(−1)n

ANAL2 POPRZEDNIE EGZAMINY
2009.
1. Wyznaczyć zbiór wszystkich x ∈ R, dla których szereg
∞
X
(−1)n · n(x − 3)n
jest zbieżny.
n2 + 6
n=1
2. Obliczyć objętość bryły wyciętej z kuli x2 + y 2 + z 2 ¬ 16 walcem x2 + y 2 = 4x.
3. Obliczyć całkę zespoloną
I
|z−1|=2
Imz
+ cos(z 3 ) dz, jeśli okrąg jest skierowany dodatnio
z−1
względem wnętrza.
4. Obliczyć
Z
6x2 dx +
C
x2
1
dy, gdzie C jest okręgiem x2 + y 2 = 1, skierowanym dodatnio
+ y2
względem wnętrza.



−3 dla x ∈ (0; π)
3 dla x ∈ (−π; 0)
5. Rozwinąć, w szereg Fouriera w przedziale h−π; πi funkcję f (x) =
,


0 dla x = 0 ∨ |x| = π
a następnie wyznaczyć współczynniki a0 i b6 w rozwinięciu w szereg Fouriera w przedziale
h−π; πi funkcji g(x) = f (x) − 1 + 2 sin(5x) cos x.
6. Metodą operatorową rozwiązać równanie x00 − 4x0 + 3x = 9t , x(0+ ) = 5 , x0 (0+ ) = 4.
2012.
∞
X
(−1)n 2 ln(n + 2) · xn
, a następnie
1. Wyznaczyć promień zbieżności R szeregu potęgowego
n2
n=2
sprawdzić, czy szereg ten jest zbieżny dla x = −R.
2. Obliczyć
ZZZ
q
z x2 + y 2 dxdydz, V = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ¬ 9, x ¬ 0, y ¬ 0, z ­ 0}.
V
3. Obliczyć całkę
I
C
!
4y − 2x
2y − 4x
dx +
− x2 dy, gdzie C jest brzegiem obszaru
4
4
(x + y)
(x + y)
D = {(x, y) : x ­ −2, y ­ −2, x + y ¬ −2} skierowanym dodatnio względem wnętrza.
I
4. Obliczyć całkę zespoloną
|z+j|=3/2
z
e−jz
+
dz, gdzie okrąg |z + j| = 3/2
4
2
(z + z ) 2|z + j| + 1
!
jest skierowany dodatnio względem wnętrza.
5. Met. operatorową rozwiązać równanie x00 − 4x0 − 5x = 6e5t , x(0+ ) = 1 , x0 (0+ ) = 6.
2012.
1. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f (x) = x · cos(3x3 ), a następnie na tej podstawie
obliczyć pochodne: f (59) (0), f (60) (0), f (61) (0).
2. Obliczyć całkę
ZZZ
(x2 − 3y 3 ) dxdydz, V = {(x, y, z) :
V
3. Sprawdzić, że wartość całki
√ 2
x + y 2 ¬ z ¬ 4, x ­ 0, y ­ 0}.
Z 2x − y 3 sin(xy) dx + 2y cos(xy) − xy 2 sin(xy) dy
c
AB
nie zależy od kształtu drogi całkowania, a następnie obliczyć tę wartość po odcinku o
początku w punkcie A(0, 0) i końcu w punkcie B(1/π).
!
I
4. Obliczyć całkę zespoloną
|z+1+j|=2
sin z
Re z
+ 2
dz, jeśli okrąg |z + 1 + j| = 2
z + 1 + j z (z − 1)
jest skierowany ujemnie względem wnętrza.
5. Wyznaczyć i narysować splot funkcji f1 ? f2 , gdy f1 (t) = 1(t − 1) − 1(t − 2) = f2 (t).
2013.
1. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
2. Obliczyć całkę
ZZ
∞
X
n2 · (x − 3)n
.
n
3
n=0 3 (n + 1)
(y 3 − 1) dxdy, D = {(x, y) : 4 ¬ x2 + y 2 ¬ 9, x ­ 0, y ¬ 0}.
D
3. Obliczyć całkę
I
x
q
x2
+
q
y 2 dx
+ y
x2
+
y2
+x
2
dy , gdzie C jest brzegiem obszaru
C
D = {(x, y) : 2 ¬ x ¬ 4 , |x − 3| ¬ y ¬ 1}, skierowanym dodatnio względem wnętrza.
I
4. Obliczyć całkę zespoloną
(Im z)2 +
|z−1|=3
ez
dz, gdy okrąg |z−1| = 3 jest skierowany
z2 + z
dodatnio względem wnętrza.
5. Met. operatorową rozwiązać równanie x00 + x0 − 6x = −2 , x(0+ ) = −1 , x0 (0+ ) = 0.
2014
1. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f (x) =
2x + 10
. Wyznaczyć promień zbież(x + 4)(x + 6)
ności otrzymanego szeregu.
2. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
x2
+ y 2 = 1, z = 0, x + y + z = 16.
4
3. Okręgi K1 : x2 + y 2 = 1 i K2 : (x − 2)2 + (y − 2)2 = 1 są skierowane dodatnio względem
wnętrza. Sprawdzić, czy zachodzi równość
I
K1
4. Obliczyć całkę zespoloną
I
|z−2|=4
I
ydx − xdy
ydx − xdy
=
x2 + y 2
x2 + y 2
K2
!
Re z
1
+ 2
dz, gdy okrąg |z −2| = 4 jest skierowany
z−2 z +4
dodatnio względem wnętrza.
5. Rozwiązać metodą operatorową równanie; x00 + 4x0 + 3x = 2e−t , x(0+ ) = 1 , x0 (0+ ) = 0.