( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

D:\_AND\001\PR_NAUK\2003\90_DOWODY\z_0046.doc
Nazwisko
Zadanie: 0
Imię
0
4
2004-sty-01, 22:52
Rok, kierunek
Data (rrrr-mm-dd)
Kod zestawu:
6
Zadanie 0046 (twierdzenie o granicy złożenia funkcji ciągłej i funkcji posiadającej granicę)
Postać słowna
Postać symboliczna
Niech X , Y , Z będą dowolnymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych.
∀ a ∈Y , x ∈ R
Niech a ∈ Y , x ∈ R i niech f będzie funkcją ze zbioru X w
zbiór Y zaś g będzie funkcją ze zbioru Y w zbiór Z ciągłą
w punkcie a . Jeśli a jest granicą funkcji f w punkcie
g (a ) jest granicą złożenia g o f w punkcie x .
∀ f ∈ FUN ( X , Y )
∀ g ∈ Ca (Y , Z )
LIM ( x, f , a ) ⇒ LIM( x, g o f , g (a ))
x , to
∀ ε>0
Dowód:
1)
∃
:
a)
b)
iii)
;
(W1)
;
OZNACZMY (W2) LIM ( x, f , a ) ,
(W3) LIM ( x, g o f , g (a )) ;
2)
iv)
: (W4)
b)
c)
OZNACZMY (W9) x − y ≤ δ ,
(W10) g (a ) − g o f ( y ) ≤ ε ;
:
: (W5)
ii)
O WŁASNOŚCIACH
(W6)
;
d)
;
i)
;
;
v) OKREŚLAMY δ := δ 2 ;
;
USTALMY
∀ y∈X ;
 x− y ≤δ 


 a − f (y) ≤ ε


O WŁASNOŚCIACH
(W8)
:
a)
: (W7)
δ>0
e)
:
i)
ii)
Koniec dowodu
(W11)
;