1 Przekształcenia wyrażeń algebraicznych, wzory skró

Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
Oznaczenia:
N = {1, 2, 3, . . .}
Z = {0,
( ±1, ±2, ±3, . . .} )
p
Q=
: p, q ∈ Z ∧ q 6= 0
q
R = zbiór liczb rzeczywistych.
Katedra Matematyki
Natural
Zahl
Quotient
N Z
Q
R
Real
N⊂Z⊂Q⊂R
1
Przekształcenia wyrażeń algebraicznych, wzory skróconego mnożenia.
Definicja 1. Wyrażeniem algebraicznym nazywamy jedną lub kilka wielkości algebraicznych:
liczb, symboli literowych, połączonych znakami działań, takimi jak dodawanie
„+”, odejmowanie
√
n
n
„−”, mnożenie „·”, dzielenie „:”, potęgowanie „(·) ”, pierwiastkowanie „ ·” itp. oraz różnego
rodzaju nawiasami. Nawiasy pozwalają ustalić kolejność wykonywania działań arytmetycznych.
√
√ 2
√
a+ b
a2 − 3
x+1
1
√ : 2 √ .
Przykłady wyrażeń algebraicznych:
,
, √
b−a
a−b
x x+x+ x x − x
Definicja 2. Tożsamość algebraiczna to taka równość dwu wyrażeń algebraicznych, że po wstawieniu dowolnych wartości liczbowych w miejsce symboli literowych równość jest prawdziwa.
Podstawowe tożsamości algebraiczne - WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA:
(a ± b)2
(a ± b)3
(a + b + c)2
a2 − b2
a3 − b3
a3 + b3
a4 − b4
an − bn
(a + b)n
a2 ± 2ab + b2
a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a − b)(a + b)
(a − b)(a2 + ab + b2 )
(a + b)(a2 − ab + b2 )
(a − b)(a + b)(a2 + b2 )
(a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ), n > 1, n ∈ N
!
!
n
X
n!
n n−k k
n
=
.
a b , gdzie n ∈ N,
=
k
k
(n − k)!k!
k=0
=
=
=
=
=
=
=
=
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Definicja 3. Przekształceniem tożsamościowym nazywamy dowolne przekształcenie danego wyrażenia algebraicznego, które produkuje wyrażenie tożsamościowo mu równe.
Przekształceniem wyrażeń algebraicznych nazywamy sprowadzenie ich do równoważnych (na ogół
prostszych) postaci, np. w celu skrócenia danego wyrażenia, usunięcia niewymierności z mianownika itp.:
√ √ √
√
2
a
a
+
b
a(a − b) − a
b
a
√
=
,
=
.
√
ab − a2
a−b
a−b
a− b
1
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
2
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Funkcje trygonometryczne.
2.1
Kąt i jego miara
Definicja 4. Części płaszczyzny ograniczone dwiema półprostymi p i q wychodzącymi ze wspólnego punktu O nazywamy kątami, przy czym kąt α jest kątem wypukłym, zaś β kątem wklęsłym.
Półproste k i l nazywamy ramionami tych kątów, a punkt O ich wierzchołkiem.
q
α
β
O
p
Miara stopniowa stosowana w geometrii oparta jest na podziale pełnego kąta na 360 równych
części, tzn. 360◦ . Dalszego podziału dokonuje się w systemie sześćdziesiątkowym, tzn. 1◦ = 60′
(minut), 1′ = 60′′ (sekund). 1
Do ilościowego opisu kąta stosuje się również tzw. miarę łukową.
Miarą łukową kąta nazywamy liczbę α będącą stosunkiem długości l łuku okręgu o środku w O,
zawartego wewnątrz kąta, do promienia okręgu r. Jednostką miary łukowej jest radian (rad)
będący miarą kąta, którego długość łuku okręgu l jest równa promieniowi okręgu.
1 rad = 57◦ 17′ 44, 8′′ = 57,2958◦
q
α=
l
α
r
O
l
r
p
Kąt, którego jedno ramię p wyróżniamy jako początkowe, a drugie q jako końcowe nazywamy
kątem skierowanym.
q
α
p
O
2.2
Kąt skierowany otrzymujemy przez obrót na płaszczyźnie półprostej wychodzącej z ustalonego punktu O. Jeżeli kierunek obrotu jest przeciwny do ruchu
wskazówek zegara, to przyjmujemy, że kąt ma miarę dodatnią, a jeżeli kierunek jest zgodny z ruchem wskazówek zegara, to kąt ma miarę ujemną.
Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego
Niech α będzie miarą dowolnego kąta skierowanego na płaszczyźnie XOY . Wówczas
1
W geodezji kąt płaski mierzy się w gradusach. Kąt pełny odpowiada 400 gradusom.
2
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
y
α
2.3
y
sin(·) : R ∋ α 7→ sin α = ,
r
x
cos(·) : R ∋ α 7→ cos α = ,
r π
y
tg(·) : R \
+ kπ : k ∈ Z ∋ α 7→ tg α = ,
2
x
x
ctg(·) : R \ {kπ : k ∈ Z} ∋ α 7→ ctg α = .
y
P (x, y)
y
r
x
x
Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego argumentu
sin2 α + cos2 α = 1
sin α
tg α =
,
cos α
cos α
ctg α =
,
sin α
tg α · ctg α = 1.
∀α∈R
∀α∈R\{ π +kπ:k∈Z}
2
∀α∈R\{kπ:
k∈Z}
∀α∈R\{ kπ :
k∈Z}
2
2.4
Funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu oraz sumy i
różnicy argumentów
sin(α ± β)
cos(α ± β)
sin 2α
cos 2α
2.5
Katedra Matematyki
=
=
=
=
sin α cos β ± cos α sin β,
cos α cos β ∓ sin α sin β,
2 sin α cos α,
cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α.
Okresowość funkcji trygonometrycznych
Funkcje sin(·) i cos(·) są funkcjami okresowymi o okresie podstawowym 2π, natomiast funkcje
tg(·) i ctg(·) są funkcjami okresowymi o okresie podstawowym π, tzn.
sin(α + 2kπ) = sin α,
tg(α + kπ) = tg α,
2.6
k ∈ Z,
k ∈ Z,
cos(α + 2kπ) = cos α, k ∈ Z,
ctg(α + kπ) = ctg α, k ∈ Z.
Parzystość funkcji trygonometrycznych
Funkcja cos(·) jest funkcją parzystą, zaś pozostałe funkcje są nieparzyste, tzn.:
cos(−α) = cos α,
sin(−α) = − sin α, tg(−α) = tg α, ctg(−α) = − ctg α.
3
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
2.7
Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach
Zakres kąta; α ∈
◦
◦
◦
◦
◦
(90 , 180
) (180
) (270
, 270
, 360 )
π
3
,π
π, 2π
π, 32 π
2
2
◦
sin α
cos α
tg α
ctg α
2.8
2.9
Katedra Matematyki
◦
(0,
90)
0, π2
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
−
+
−
−
Wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych argumentów
◦
Kąt w stopniach
Miara łukowa
0
0
sin α
cos α
tg α
ctg α
0
1
0
×
◦
45
◦
60
π
6
1
√2
3
√2
3
√3
π
√4
2
√2
2
2
π
√3
3
2
1
√2
30
3
1
1
√
◦
3
3
3
α=
90◦
π
2
1
0
×
0
180◦
π
270◦
3
π
2
360◦
2π
0
−1
0
×
−1
0
×
0
0
1
0
×
Wzory redukcyjne
β=
π
2
sin β
cos β
tg β
ctg β
−α
cos α
sin α
ctg α
tg α
π
2
+α
cos α
− sin α
− ctg α
− tg α
π−α
sin α
− cos α
− tg α
− ctg α
π+α
− sin α
− cos α
tg α
ctg α
3
π
2
−α
− cos α
− sin α
ctg α
tg α
3
π
2
+α
− cos α
sin α
− ctg α
− tg α
2π − α
− sin α
cos α
− tg α
− ctg α
2π + α
sin α
cos α
tg α
ctg α
UWAGA! Wzory redukcyjne można zapamiętać stosując dwie zasady:
ZASADA I: Ustalanie znaku, patrz 2.7.
ZASADA II: W „okolicach” π2 i 32 π funkcja zmienia się na kofunkcję (tzn. sin(·) na cos(·), cos(·)
na sin(·), tg(·) na ctg(·) i ctg(·) na tg(·)).
2.10
Wykresy funkcji trygonometrycznych
Niech x będzie argumentem funkcji trygonometrycznych. Wtedy mamy następujący opis tych
funkcji y = sin x, y = cos x, y = tg x i y = ctg x.
4
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
y
1
y
1
x
x
−1
arc(x)
−π
π
x
π
x
−1
Rysunek 1: Konstrukcja sinusoidy.
y
1
x
1
x
y
arc(x)
−π
−1
−1
Rysunek 2: Konstrukcja cosinusoidy.
1
y
y = sin x
− π2
−2π
π
2
−π
π
x
2π
−1
Rysunek 3: Wykres funkcji sin(·) (sinusoida).
1
−2π
−π
y
− π2
y = cos x
π
2
π
−1
Rysunek 4: Wykres funkcji cos(·) (cosinusoida).
5
x
2π
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
2
y
y = tg x
1
−2π
− 3π
2
−π
Katedra Matematyki
− π2
π
2
π
3π
2
x
2π
−1
−2
Rysunek 5: Wykres funkcji tg(·) (tangensoida)
y
2
y = ctg x
1
−2π
−π
− π2
π
2
π
−1
−2
Rysunek 6: Wykres funkcji ctg(·) (cotangensoida).
6
x
2π
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
3
Katedra Matematyki
Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.
Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych
ograniczonych do pewnych przedziałów. Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na całym zbiorze R nie są oczywiście
różnowartościowe, ale jeśli zawęzimy
dziedziny
do pewnych przedziałów
π π
π π
(sin : − ,
→ h−1, 1i; cos : h0, πi → h−1, 1i; tg : − ,
→ R; ctg h0, πi → R), to tak
2 2
2 2
określone funkcje będą już różnowartościowe i mają funkcje odwrotne.
π π
Definicja 5. Funkcję odwrotną do funkcji sin (sinus) obciętej do przedziału − ,
2 2
arc sin (arkus sinus). Mamy zatem
arc sin x = y ⇐⇒ sin y = x dla − 1 6 x 6 1, −
Dziedzinąfunkcjiarc sin jest przedział
π π
Rarc sin = − ,
.
2 2
1
y
nazywamy
π
π
6y6 .
2
2
Darc sin = h−1, 1i, zaś zbiorem wartości przedział
y
π
2
y = sin x
− π2
x
π
2
−π
y = arc sin x
−1
−1
x
1
− π2
Rysunek 7: Wykresy funkcji y = sin x i y = arc sin x.
Definicja 6. Funkcję odwrotną do funkcji cos (cosinus) obciętej do przedziału h0, πi nazywamy
arc cos (arkus cosinus). Mamy zatem
arc cos x = y ⇐⇒ cos y = x dla − 1 6 x 6 1, 0 6 y 6 π.
Dziedziną funkcji arc cos jest przedział
Rarc cos = h0, πi.
1
−π
− π2
y
Darc cos = h−1, 1i, zaś zbiorem wartości przedział
y
π
y = cos x
π x
π
2
π
2
y = arc cos x
−1
−1cos x.
Rysunek 8: Wykresy funkcji y = cos x i y = arc
7
1
x
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
π π
Definicja 7. Funkcję odwrotną do funkcji tg (tangens) obciętej do przedziału − ,
2 2
wamy arc tg (arkus tangens). Mamy zatem
arc tg x = y ⇐⇒ tg y = x dla x ∈ R, −
Dziedziną funkcji arc tg jest
nazy-
π
π
<y< .
2
2
π π
Rarc tg = − ,
.
2 2
Darc tg = R, zaś zbiorem wartości przedział
y
y
π
2
y = tg x
1
y = arc tg x
−π
− π2
π
2
πx
−1
x
− π2
Rysunek 9: Wykresy funkcji y = tg x i y = arc tg x.
Definicja 8. Funkcję odwrotną do funkcji ctg (cotangens) obciętej do przedziału (0, π) nazywamy arc ctg (arkus cotangens). Mamy zatem
arc ctg x = y ⇐⇒ ctg y = x dla x ∈ R, 0 < y < π.
Dziedziną funkcji arc ctg jest Darc ctg = R, zaś zbiorem wartości przedział
y
1
Rarc ctg = (0, π).
y
π
y = ctg x
y = arc ctg x
−π
− π2
π
2
πx
−1
x
Rysunek 10: Wykresy funkcji y = ctg x i y = arc ctg x.
Uwaga 9. Wykresy funkcji cyklometrycznych otrzymujemy odbijając symetrycznie względem prostej y = x wykresy funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów:
8
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
y=x
y
π
2
y=x
y
π
2
y = arc sin x
y = tg x
y = arc tg x
y = sin x
−1
x
1
x
− π2
− π2
y
π
y
π
y=x
y = arc cos x
y = arc ctg x
π
2
y=x
y = cos x
−1
1
2
3
x
x
y = ctg x
3.1
Podstawowe tożsamości z funkcjami cyklometrycznymi
π
, dla każdego x ∈ h−1, 1i.
2
π
arc tg x + arc ctg x = , dla każdego x ∈ R.
2
arc sin x + arc cos x =
9
(10)
(11)
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
4
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Wielomiany i działania na nich.
Definicja 10. Jednomianem jednej zmiennej nazywamy wyrażenie postaci axn , gdzie a jest
ustaloną liczbą rzeczywistą, zwaną współczynnikiem jednomianu, n jest liczbą naturalną, a x
jest zmienną.
Jednomianem m zmiennych nazywamy wyrażenie postaci axn1 1 xn2 2 · · · xnmm , gdzie a jest ustaloną
liczbą rzeczywistą, zwaną współczynnikiem jednomianu, n1 , n2 , . . . , nm ∈ N, a x1 , x2 , . . . , xm są
zmiennymi.
Przykłady jednomianów:√2xz, −7a, x3 y 2z.
Wyrażenia algebraiczne ab , 2 x nie są jednomianami.
Definicja 11. Wielomianem nazywamy wyrażenie będące sumą jednomianów lub jednomianem.
Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które ma postać
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,
gdzie an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 ∈ R, an 6= 0 i n ∈ N.
Liczby an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 nazywamy współczynnnikami wielomianu.
Jeżeli an = an−1 = . . . = a2 = a1 = 0 i a0 6= 0, to taki wielomian nazywamy wielomianem stałym,
a jego stopień równa się zeru.
Jeżeli an = an−1 = . . . = a2 = a1 = a0 = 0, to taki wielomian nazywamy wielomianem zerowym.
Przyjmuje się, że stopień wielomianu zerowego nie jest określony.
Uwaga 12. Funkcja liniowa f (x) = ax + b, gdzie a ∈ R \ {0}, b ∈ R, jest wielomianem stopnia
pierwszego, natomiast funkcja kwadratowa f (x) = ax2 + bx + c, gdzie a ∈ R \ {0}, b, c ∈ R, jest
wielomianem stopnia drugiego.
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są wielomianami tego samego stopnia i
mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.
Na przykład wielomiany W (x) = 2x3 + x2 − 3x + 1 i Q(x) = 1 − 3x + x2 + 2x3 są równe.
Jeżeli w wielomianie jednej zmiennej w miejsce zmiennej podstawimy ustaloną liczbę, to po
wykonaniu wskazanych działań otrzymamy wartość wielomianu dla tej liczby. W wielomianie m
zmiennych należy podstawić ciąg m liczb, aby otrzymać wartość liczbową wielomianu dla tego
ciągu.
W zbiorze wielomianów tych samych zmiennych wykonalne są następujące działania:
dodawanie, odejmowanie i mnożenie.
Aby dodać wielomian musimy dodać wyrazy podobne oraz uporządkować je.
Mnożenie wielomianów polega na wymnożeniu przez siebie wyrazów obu wielomianów.
Działania dodawania i mnożenia są działaniami przemiennymi oraz łącznymi.
Przykład 13. Niech W (x) = x2 − 1 i Q(x) = 2x3 − x2 − 1. Wtedy
W (x) + Q(x) = 2x3 − 2,
W (x) − Q(x) = −2x3 + 2x2 ,
W (x) · Q(x) = 2x5 − x4 − 2x3 + 1.
10
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Dzielenie wielomianów wykonujemy podobnie do dzielenia liczb całkowitych.
Przykład 14. Niech W (x) = x4 − 1 i P (x) = x + 1. Wtedy
W (x)
x4 − 1
=
= x3 − x2 + x − 1.
P (x)
x+1
Wielomian W jest podzielny przez wielomian P , jeżeli istnieje wielomian Q, taki że
W (x) = P (x)Q(x).
Np. wielomian x2 − 1 jest podzielny przez wielomian x + 1, gdyż x2 − 1 = (x + 1)(x − 1).
Twierdzenie 15 (Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianów). Dla każdego wielomianu W i
każdego niezerowego wielomianu P istnieją wielomiany Q i R, takie że
W = QP + R
i stopień wielomianu R jest mniejszy od stopnia wielomianu P lub wielomian R jest wielomianem
zerowym.
Wielomian R nazywamy resztą z dzielenia W przez P .
Przykład 16. Niech W (x) = x4 − x2 i P (x) = x2 − 2. Wtedy
W (x)
x4 − x2
2
= 2
= x2 + 1 + 2
P (x)
x −2
x −2
⇒
x4 − x2 = (x2 + 1)(x2 − 2) + 2.
Zatem wielomian R(x) = 2 jest resztą z dzielenia W przez P .
Jeżeli R jest wielomianem zerowym, to mówimy, że wielomian P jest dzielnikiem wielomianu W .
Wówczas otrzymujemy równość W = QP , z której wynika, że Q też jest dzielnikiem W .
4.1
Twierdzenie Bézoute’a, rozkład wielomianu na czynniki, równania, nierówności wielomianowe
Miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu W (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
nazywamy liczbę x0 ∈ R, dla której wartość wielomianu jest równa 0, tzn. W (x0 ) = 0.
Twierdzenie 17 (Twierdzenie Bézoute’a).
Liczba x0 jest miejscem zerowym wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x)
jest podzielny przez dwumian (x − x0 ).
Dowód. Załóżmy, że liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu W . Na mocy Twierdzenia o dzieleniu z resztą (patrz Twierdzenie 15) mamy W (x) = (x − x0 )Q(x) + R, gdzie Q i R są wielomianami, przy czym R jest wielomianem stałym. Podstawiając x = x0 dostajemy W (x0 ) =
(x0 − x0 )Q(x0 ) + R = R. Z założenia wiemy, że W (x0 ) = 0, zatem R ≡ 0, więc wielomian W
jest podzielny przez dwumian x − x0 .
Odwrotnie, niech W (x) = (x−x0 )P (x), gdzie P (x) jest pewnym wielomianem. Wówczas W (x0 ) =
(x0 − x0 )P (x0 ) = 0.
11
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
p
Twierdzenie 18. Jeśli x0 = , gdzie p, q ∈ Z i q 6= 0, jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu
q
W (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , gdzie an 6= 0 i ai ∈ Z, i = 0, . . . , n, to p dzieli a0 i q
dzieli an .
p
Dowód. Załóżmy, że x0 = , gdzie p, q ∈ Z i q 6= 0, jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu
q
!
p
W oraz liczby p i q są względnie pierwsze. Wtedy W
= 0, tzn.
q
an
pn
pn−1
p
+
a
n−1 n−1 + · · · + a1 + a0 = 0.
n
q
q
q
Stąd an · pn + an−1 · pn−1 · q + · · · + a1 · p · q n−1 + a0 · q n = 0, zatem
a0 · q n = −p · an · pn−1 + an−1 · pn−2 · q + · · · + a1 · q n−1 ,
an · pn = −q an−1 · pn−1 + · · · + a1 · p · q n−2 + a0 · q n−1 .
(12)
(13)
Ponieważ NWD(p, q)=1, więc z (12) p dzieli a0 i z (13) q dzieli an
Wniosek 19. Jeśli wielomian W (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , gdzie an 6= 0 i ai ∈ Z,
i = 0, . . . , n, ma miejsce zerowe x0 ∈ Z, x0 jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0 .
Rozkład na czynniki wielomianu polega na przedstawieniu go w postaci iloczynu wielomianów.
Twierdzenie 20 (o postaci iloczynowej).
Jeżeli wielomian W (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , gdzie an 6= 0 i ai ∈ R, i = 0, . . . , n,
ma n różnych miejsc zerowych x1 , x2 , . . . , xn , to
W (x) = an (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ).
Twierdzenie 21 (o rozkładzie wielomianu na czynniki).
Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników co najwyżej drugiego stopnia.
Liczba x0 jest k-krotnym miejscem zerowym wielomianu W , jeżeli ten wielomian jest podzielny
przez (x − x0 )k i nie jest podzielny przez (x − x0 )k+1 , k ∈ N.
Metody rozkładania wielomianów na czynniki:
• wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,
• grupowanie wyrazów,
• stosowanie wzorów skróconego mnożenia,
• zastosowanie twierdzenia Bézouta.
12
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
4.2
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Nierówności wielomianowe.
Nierównością wielomianową nazywamy każdą nierówność w postaci: P (x) > 0, P (x) > 0, P (x) <
0 oraz P (x) 6 0, gdzie P jest wielomianem.
4.2.1
Rozwiązywanie nierówności wielomianowych.
• przenosimy wszystko na jedną stronę
• rozkładamy wielomian na czynniki
• rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą w postaci iloczynowej.
Przykład 22. Rozwiążmy nierówność (x − 3)3 · (x + 2)2 · (1 − x) · (2 − x) 6 0.
Wówczas
−2
1
2
Zatem x ∈ (−∞, 1i ∪ h2, 3i.
13
3 x
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
5
Katedra Matematyki
Funkcje wymierne.
Definicja 23. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci
P (x)
,
Q(x)
w(x) =
(14)
gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli wielomiany
te są rzeczywiste, to mówimy o funkcjach wymiernych rzeczywistych. Jeśli stP < stQ (stopień
wielomianu P jest mniejszy niż stopień wielomianu Q), to mówimy, że funkcja wymierna jest
właściwa. W przeciwnym przypadku mówimy, że funkcja wymierna jest niewłaściwa.
Funkcja wymierna w jest określona na zbiorze Dw = R \ {x : Q(x) = 0}.
Funkcjami wymiernymi są na przykład wyrażenia
x2 x3 + 7x2 − 8
,
.
x+1
x7 + 1
Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją
wymierną właściwą.
Twierdzenie 24. Każda funkcja wymierna niewłaściwa jest sumą niezerowego wielomianu i
funkcji wymiernej właściwej.
P (x)
gdzie stP > stQ. Niech S będzie ilorazem, a Q— resztą z dzielenia
Q(x)
P przez Q. Z Twierdzenia (o dzieleniu z resztą) mamy równość P (x) = Q(x)S(x) + R(x), gdzie
stR < stQ. Ponieważ stP > stQ, więc S nie może być wielomianem zerowym. Wobec tego
możemy podzielić ostatnią równość stronami przez Q(x), otrzymując żądany rozkład wyjściowej
funkcji na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej:
Dowód. Niech w(x) =
P (x)
Q(x)S(x) + R(x)
R(x)
=
= S(x) +
.
Q(x)
Q(x)
Q(x)
Funkcja wymierna
R(x)
jest oczywiście właściwa, ponieważ stR < stQ.
Q(x)
Z powyższego dowodu wynika, że podany w twierdzeniu rozkład można zawsze znaleźć, wykonując dzielenie licznika funkcji wymiernej przez jej mianownik (zwykłe dzielenie wielomianów z
resztą). Czasami udaje się dokonać rozkładu przy użyciu elementarnych przekształceń, np.:
x2 + 2x − 2
x2 + x + x + 1 − 3
x(x + 1) + (x + 1) − 3
3
=
=
=x+1−
.
x+1
x+1
x+1
x+1
5.1
Funkcja homograficzna i jej własności
Wśród funkcji wymiernych wyróżnia się funkcję postaci:
f (x) =
ax + b
,
cx + d
14
(15)
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
gdzie c 6= 0 oraz ad − cb 6= 0.
(
)
d
Df = R \ −
,
c
f (x) ∈ Rf = R \
a
.
c
Funkcję f zdefiniowaną wzorem (15) nazywamy funkcją homograficzną.
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.
Y
d
c
− ab
X
y=
a
c
x = − dc
b
Jeżeli a 6= 0, to miejscem zerowym funkcji homograficznej jest x = − .
a
Jeżeli ad − bc > 0, to funkcja homograficzna postaci (15) jest rosnąca w swojej dziedzinie.
Jeżeli ad − bc < 0, to funkcja homograficzna postaci (15) jest malejąca w swojej dziedzinie.
Jeżeli a 6= 0, to funkcja homograficzna postaci (15) jest funkcją wymierną niewłaściwą, więc z
Twierdzenia 24 mamy
ax + b
a
bc − ad
f (x) =
= +
.
cx + d
c c(cx + d)
ax + b
można otrzymać przez przesunięcie wykresu funkcji
cx + d"
#
A
bc − ad
d a
f (x) = , gdzie A =
, o wektor − , .
x
c2
c c
Wówczas wykres funkcji f (x) =
5.2
Ułamki proste
Z Twierdzenia 24 wiemy, że każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci
sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej. Okazuje się, że każdą funkcję wymierną właściwą
można z kolei przedstawić w postaci sumy pewnych specjalnych funkcji wymiernych, zwanych
ułamkami prostymi.
Rzeczywiste ułamki proste dzielą się na ułamki proste pierwszego rodzaju oraz ułamki proste
drugiego rodzaju.
15
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
Definicja 25. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci
A
,
(x − a)n
gdzie A, a ∈ R, a n ∈ N.
Definicja 26. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną
postaci
Ax + B
,
2
(x + px + q)n
gdzie A, B, p, q ∈ R, n ∈ N i p2 − 4q < 0 (trójmian kwadratowy w mianowniku jest nierozkładalny).
5.3
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste.
P (x)
będzie niezerową rzeczywistą funkcją wymierną właściwą.
Q(x)
Załóżmy, że mianownik Q ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nierozkładalne:
Twierdzenie 27. Niech w(x) =
Q(x) = an (x − x1 )k1 · · · (x − xr )kr · x2 + p1 x + q1
l1
· · · x2 + ps x + qs
ls
.
Wówczas w(x) jest sumą n1 = k1 +k2 +. . .+kr rzeczywistych ułamków prostych pierwszego rodzaju
oraz n2 = l1 + l2 + · · · + ls rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju. W rozkładzie tym
każdemu czynnikowi
(x − xi )ki , i = 1, . . . , r
odpowiada suma ki rzeczywistych ułamków prostych postaci
Ai1
Aik2
Aiki
+
,
2 +···+
x − xi (x − xi )
(x − xi )ki
natomiast każdemu czynnikowi
x2 + pj x + qj
lj
,
j = 1, . . . , s
odpowiada suma lj rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju postaci
Bjlj x + Cjlj
Bj1 x + Cj1
Bj2 x + Cj2
+ 2
.
2 +···+
2
x + pj x + qj (x + pj x + qj )
(x2 + pj x + qj )lj
tzn.
w(x) =
A11
A1k1
Ar1
Arkr
+
+···+
+···+
k1 + · · · +
x − x1
x − xr
(x − x1 )
(x − xr )kr
B11 x + C11
B1l1 x + C1l1
Bs1 x + Cs1
Bsls x + Csls
+ 2
+···+
+
+
·
·
·
+
.
l
2
x + p1 x + q1
(x2 + p1 x + q1 ) 1 x + ps x + qs
(x2 + ps x + qs )ls
Powyższy rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności składników.
16
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
Zauważmy, że mianowniki funkcji wymiernej zostały podane w postaci iloczynu czynników nierozkładalnych. Jeśli mianownik funkcji wymiernej podamy w postaci rozwiniętej, np.
x3
x+4
,
− x2 − 2x
to musimy taki mianownik najpierw rozłożyć na czynniki:
x+4
,
x(x + 1)(x − 2)
a dopiero potem zastosować twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste.
Przykład 28. Rozkład funkcji wymiernej postaci
1
(x − 3)3 (x + 2)
na ułamki proste jest następujący:
1
A
B
C
D
=
+
+
+
3
2
3
(x − 3) (x + 2)
x − 3 (x − 3)
(x − 3)
x+2
Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem dwóch dwumianów, z których jeden występuje w
trzeciej, a drugi w pierwszej potędze. Otrzymujemy trzy ułamki proste odpowiadające dwumianowi x − 3 oraz jeden ułamek prosty odpowiadający dwumianowi x + 2.
Przykład 29. Rozkład funkcji
1
x (x2 + x + 2)2
na ułamki proste jest następujący:
x (x2
1
A
Bx + C
Dx + E
+ 2
+ 2
2 =
x x + x + 2 (x + x + 2)2
+ x + 2)
Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem jednomianu stopnia pierwszego oraz drugiej potęgi
trójmianu nierozkładalnego. Otrzymujemy jeden ułamek prosty odpowiadający jednomianowi x
oraz dwa ułamki proste odpowiadające trójmianowi x2 + x + 2.
5.4
Równania i nierówności wymierne.
Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci: w(x) = v(x) gdzie w i v są funkcjami
wymiernymi. Dziedziną tego równania jest część wspólna dziedzin funkcji wymiernych w i v.
5.4.1
Sposoby rozwiązywania równań wymiernych.
I sposób: (krótszy, ale ogólnie nie można stosować przy nierównościach)
• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki
• ustalamy dziedzinę ( R \ {miejsca zerowe mianowników})
17
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
• obustronnie mnożymy równanie przez wspólny mianownik
• rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe.
• sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.
Przykład 30. Rozwiążemy równanie
2
x+1
x2
−
= 2
.
x+1 1−x
x −1
Wtedy
x+1
x2
2
−
=
,
x+1 1−x
(x − 1)(x + 1)
(16)
D = R \ {−1, 1},
2
x+1
x2
−
=
· (x − 1)(x + 1)
x+1 1−x
(x − 1)(x + 1)
2(x − 1) + (x + 1)2 = x2
⇒
2x − 2 + x2 + 2x + 1 = x2
1
4x = 1
⇒
x = ∈ D.
4
,
1
jest rozwiązaniem równania (16).
4
II sposób:
Stąd x =
• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki
• ustalamy dziedzinę ( R \ {miejsca zerowe mianowników})
• przenosimy wszystko na lewą stronę
• ustalamy wspólny mianownik
• rozszerzamy wszystko do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej
• porównujemy licznik do zera (ułamek = 0 wtedy, gdy licznik = 0) i rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe
• sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.
Przykład 31. Rozwiążemy równanie
2x
4
+ = 3.
2−x x
Wtedy D = R \ {0, 2} i
2x · x + 4 · (2 − x) − 3x(2 − x)
= 0
x(2 − x)
5x2 − 10x + 8 = 0
∆ < 0
Stąd brak rozwiązań równania (17) w zbiorze liczb rzeczywistych.
18
(17)
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Uwaga 32. Jeżeli równanie ma postać proporcji ( równość dwóch ułamków ) To: iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych
• ustalamy dziedzinę ( R \ {miejsca zerowe mianowników})
• porównujemy iloczyny wyrazów skrajnych i środkowych i rozwiązujemy otrzymane równanie
• sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.
Przykład 33. Rozwiążemy równanie
x
3x
=
.
x+2
x−3
Wtedy
D = R \ {−2, 3},
x(x − 3) = 3x(x + 2);
x2 –3x = 3x2 + 6x;
2x2 + 9x = 0;
9
2x x +
= 0;
2
x1 = 0 ∈ D ∨ x2 = −4, 5 ∈ D.
Zatem rozwiązaniem równania (18) są liczby 0 lub −4,5.
19
(18)
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
Nierównością wymierną nazywamy każdą nierówność w postaci:
oraz
P (x)
Q(x)
P (x)
> 0,
> 0,
<0
Q(x)
Q(x)
Q(x)
P (x)
6 0, gdzie P i Q są wielomianami.
Q(x)
5.4.2
Sposoby rozwiązywania nierówności wymiernych.
I sposób:
• przenosimy wszystko na jedną stronę
• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki
• ustalamy dziedzinę ( R \ {miejsca zerowe mianowników})
• ustalamy wspólny mianownik
• rozszerzamy wszystko do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej
• porządkujemy licznik i rozkładamy go na czynniki
• iloraz (ułamek) zamieniamy na iloczyn (znak wyniku dla ilorazu i iloczynu podobnie ustalamy)
• rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą już w postaci iloczynowej
• ustalamy część wspólną rozwiązania i dziedziny.
Przykład 34. Rozwiążmy nierówność
x2
Wtedy
2x − 5
6 −1.
− 6x + 8
(19)
2x − 5
1 (x2 − 6x + 8)
+
60i
(x − 2)(x − 4)
(x − 2)(x − 4)
D = R \ {2, 4},
2x − 5 + x2 − 6x + 8
6 0;
(x − 2)(x − 4)
x2 − 4x + 3
6 0;
(x − 2)(x − 4)
(x − 1)(x − 3)
6 0;
(x − 2)(x − 4)
(x − 1)(x − 3)(x − 2)(x − 4) 6 0 ∧ x 6= {2, 4}.
x ∈ h1, 2) ∪ h3, 4).
1
Zatem rozwiązaniem nierówności (19) jest zbiór h1, 2) ∪ h3, 4).
20
2
3
4
X
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
II sposób:
• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki
• ustalamy dziedzinę ( R \ {miejsca zerowe mianowników})
• mnożymy obustronnie nierówność przez kwadraty mianowników liniowych lub przez inne
wyrażenia, których znak jest jednoznacznie określony
• rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą już w postaci iloczynowej
• ustalamy część wspólną rozwiązania i dziedziny.
Przykład 35. Rozwiążmy nierówność
4−x 2
− > 1.
x2
x
(20)
Wtedy
D = R \ {0},
4−x 2
− −1 >0
/ · x2
x2
x
4 − x − 2x − x2 > 0;
−x2 − 3x + 4 > 0;
−(x − 1)(x + 4) > 0.
0
−4
x ∈ h−1, 4) \ {0}.
Zatem rozwiązaniem nierówności (20) jest zbiór h−1, 4) \ {0}.
21
1
X
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
6
6.1
Katedra Matematyki
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne.
Funkcje wykładnicze oraz ich własności.
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcje f określona wzorem
f (x) = ax ,
gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
Df = R,
(21)
f (x) ∈ Rf = R+ = (0, +∞).
Dla a ∈ (0, 1) funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą, natomiast dla a ∈ (1, +∞) jest funkcją
rosnącą.
Y
Y
y = ax
0<a<1
y = ax
1
1
a>1
X
X
Wykres funkcji wykładniczej nazywamy krzywą wykładniczą.
1
1 x
, dla a < 0 i a 6= 1, więc krzywe wykładnicze y = ax i y =
=
ax
a
symetryczne względem osi OY .
Ponieważ a−x =
6.2
x
1
a
są
Równania i nierówności wykładnicze.
Równaniem wykładniczym (nierównością wykładniczą) nazywamy takie równanie (nierówność),
którego niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi.
Równaniem wykładniczym jest na przykład równanie typu: af (x) = ag(x) , gdzie a ∈ R \ {1} a
f (x) i g(x) są dowolnymi funkcjami zmiennej rzeczywistej.
2
Przykłady równań wykładniczych: 5x −1 = 25, 22x − 5 · 2x = 6, itp.
2
Przykłady nierówności wykładniczych: 5x −1 < 25, 22x − 5 · 2x > 6, itp.
22
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Schemat rozwiązywania równań wykładniczych wygląda następująco:
• ustalamy dziedzinę
• sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania
kwadratowego albo do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników
• rozwiązujemy równanie
• sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie
• podajemy odpowiedź
W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:
• ustalić dziedzinę
• sprowadzić obie strony nierówności do tych samych podstaw albo przekształcamy do innej
nierówności, którą potrafimy rozwiązać
• wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio nierówność:
dla a > 1
an > am ⇐⇒ n > m
an < am ⇐⇒ n < m
analogicznie dla porównań „>” czy też „6”;
dla 0 < a < 1
an > am ⇐⇒ n < m
an < am ⇐⇒ n > m
analogicznie dla porównań „>” czy też „6”
• rozwiązujemy otrzymaną nierówność i sprawdzamy, czy rozwiązania należą do dziedziny
• udzielamy odpowiedzi
23
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
6.3
Katedra Matematyki
Funkcje logarytmiczne oraz ich własności.
Definicja 36. Logarytmem liczby x > 0 przy podstawie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) nazywamy wykładnik potęgi y, do której należy podnieść podstawę a, żeby otrzymać x.
Mamy więc
loga x = y ⇔ ay = x dla x > 0 i a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
Z definicji logarytmu wynikają następujące własności:
loga a = 1, dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
loga 1 = 0, dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
(22)
(23)
Jeżeli x > 0, y > 0 i a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), to
loga (x · y) = loga x + loga y.
x
loga
= loga x − loga y.
y
loga xα = α loga x,
dla α ∈ R.
logb x
loga x =
,
dla b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
logb a
1
loga x =
,
dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
logx a
a = blogb a ,
dla a > 0, b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcje f określona wzorem
f (x) = loga x,
gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
Df = R+ = (0, +∞),
(30)
f (x) ∈ Rf = R.
Funkcja logarytmiczna jest funkcją malejącą dla a ∈ (0, 1), natomiast dla a ∈ (1, +∞) jest
funkcją rosnącą.
Y
Y
y = loga x
y = loga x
a>1
0<a<1
1
X
1
X
Wykres funkcji wykładniczej nazywamy krzywą logarytmiczną.
Ponieważ loga x = − log 1 x, dla a < 0 i a 6= 1, więc krzywe logarytmiczne y = loga x i y = log 1 x
a
a
są symetryczne względem osi OX.
24
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
MATEMATYKA - wykład
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
Uwaga 37. Funkcja logarytmiczna i funkcja wykładnicza są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.
Y
Y
y = ax
y = loga x
x
y=a
0<a<1
a>1
1
1
y = loga x
1
6.4
X
1
X
Równania i nierówności logarytmiczne.
Równaniem logarytmicznym (nierównością logarytmiczną) nazywamy równanie (nierówność), w
którym niewiadoma występuje w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.
Przykłady równań logarytmicznych: log5 (x2 − 1) = 25, log22 x − 5 · log2 x = 6, itp.
Przykłady nierówności logarytmicznych: log5 (x2 − 1) < 25, log22 x − 5 · log2 x > 0, itp.
Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego (nierówności logarytmicznej) powinno się:
• ustalić dziedzinę
• sprowadzić obie strony równania (nierówności) do tych samych podstaw albo przekształcić
do innego równania (innej nierówności), które (którą) potrafimy rozwiązać
• wykorzystując własności funkcji logarytmicznej przekształcić równanie (nierówność) tzn:
dla a > 1
loga n > loga m ⇐⇒ n > m
loga n 6 loga m ⇐⇒ n 6 m
dla 0 < a < 1
loga n > loga m ⇐⇒ n 6 m
loga n 6 loga m ⇐⇒ n > m
• rozwiązać otrzymane równanie (otrzymaną nierówność) i sprawdzić, czy rozwiązania należą do dziedziny
• podać odpowiedź.
25