Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w

Przykład 1
Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy
Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
R o z w i ą z a n i e.
Wektor główny układu sił jest równy
Moment główny układu wynosi
Przykład 2
Nieważka belka AB = 4l została obciążona trzema siłami równoległymi P1, P2, P3
prostopadłymi do belki. Znaleźć reakcje stałej podpory przegubowej w punkcie A i
podpory przegubowej przesuwnej w punkcie B. Dane liczbowe: P1 = 100 N, P2 = 300
N, P3 = 400 N, l = 1 m.
R o z w i ą z a n i e.
Reakcje w podporach A i B maja kierunek pionowy. Na belkę działa układ pięciu sił
równoległych P1, P2, P3, RA i RB. Dwie niewiadome reakcje RA i RB wyznacza się z
dwóch równań równowagi
Stąd
Przykład 3
Nieważka belka AB = 3l jest zamocowana w punkcie A na stałej podporze
przegubowej, a w punkcie B na podporze przegubowej przesuwnej. Obciążenie belki
stanowią siły P1 = 300 N i P2 = 400 N, a kąt α = 30º. Obliczyć reakcje w punktach
podparcia A i B.
R o z w i ą z a n i e.
Kierunek reakcji RA w stałej podporze przegubowej A nie jest znany, wiadomo tylko,
że linia działania tej siły przechodzi przez środek przegubu A. Reakcję tę rozkłada się
na dwie składowe wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych Axy. Składowe
reakcji RA zostały oznaczone przez RAx i RAy. Zatem, belka jest obciążona dwoma
siłami zewnętrznymi P1 i P2 oraz trzema reakcjami więzów RAx, RAy i RB. Wartości tych
reakcji wyznacza się z trzech równań równowagi
Z rozwiązania powyższego układu trzech równań z trzema niewiadomymi otrzymamy
Reakcja RB jest ujemna, stąd jej kierunek jest przeciwny niż założono na rysunku.
Wartość reakcji RA oblicza się ze wzoru
Przykład 4
Nieważka rama płaska została zamocowana na stałej podporze przegubowej w
punkcie A i podporze przegubowej przesuwnej w punkcie B. Obciążenie zewnętrzne
ramy stanowią siły P i siła 2P. Obliczyć reakcje podpór RA i RB, jeżeli P = 1000 N, l =
0,5 m.
R o z w i ą z a n i e.
Rama jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i reakcjami RA i RB. Ponieważ
kierunek reakcji RA jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie składowe RAx, RAy.
Niewiadome reakcje wyznacza się z trzech równań równowagi ramy
Stąd
Przykład 5
Obliczyć reakcje podpór A i B w belce pokazanej na rysunku. Obciążenie zewnętrzne
stanowią dwie siły P1 = 200 N, P2 = 100 N i moment M = 200 N · m. Pozostałe dane
liczbowe wynoszą: l = 1 m,
α = 45º, β = 30º.
R o z w i ą z a n i e.
Belka jest obciążona dwiema siłami zewnętrznymi P1, P2, momentem M oraz
reakcjami RA i RB. Ponieważ kierunek reakcji RA jest nie znany, dlatego rozkłada się
ją na dwie składowe RAx, RAy. Niewiadome reakcje wyznacza się z trzech równań
równowagi
Stąd
Reakcje RAx, RAy są ujemne, stąd ich kierunek jest przeciwny do założonego. Wartość
reakcji RA wynosi
Przykład 6
Jednorodna pozioma belka AB o ciężarze równym G jest oparta końcem A na stałej
podporze przegubowej oraz końcem B na gładkiej równi pochyłej. W punktach D i E
do belki przyłożone są siły P1, P2. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B. Dane
liczbowe:
P1 = 100 N, P2 = 800 N, G = 200 N, α = 45º, β = 60º, l = 4 m.
R o z w i ą z a n i e.
Oddziaływanie równi na koniec belki B, czyli reakcja RB więzów będzie prostopadła
do płaszczyzny tej równi. Wynika to z faktu, że siła tarcia między płaszczyznami
równi i belki równa się zeru. Kierunek reakcji RA w przegubie A nie jest znany,
wiadomo tylko, że linia działania tej siły przechodzi przez środek przegubu, tj. przez
punkt A. Reakcję tę rozkładamy na dwie składowe RAx, RAy wzdłuż osi prostokątnego
układu współrzędnych Axy. Tak więc belka jest obciążona trzema siłami
zewnętrznymi i trzema reakcjami. Wyznaczamy wartości tych reakcji z trzech równań
równowagi
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy
Stąd
Przykład 7
Po belce podsuwnicowej AB porusza się suwnica, której wózek, składający się z
dwóch kół tocznych, oddziałuje na belkę siłami P1, P2. W jakiej odległości x od punktu
A powinien wózek się zatrzymać, aby reakcja w punkcie B była dwukrotnie mniejsza
od reakcji w punkcie A ? Dane liczbowe: P1 = 4000 N i P2 = 2000 N, b = 1 m, l = 10 m.
R o z w i ą z a n i e.
Ponieważ siły P1, P2, działające na belkę, są pionowe oraz reakcja RB ma kierunek
pionowe, również reakcja RA ma kierunek pionowy. Piszemy dwa równania
równowagi
Po rozwiązaniu tego układu równań, przy założeniu, że RB = 0,5RA, otrzymujemy
Przykład 8
Wyznaczyć reakcje podpory przegubowej stałej A i dwóch podpór przegubowych
przesuwnych B i D oraz wzajemne oddziaływanie w przegubie C obydwu części belki
ABCD. Dane liczbowe: P1 = 1000 N,
P2 = 2000 N, α = 30º, l = 1 m.
R o z w i ą z a n i e.
W celu wyznaczenia reakcji RA, RB, RC i RD rozważymy równowagę obu części belki.
Równania równowagi lewej części belki mają postać
Równania równowagi prawej części belki
Otrzymaliśmy układ sześciu równań równowagi z sześcioma niewiadomymi. Po
rozwiązaniu tego układu otrzymujemy
Reakcje RA i RC wynoszą
Przykład 9
Dźwig o ciężarze własnym G = 5P, obciążony na wysięgniku siłą P, zainstalowano na
torze jezdnym AB. Obliczyć reakcje kół dźwigu, reakcje utwierdzenia całkowitego w
punkcie A i podpory przegubowej przesuwnej w punkcie B oraz reakcję w przegubie
E, jeżeli AE = 4a,
BE = 8a, CE = DE = a.
R o z w i ą z a n i e.
Reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A sprowadzają się do reakcji RA o nie
znanym kierunku oraz momentu utwierdzenia MA. W podporze przegubowej
przesuwnej w punkcie B i podporach kół dźwigu w punkcie C i D występują reakcje o
kierunku pionowym, prostopadle do płaszczyzny poziomej (przesuwu). Reakcja
przegubu E sprowadza się do siły o nie znanym kierunku działania, przechodzącej
przez oś tego przegubu. Z dwóch równań równowagi dźwigu (rys. b) wyznaczamy
reakcje RC i RD podpór jego kół
Stąd
Równania równowagi dwóch części belki AB, zgodnie z rys. d są następujące:
•
część belki BE
•
część belki AB
Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy