Statystyka Astronomiczna – zadania 5/9 ROZKŁAD NORMALNY 1

Statystyka Astronomiczna – zadania 5/9
ROZKŁAD NORMALNY
1. Dany jest rozkład normalny
(x−m)2
1
N (m, σ 2 ) = √ e− 2σ2
σ 2π
(1)
Wyznaczyć punkt przegięcia. Korzystając z funkcji charakterystycznej rozkładu normalnego
wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję.
ϕ(t) = emit−
(σt)2
2
(2)
Zadanie dodatkowe: Wyprowadzić wzór na funkcję charakterystyczną (2) rozkładu normalnego (1).
2. Zmienna losowa ma rozkład normalny N (m, σ)=N (2, 21 ). Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa
g(y) zmiennej losowej Y = 3X + 1 oraz podać E(Y ), σY .
3. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (m, σ). Wyznaczyć rozkład gęstości prawdopodobieństwa g(y) zmiennej Y = x−m
σ . Jaka jest wartość E(Y ) oraz σY nowego rozkładu?
4. Rozkład ilorazu inteligencji IQ w pewnej populacji jest rozkładem normalnym N (100, 15).
a) Jaki procent tej populacji ma IQ > 120?
b) W jakim przedziale mieści się środkowe 50% populacji?
c) Jaka część ludzi z tej populacji ma współczynnik inteligencji pomiędzy 75 a 125?
5. Prowadzacy zajęcia postanowił, że 20% studentów nie zda egzaminu. Oceny z egzaminów mają
w przybliżeniu rozkład normalny ze średnią 72 i odchyleniem standardowym 6. Jaką ocenę musi
uzyskać student, aby zdać egzamin?
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
6. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 100 rzutach monetą orzeł wypadnie
a) od 40 do 60 razy,
b) więcej niż 60 razy.
7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 1000 rzutów monetą symetryczną różnica między ilością
reszek i orłów będzie wynosić co najmniej 100?
8. Jak duże może być prawdopodobieństwo tego, że przy 3000 rzutów sześcienną kostką do gry
liczba pojawień się dwójki odchyli się od 500 o co najmniej 50?
9. Prawdopodobieństwo, że w czasie T przestanie świecić jedna żarówka jest równe 0,1. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że w czasie T spośród 100 przestanie świecić od 7 do 19 żarówek przy
założeniu, że żarówki przepalają się niezależnie.
10. W centrali telefonicznej znajduje się n linii działających niezależnie. Prawdopodobieństwo, że
dowolna ustalona linia jest zajęta, jest równe 0,1. Jakie powinno być n, aby prawdopodobieństwo
tego, że
a) więcej niż 7% linii jest zajętych było równe 0,95?
b) więcej niż 7 linii jest zajętych było równe 0,95?
1
Statystyka Astronomiczna – zadania 5/9
11. Niech (Xn ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie prawdopodobieństwa określonym tabelką
xk
pk
-1
0,1
0
0,7
1
0,1
2
0,1
400
P 2
Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa P 234 6
Xn 6 300 .
n=1
12. Niech X1 , ..., X100 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie o funkcji
charakterystycznej
ϕ(t)= cos t. Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa
100
P
P −30 <
Xn < 10 .
n=1
13. Niech (Xn ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach jednostajnych na przedziale [a,b]. Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa:
1200
P
a) P 585 <
Xn < 640 , jeśli [a, b] = [−1, 2],
n=1
b) P 0,1 <
1
200
200
P
Xn < 0,3 , jeśli [a, b] = [−1, 3].
n=1
14. Niezależne zmienne losowe Xn , gdzie n = 1, 2, ..., mają jednakowy rozkład o funkcji charaktery1
stycznej ϕ(t) = 1+3t
2 . Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, że średnia
1
arytmetyczna 600 tych zmiennych jest mniejsza od 20
.
2