawdzi¢, »e funkja
f (x, y) =
1
(x + y)2 · sin x2 +y
je±li x2 + y 2 6= 0,
2
je±li (x, y) = (0, 0),
0
1
je±li x2 + y 2 6= 0,
(x2 + y 2) · sin x2 +y
2
0
je±li (x, y) = (0, 0),
ma niei¡gªe pohodne z¡stkowe w punkie (0, 0), ale jest ró»nizkowalna.
7. Sprawdzi¢, »e funkja
f (x, y) =
ma pohodne z¡stkowe które nie s¡ ogranizone w »adnym otozeniu punktu (0, 0), ale jest
ró»nizkowalna.
1
8. Pokaza¢, »e je»eli f, g s¡ funkjami ró»nizkowalnymi o warto±iah rzezywistyh okre±lonymi na Rn , to
▽f
1
= 2.
▽ (f · g) = f · ▽g + g · ▽f i ▽
f
f
9. Funkja f : R3 → R jest jednorodna stopnia m je»eli dla dowolnyh x, y, z ∈ R i t > 0
zahodzi
f (tx, ty, tz) = tm · f (x, y, z).
Sprawdzi¢, »e je»eli funkja f jest jednorodna i ró»nizkowalna, to dla dowolnyh x, y, z ∈ R
x·
∂f
∂f
∂f
(x, y, z) + y ·
(x, y, z) + z ·
(x, y, z) = m · f (x, y, z).
∂x
∂y
∂z
Wskazówka: zbada¢ pohodn¡ funkji f (tx, ty, tz) ze wzgldu na zmienn¡ t.
10. Sprawdzi¢, »e je»eli funkja f : R3 → R jest ró»nizkowalna i istnieje takie m, »e
x·
∂f
∂f
∂f
(x, y, z) + y ·
(x, y, z) + z ·
(x, y, z) = m · f (x, y, z)
∂x
∂y
∂z
dla dowolnyh x, y, z ∈ R, to f jest jednorodna stopnia m.
Wskazówka: pokaza¢, »e funkja tm · f ( xt , yt , zt ) jest staªa ze wzgldu na t.
11. Sprawdzi¢, »e je»eli f jest ró»nizkowaln¡ funkj¡ jednorodn¡, stopnia m, to jej pohodne
z¡stkowe s¡ funkjami jednorodnymi stopnia m − 1.
2