Linie pierwiastkowe

PRZYKŁAD 1
(LINIE PIERWIASTKOWE)
Transmitancja operatorowa otwartego układu regulacji z jednostkowym ujemnym
sprzęŜeniem zwrotnym dana jest wzorem:
GO = K ⋅
1
s ( s + 2)( s + 5)
a) Podaj obraz linii pierwiastkowych układu zamkniętego.
b) Określ krytyczne wzmocnienie K, przy którym układ zamknięty znajduje się na granicy
stabilności oraz podaj odpowiadającą temu pulsację drgań nietłumionych.
Rozwiązanie
Niech:
m oznacza liczbę skończonych zer transmitancji układu otwartego G0(s) ,
n oznacza liczbę jej biegunów.
Dla rozwaŜanej transmitancji G0(s) zachodzi: m = 0 oraz n = 3.
Biegunami G0(s) są liczby: p1=−5 , p2 =−2 , p3 = 0 .
Liczba asymptot, do których dąŜą linie pierwiastkowe wynosi n−m=3.
Kąty między asymptotami mają wartość: 2*180o/3=120o.
Kąty między asymptotami a osią rzeczywistą są równe ± 60o , 180o .
Odcięta σ a punktu na osi rzeczywistej, z którego wychodzą asymptoty:
n
σa =
∑p
i =1
n
i
= −2.333 .
Wspólną część linii pierwiastkowych oraz rzeczywistej osi płaszczyzny zespolonej stanowi
prawostronnie domknięta półprosta leŜąca w lewo od bieguna p1 oraz domknięty odcinek
pomiędzy biegunami p2 i p3 .
Wynika stąd, iŜ punkt "odejścia" linii pierwiastkowych od osi rzeczywistej naleŜy do
odcinka [p2,p3].
Współrzędną punktu odejścia znajdujemy na podstawie charakterystycznego równania
układu zamkniętego, wyznaczając maksymalną wartość parametru K, dla której bieguny
układu zamkniętego są rzeczywiste.
Charakterystyczny wielomian W(s) rozwaŜanego układu ma postać
W(s)= s3+7s2+10s+K
RóŜniczkując otrzymujemy:
W(s)= 3s2+14s+10
o następujących pierwiastkach:
s1 =−0.8804 oraz s2 =−3.7863.
1
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
Tylko pierwszy z nich wyznacza szukany punkt odejścia: sd = s1 .
Zachodzi bowiem s1=[p2,p3].
Podstawiając s = sd w równaniu W(s) = 0 , otrzymujemy odpowiadającą temu
punktowi wartość Kd wzmocnienia K :
Kd = 4.0607
Krytyczną wartość wzmocnienia KKR , przy której układ zamknięty osiąga granicę
stabilności, obliczyć moŜna na podstawie równania charakterystycznego W(s) = 0 , kładąc s =
jw.
Postępując w ten sposób, uzyskujemy równanie
jωn (10 − ωn2 ) − 7ωn2 + K KR = 0
(1)
w którym ωn oznacza pulsację odpowiednich drgań nietłumionych.
Przyrównując do zera urojoną część wyraŜenia po lewej stronie tego równania, otrzymujemy:
ω n = 10
rad
.
s
Z kolei, po podstawieniu pulsacji ωn do równania (1), uzyskujemy równanie, ,z
którego wyznaczamy krytyczną wartość wzmocnienia:
KKR.= 70
Tak uzyskany obraz linii pierwiastkowych pokazano na poniŜszym rysunku:
2
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
PRZYKŁAD 2
(LINIE PIERWIASTKOWE)
Rozpatrzymy układ ze sprzęŜeniem zwrotnym
E(s)
W(s)
Regulator
U(s)
Kp
Obiekt
Y(s)
Go(s)
–
Transmitancja obiektu ma postać
G0 ( s ) =
K0
s ( s + 1)
Wyznaczyć połoŜenie pierwiastków układu zamkniętego ze względu na Kp.
Rozwiązanie
Wykorzystując przyjęte wcześniej formy zapisu
m=0
b(s)=1
K0=1
n=2
a(s)=s2+s
pi = 0, -1
K = Kp
Charakterystyka połoŜenia pierwiastków jest graficznym przedstawieniem pierwiastków
równania:
a ( s ) + Kb ( s ) = 0
czyli:
s2 + s + K = 0
Rozwiązania mają postać:
1
1 − 4K
s1 , s2 = − ±
2
2
3
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
Szkic połoŜenia pierwiastków
1
pierwiastki przyjmują wartości rzeczywiste z przedziału (-1,0).
4
1
1
Dla K = istnieją dwa pierwiastki o wartościach równych −
4
2
1
1
Dla K > pierwiastki są liczbami zespolonymi, których część rzeczywista ma wartość − ,
4
2
natomiast część urojona wzrasta proporcjonalnie do K .
Dla 0 ≤ K ≤
Zmieniając wartość K moŜemy umiejscowić bieguny układu zamkniętego w dowolnych
punktach naleŜących do charakterystyki pierwiastków.
4
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
PRZYKŁAD 3
(LINIE PIERWIASTKOWE)
RozwaŜmy transmitancję:
GO = K ⋅
s +1
s ( s + 4)( s 2 + 2 s + 2)
które odpowiada równaniu charakterystycznemu
W(s)=s(s + 4)(s2 + 2s + 2)+ K(s +1)= 0
Rozwiązanie
Konfiguracja zero-biegunowa pokazana jest na rysunku 4. Korzystając z poznanych
własności linii pierwiastkowych, kiedy w równaniu charakterystycznym K zmienia się od −∞
do +∞ , wówczas:
1. K = 0: Punkty na linii pierwiastkowej w których K = 0 są biegunami transmitancji
G(s)H(s): s = 0, s=−4, s=−1+j oraz s=−1−j.
2. K = ± ∞: Punkty na linii pierwiastkowej w których K = ± ∞ są zerami transmitancji
G(s)H(s): s = −1, s = ∞, s = ∞ oraz s = ∞.
3. Z równania charakterystycznego widać, Ŝe będą cztery linie pierwiastkowe, gdyŜ równanie
to jest czwartego rzędu.
4. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych.
5. PoniewaŜ liczba biegunów transmitancji G(s)H(s) jest większa od liczby zer transmitancji
G(s)H(s) i róŜnica ta wynosi trzy ( n − m = 4 − 1 = 3 ), czyli kiedy K = ± ∞, wówczas
linie pierwiastkowe zmierzają przy s = ∞ wzdłuŜ sześciu asymptot. Kąty asymptot przy
K ≥ 0 są wyznaczane z równania
2i + 1
Θi =
⋅ 180 0 , n ≠ m
n−m
gdzie i = 0, 1, 2, ..., n − m -1;
180 0
= 60 0
3
540 0
i = 1 ⇒ Θ1 =
= 180 0
3
900 0
i = 2 ⇒ Θ2 =
= 300 0
3
i = 0 ⇒ Θ0 =
Kąty asymptot przy K ≤ 0 są wyznaczane z równania:
Θi =
2i
⋅ 180 0 , n ≠ m
n−m
gdzie i = 0, 1, 2, ..., n − m -1; wynoszą odpowiednio: 0o , 120o oraz 240o .
5
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
6. Kąty przecięcia asymptot wyznaczane są ze wzoru
n
m
∑ p −∑z
σa =
i =1
i
j =1
j
n−m
,gdzie
pi – bieguny transmitancji G(s)H(s)
zj - zera transmitancji G(s)H(s)
σ1 =
(−4 − 1 − 1) − (−1)
4 −1
Asymptoty linii pierwiastkowych pokazane są na rysunku 4.
Rys. 4
6
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]