Wykład 4. Uchyb ustalony regulacji

1
2
Wykład 4. Uchyb ustalony regulacji
Jak można było zauważyć na podstawie ostatniego wykładu, odpowiedź asymptotycznie stabilnego układu liniowego ze sprzężeniem zwrotnym od wyjścia transmitancji
jest uzależniona od części ustalonej odpowiedzi o wymuszeniu (sygnale sterującym) stałym w czasie.
Powiedzieliśmy, że w czasie trwania odpowiedzi skokowej układu składowa
przejściowa zanika, dlatego pozostała składowa ustalona odpowiedzi wpływa na wartość ustaloną mierzoną na wyjściu obiektu regulacji . Jeśli zmierzona wartość
ustalona jest inna niż wartość zadana na wejściu do układu, to w wyniku porównania
amplitud tych sygnałów otrzymujemy wartość różną od zera. Wartość tę nazywa się
uchybem regulacji, a jeśli wynika ona z różnicy pomiędzy wartością zadaną (sterującą)
a wartością zmierzoną na wyjściu układu znajdującego się w stanie ustalonym (asymptotycznie stabilnym), to nazywamy ją uchybem ustalonym regulacji.
Zatem, definiując uproszczone zagadnienie sterowania liniowego odwołamy się
do rysunku 1 z drugiego wykładu w nieco zmienionej postaci.
1
Rysunek 1. Obiekt regulacji o transmitancji włączonej na linii toru głównego
układu z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym z zaznaczeniem uchybu regulacji na wyjściu sumatora. Pozostałe symbole oznaczają transformaty Laplace’a sygnału sterującego (zadanego) i sygnału wyjściowego .
Jeśli w pokazanym na rysunku 1 układzie pojawia się uchyb ustalony, to problemem do rozwiązania jest zaprojektowanie odpowiedniego sterownika – lub też dobranie odpowiedniego elementu znajdującego się na linii sprzężenia zwrotnego (tutaj
dla przykładu, czujnik pomiarowy), który dla określonego zakresu wartości sterujących
sprowadzi uchyb ustalony do zera. Czasami w celu możliwie największej minimalizacji uchybu ustalonego regulacji stosuje się na linii sprzężenia zwrotnego układu
z rysunku 1 człony dynamiczne (np. , lub ), wtedy P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
3
. Uchyb regulacji w stanie ustalonym powinien zbiegać do zera w odpowiednio krótkim czasie.
Na podstawie schematu liniowego układu sterowania (rysunek 1) można zapisać:
(4.1)
Aby znaleźć uchyb ustalony, a więc rozwiązanie lim można zastosować twierdzenie o wartości końcowej funkcji danej w postaci transformaty Laplace’a. Wykorzystując równanie (4.1) zapiszemy:
lim lim lim! "# lim! $
%.
(4.2)
Równanie (4.2) można użyć do oszacowania postaci elementu dynamicznego (o
transmitancji ) umieszczonego na linii toru sprzężenia zwrotnego w taki sposób,
aby sprowadzić uchyb ustalony do zera dla różnych postaci sygnałów wejściowych, tj.
sygnał skokowy czy czasowo-liniowy.
4
Definicja. Postać układu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym jest uwarunkowana
liczbą biegunów funkcji przejścia otwartego układu sterowania umiejscowionych w
środku układu współrzędnych zmiennej zespolonej s. Z transmitancji układu otwartego
) *
+, …+. / 0, 01 …2034/ 5
.
(4.3)
Tę definicję stosowaliśmy już wcześniej przy szacowaniu liczby zer licznika i mianownika funkcji przejścia zamkniętego układu sterowania na potrzeby wykreślania linii pierwiastkowych. Poniżej rozpatrzymy dwa rodzaje funkcji wejściowej .
4.1.
Wejście w postaci funkcji skokowej ' & 8 1
Celem sterowania jest spowodowanie, aby układ pokazany
na rysunku 1 osiągnął możliwie dokładnie wartość sterującą daną w postaci funkcji skokowej (rysunek 2). Oznacza
to, że składowa ustalona 9 odpowiedzi tego układu ma
zbiegać do wartości stałej 9: ' & 8 1, gdzie
& 1 jest amplitudą wymuszenia skokowego. Przyjmując,
że ' , otrzymujemy na podstawie wzoru
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
np. czujnik pomiarowy
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
obiekt regulacji
'
&
0
Rysunek 2. Funkcja skokowa.
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
5
6
(4.2) jak następuje:
lim<! "# lim! $
8 %
=>?@A "#
BC
,
(4.4)
gdzie *0 jest stałą położenia ustalonego i na podstawie wzoru (4.4) dane zależnością
*0 lim! "#.
(4.5)
Widać zatem, że dla zapewnienia zerowej wartości uchybu ustalonego (gdy na
wejściu do układu jest zadany sygnał sterujący o charakterze skokowym) potrzeba,
aby *0 ∞. Podstawiając zależność (4.3) do (4.5) widać, że jest to równoważne warunkowi E F 1 (w odniesieniu do podanej definicji).
4.2.
Wejście w postaci funkcji czasowo-liniowej ' G 8 Celem sterowania jest spowodowanie, aby układ pokazany
na rysunku 1 podążał możliwie dokładnie za wartością sterującą daną w postaci funkcji czasowo-liniowej (rysunek 3).
Oznacza to, że składowa ustalona 9 odpowiedzi rozważanego układu ma podążać za wartością ' G 8 , gdzie
dla przykładu G tan ; 1 jest współczynnikiem kierun-
'
;
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
V<
W<
0
!
gdzie *O lim! "# jest stałą prędkości ustalonej.
<1 Y, <YA
(4.6)
Analogicznie jak w punkcie 4.1, dla zapewnienia zerowej wartości uchybu ustalonego (gdy na wejściu do układu jest zadany sygnał sterujący o charakterze czasowoliniowym) potrzeba, aby *O ∞. Podstawiając zależność (4.3) do (4.6) widać, że jest
to równoważne warunkowi E F 2 (w odniesieniu do podanej definicji). Tą samą metodykę można zastosować do określenia warunku na zerowy uchyb ustalony, gdy na
wejściu do układu z rysunku 1 jest wprowadzony sygnał wejściowy (próbny) wyższego
rzędu, np. sygnał czasowo-paraboliczny.
Przykład 1. Zbadajmy odpowiedź na sygnał skokowy ' 1 pewnego układ dynamicznego, opisanego następującym równaniem różniczkowym:
QR L S QT L S! Q 9T L U! 9.
Stosując transformatę Laplace’a otrzymuje się następującą funkcję przejścia:
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Rysunek 3. Funkcja czasowoliniowa.
7
XA
kowym prostej. Przyjmując, że ' 1 , otrzymujemy na podstawie wzo
ru (4.2) jak następuje:
1
1
1
lim"# lim K
8 MN <!
! 1 L lim" L # *O
8
,
a na podstawie wzoru (4.5) stała położenia ustalonego (przy 1) wynosi:
*0 lim! "# lim! $
XA
<1 Y, <YA
%
ZA
[A
.
Zatem na podstawie powyższego oraz wzoru (4.4) uchyb ustalony wynosi
lim! $
8 %
=>?@A "#
BC
\
A
]A
[A
[A ZA
.
Skoro odpowiedź 9 układu zamkniętego (patrz rysunek 1) charakteryzuje się
uchybem ustalonym (niezależnym od S ), to zbiegnie się ona do wartości:
9: 1 1 [A
[A ZA
ZA
[A ZA
.
Połóżmy zatem S! 2, S 3 i U! 6. Wybranym wartościom parametrów odpowiada 9: 0.75. Jest to prawdą, ponieważ dla wybranego zestawu parametrów
przykładowego układu uchyb ustalony ryczne tego zadania pokazano na rysunku 4.
[A
[A ZA
M
Md
0.25. Rozwiązanie nume-
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Rysunek 4. Rozwiązanie numeryczne odpowiedzi
skokowej układu z przykładu 1.
4.3.
Układ regulacji z zakłóceniem ef działającym na wejściu
do obiektu regulacji
Na wejściu do obiektu może pojawić się zakłócenie, które wpływać będzie na odpowiedzi przejściową i ustaloną. W związku z tym można spróbować określić zależności
na uchyb regulacji w odniesieniu do pojawiającego się zakłócenia.
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
9
regulator
p
q r
obiekt regulacji
0 + p L g r,
10
(4.9)
gdzie + jest transmitancją zamkniętego układu sterowania wyznaczoną ze wzoru
(4.7) przy r 0.
Na podstawie schematu z rysunku 5 uchybu regulacji p w funkcji wymuszenia p i zakłócenia r obliczamy (również na podstawie wyżej
podanych zależności) jak następuje:
• podstawiamy ls
do wzoru (4.7);
• p + p L g r;
• 21
+ 5p uuuvuuuuw;
tu
g r
tuuuuuuvuuuuuuw
msy msx Transmitancję zakłóceniową (zerując wymuszenie) można określić według wzoru:
g h
i
k
j lm!
C n C C o ,
(4.8)
gdzie ) oznacza transmitancję układu otwartego. Na podstawie wzorów (4.7)
i (4.8):
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
p
n
C tuuuuvuuuuw
o @
C 11
n C tuuuuvuuuuw
r o @
{ L g .
o sx k
l jm!
o ,
z+ h
sy p k
j lm!
C o r C o .
(4.11)
Jak należało oczekiwać, na wartość uchybu obliczoną za pierwszym sumatorem
(pierwszy od lewej na rysunku 5) wpływa suma sygnałów uchybu wymuszeniowego
i zakłóceniowego:
{ L + z{ p L z+ r.
4.4.
(4.12)
Układ regulacji z zakłóceniem ef działającym na wyjściu
obiektu regulacji
Tą część rozważań prześledzimy na podstawie przykładu ćwiczeniowego załączonego
w osobnym pliku.
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
|1 n C } p n C n C C n C ~ p C n C n C r |
r P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
(4.10)
h
Na podstawie wzoru (4.10) oraz, że |jm! p definiuje
się transmitancję uchybową wymuszeniową z{ i zakłóceniową z+ :
z{ h
• podstawiamy wzory na + i g ;
• wyznaczamy transmitancje uchybową wymuszeniową z{ i uchybową zakłóceniową z+ .
n C n C