Przykład 6.5.

Przykład 6.5. Wyznaczanie reakcji dynamicznych belki
Ruch belki rozpoczyna się bez prędkości
początkowej z położenia jak na rysunku. Masa
belki wynosi m.
m
Określić reakcje w podporze nieprzesuwnej A
w chwili bezpośrednio po odcięciu cięgna.
A
4h
Rozwiązanie
Po uwolnieniu z więzów na belkę działa następujący układ sił
RAx
A
RAy
2h
y
aCy
C
G=mg
C aCx
A
2h
x
Do wyznaczenia reakcji wykorzystamy równania dynamiczne ruchu płaskiego bryły
sztywnej.
W zapisie wektorowym równanie ruchu środka masy ma postać:
maC  G  RA .,
i jest równoważne dwóm równaniom algebraicznym
m aCx = RAx
m aCy = RAy – G .
(1)
Równanie ruchu obrotowego względem punktu C – środka masy ma postać
Jzc ε = RAy 2h. .
(2)
Jzc oznacza moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek masy C
i wynosi Jzc = 1/12 m(4h)2 = 4/3 mh2.
Po odcięciu cięgna belka zaczyna poruszać się bez prędkości początkowej ruchem obrotowym
wokół stałego środka obrotu – podpory A. Ruch obrotowy jest szczególnym przypadkiem
ruchu płaskiego. Składowe przyśpieszenia punktu C przedstawione są jako składowe:
dośrodkowa i styczna (rysunek poniżej).
ω ε
aCn C
A
2h
aCτ
W chwili początkowej wynoszą one:
aCn = 0, (ponieważ ω = 0 )
aCτ = ε 2h.
Składowe aCx i aCy występujące w równaniach ruchu (1) wynoszą zatem
aCx = – aCn = 0
aCy = –aCτ = – 2εh
Podstawiając wartość momentu bezwładności Jzc i wykorzystując układ równań (1)
otrzymujemy:
0 = RAx
– 2mh ε = RAy – mg
4/3 mh2 ε = RAy 2h
Rozwiązaniem powyższego układu są reakcje RAx = 0, RAy = ¼ m g.
Rzeczywiste zwroty reakcji i ich wartości przedstawione są na rysunku poniżej.
RAx= 0 A
RAy = ¼ mg
G=mg
Uwaga
Zadanie to można również rozwiązać wykorzystując równanie ruchu obrotowego względem
stałego środka – podpory A. Ma ono postać
JzA ε = mg 2h
(2*)
gdzie JzA oznacza moment bezwładności belki względem osi z prostopadłej do płaszczyzny
ruchu w punkcie A. Jego wartość można obliczyć wykorzystując twierdzenie Steinera
o zmianie momentu bezwładności przy przesunięciu osi z środka masy: JzA = Jzc + m(2h)2.
Ostatecznie
JzA = 16/12mh2 +4mh2 = 16/3 mh2.
Przyspieszenie kątowe wyznaczone z równania (2*) wynosi
ε = mg ∙2h/JzA = 3g/8h.
Składowe reakcji w podporze A wyznaczone z układu równań (1) wynoszą
RAx = – m aCn = 0
RAy = – m aCτ + mg = – 3/4m g + m g = ¼ m g.
Rozwiązanie jest, oczywiście, identyczne z otrzymanym poprzednio.
2