Podstawy Automatyki Laboratorium

Katedra In»ynierii Systemów Sterowania
Wydziaª Elektrotechniki i Automatyki
Podstawy Automatyki Laboratorium
Zadania do ¢wicze« laboratoryjnych T10
Sterowanie pr¦dko±ci¡ obrotow¡ silnika pr¡du staªego
Opracowanie
dr hab. in». Kazimierz Duzinkiewicz
mgr in». Tomasz Zubowicz
dr in». Rafaª Šangowski
dr in». Robert Piotrowski
Gda«sk
Wprowadzenie
Informacje ogólne
Maksymalna liczba punktów do zdobycia za:
•
przygotowanie do zaj¦¢
•
realizacj¦ zada« ¢wiczeniowych:
5
pkt.
10
pkt.
Zadania wykonaj analitycznie i z wykorzystaniem ±rodowiska MATLAB.
Materiaªy pomocnicze zwi¡zane z tematyk¡ ¢wiczenia zostaªy opublikowane w [1, 2]. Ponadto w
celu usystematyzowania nabytej do tej pory wiedzy proponuje si¦ zapoznanie z [4].
Filtr przeciwnasyceniowy
lit. antiwindup lter ) umiejscowiony w strukturze regulatora ma
(
za zadanie ograniczenie lub wyeliminowanie stanów nasycenia urz¡dze« wykonawczych pojawiaj¡cych si¦ w ukªadzie regulacji najcz¦±ciej w wyniku dziaªania nietypowo uci¡»liwych oddziaªywa«
zewn¦trznych zakªóce«.
Ograniczenia mog¡ przyjmowa¢ ró»ne postaci. W omawianym przypadku poprzez ograniczenie ukªadów wykonawczych rozumie si¦ zakres warto±ci danej wielko±ci zycznej, któr¡ ukªad
wykonawczy oddziaªuje (bezpo±rednio lub po±rednio) na obiekt w celu zmiany jego stanu i w
konsekwencji wyj±¢. Sytuacj¦ tak¡ obrazuje przedstawiony poni»ej przykªad.
Przykªad 1.
Niech obiektem sterowania b¦dzie zbiornik ze swobodnym wypªywem i pojedyn-
czym dopªywem wyposa»onym w zawór steruj¡cy.
Celem sterowania jest utrzymywanie poziomu medium w zbiorniku zgodnie z trajektori¡
referencyjn¡.
Zakªada si¦, »e kontroluj¡c dopªyw, wykorzystuj¡c do tego celu zawór, jest si¦ w stanie
zrealizowa¢ zadan¡ trajektori¦ referencyjn¡ poziomu medium w zbiorniku.
Zatem, wpªywaj¡c na poªo»enie trzpienia zaworu w sposób po±redni wpªywa si¦ na ilo±¢ dopªywaj¡cego medium. Fizycznym ograniczeniem w tym przypadku jest zakres, w którym mo»na
zmienia¢ poªo»enie zaworu, co natomiast w naturalny sposób ogranicza mo»liwe do uzyskania
warto±ci dopªywu medium. Co wi¦cej szybko±¢ z jak¡ mo»na dokona¢ zmian w poªo»eniu trzpienia zaworu podlega równie» ograniczeniu. Wynika to mi¦dzy innymi z typu zaworu, technologii
jego wykonania oraz zastosowanych materiaªów (ich wytrzymaªo±ci).
Stany nasycenia pojawiaj¡ si¦ w ukªadzie w sytuacji, kiedy nieograniczony regulator generuje
sygnaª steruj¡cy wykraczaj¡cy sw¡ warto±ci¡ poza zakres mo»liwy do zrealizowania przez ukªad
wykonawczy. Sytuacj¦ tak¡ mo»na spotka¢, gdy do celów sterowania wykorzystywany jest np.
regulator typu PID, a ukªad wykonawczy posiada pewne ograniczenia (fakt: ka»dy rzeczywisty
ukªad wykonawczy ma mo»liwo±¢ dostarczenia tylko pewnej ograniczonej porcji energii w jednostce czasu). Wynika ona bezpo±rednio z charakteru dziaªania czªonu I regulatora. W momencie,
gdy warto±¢ referencyjna nie jest osi¡gni¦ta, a ukªad wykonawczy pracuje przy maksymalnej
wydajno±ci czªon caªkuj¡cy nadal caªkuje uchyb sterowania i generuje coraz to wi¦kszy sygnaª
(zakªadaj¡c dodatnia warto±¢ uchybu), który w rzeczywisto±ci nie jest mo»liwy do realizacji.
Zaªó»my, »e trajektoria referencyjna jest staªowarto±ciowa i osi¡galna (mo»liwa do zrealizowania). Przyjmuj¡c regulator PID bez ltra antiwindup sygnaª steruj¡cy generowany jest w oparciu
o uchyb w wyniku proporcjonalnego jego wzmocnienia, wzmocnienia caªki tego sygnaªu oraz jego
pochodnej. Gdy odpowied¹ ukªadu zbli»a si¦ do warto±ci referencyjnej gªówny ci¦»ar regulacji
spoczywa na czªonie caªkuj¡cym. Zgodnie z denicj¡ czªon ten nieustannie caªkuje bª¡d sterowania generuj¡c proporcjonalnie do swojego wzmocnienia sygnaª steruj¡cy. Nie ma tu »adnego
mechanizmu, który powstrzymaªby algorytm sterowania (regulator PID) od za»¡dania od urz¡dzenia wykonawczego realizacji wielko±ci steruj¡cej wi¦kszej ni» wynosi jego wydajno±¢. Zatem,
gdy warto±¢ sterowana osi¡ga poziom referencyjny, mo»e si¦ okaza¢, »e stan czªonu I (warto±¢
1
zakumulowana przez dziaªanie caªkuj¡ce) jest na tyle du»y, »e pomimo osi¡gni¦cia przez ukªad
poziomu referencyjnego warto±¢ sterowana ci¡gle ro±nie, poniewa» sygnaª steruj¡cy generowany
przez regulator jest wi¦kszy od górnego ograniczenia amplitudy sygnaªu steruj¡cego wynikaj¡cego z wydajno±ci urz¡dzenia wykonawczego pojawia si¦ tzw. nasycenie sygnaªu steruj¡cego.
Konsekwencj¡ przekroczenia warto±ci referencyjnej jest zmiana znaku uchyb na przeciwny ni»
poprzednio. W wyniku tej zmiany stan czªonu I zaczyna si¦ zmienia¢ male¢. Niemniej, zanim
warto±¢ zakumulowana ulegnie dostatecznej zmianie tj. obni»y si¦ poni»ej ograniczenia górnego
tak, aby zmiana ta mogªa by¢ widoczna na wyj±ciu z obiektu mija pewien (z reguªy do±¢ dªugi)
okres czasu. W efekcie odpowied¹ ukªadu cechowa¢ si¦ b¦dzie znacznym przeregulowaniem, które
w praktyce jest zdecydowanie wi¦ksze ni» w przypadku gdyby do nasycenia nie doszªo. Najpowa»niejsz¡ konsekwencj¡ nasyce« w ukªadzie steruj¡cym jest, oprócz ewidentnego pogorszenia
si¦ warto±ci wska¹ników opisuj¡cych jako±ci sterowania, utrata stabilno±ci. Analiza stabilno±ci
ukªadów z ograniczeniami jest zagadnieniem analizy stabilno±ci ukªadów nieliniowych rozwi¡zywanych np. na bazie teorii stabilno±ci Lyapunova i jest problemem nietrywialnym.
W celu unikni¦cia niepo»¡danych efektów nasycenia wykorzystuje si¦ ltry przeciwnasyceniowe/antiwindup, które ograniczaj¡, gdy jest to konieczne, dziaªanie czªonu I.
W literaturze spotyka si¦ wiele rozwi¡za« realizacji ltrów antiwindup. Mo»na do nich zaliczy¢ ltry zrealizowane jako czªony statyczne przedstawione przykªadowo w [3] lub dynamiczne,
co zaprezentowano mi¦dzy innymi w [5].
Analogowy regulator PID ze statycznym ltrem antiwindup.
W trakcie laboratorium
zgodnie z tre±ci¡ zadania nale»y zaimplementowa¢ statyczny ltr antiwindup dla dobranego typu
regulatora. Jak wspomniano w poprzednim punkcie istnieje wiele schematów realizacji statycznych ltrów antiwindup [3]. W niniejszym punkcie zaprezentowane zostanie rozwi¡zanie, które
wykorzystane zostanie w trakcie realizacji laboratorium.
Na Rysunku 1a zaprezentowany zostaª schemat blokowy analogowego regulatora PID, natomiast na Rysunku 1b ten sam typ regulatora wyposa»ono w ograniczenie amplitudy zmian
sygnaªu steruj¡cego oraz jedno z mo»liwych rozwi¡za« ltru antiwindup (
do wykorzystania w trakcie realizacji laboratorium ),
caªkuj¡cy;
Kaw ; e(t)
D
- czªon ró»niczkuj¡cy;
- uchyb sterowania;
torze caªkuj¡cym;
up (t)
u(t)
AW
gdzie:
P
schemat dedykowany
- czªon proporcjonalny;
I
- czªon
- ltr antiwindup charakteryzuj¡cy si¦ wzmocnieniem
- sygnaª steruj¡cy wychodz¡cy z regulatora;
ui (t)
- sygnaª w
- sygnaª steruj¡cy przed ograniczeniem.
(a) Nieograniczony regulator PID
(b) Regulator PID z ltrem przeciwnasyceniowym
Rysunek 1: Struktury regulatorów PID
Blok
Ograniczenie amplitudy
jest statycznym modelem urz¡dzenia wykonawczego w struktu-
rze regulatora, a jego zadaniem jest przepuszczanie sygnaªu w niezmienionej postaci za ka»dym
razem, gdy jego amplituda znajduje si¦ w uprzednio zdeniowanym zakresie lub nadawanie mu
warto±ci (zdeniowanych uprzednio) granicznych, gdy warunek ten nie jest speªniony. Poni»ej
na Rysunku 2 pokazany zostaª przykªad dziaªania takiego ograniczenia.
2
Rysunek 2: Obraz dziaªania bloku Ograniczenie amplitudy
Zadaniem statycznego ltru antiwindup, reprezentowanego przez blok
Kaw
razy ró»nicy sygnaªów
niczania dziaªanie czªonu
I
up (t)
i
u(t),
AW , jest wzmocnienie
buduj¡c w ten sposób sygnaª u»ywany dalej do ogra-
regulatora. Przykªad dziaªania czªonu
AW
zostaª zilustrowany na
Rysunku 3.
Rysunek 3: Dziaªanie ltru AW
Zalet¡ takiego rozwi¡zania jest dobra skuteczno±¢ dziaªania przy zachowaniu du»ego stopnia
prostoty ukªadu.
Eksperymentalna kalibracja ltru przeciwnasyceniowego.
W celu eksperymentalnego
skalibrowania statycznego ltru antiwindup nale»y porównuj¡c sygnaªy
doboru warto±ci wzmocnienia
Kaw .
up (t)
u(t) dokona¢
ui (t). Staraj si¦
oraz
W trakcie eksperymentów obserwuj sygnaª
nie zmieni¢ jego polaryzacji.
Implementacja w ±rodowisku MATLAB/Simulink.
W celu zamodelowania ograniczenia
sygnaªu steruj¡cego nale»y posªu»y¢ si¦ funkcj¡ nasycenia (patrz Rys. 4). Wykorzysta¢ do tego
celu mo»na blok o nazwie
ograniczenia górne
Saturation
z przybornika
uL (lit. upper limit )
i dolne
3
Discontinuities.
Parametrami tego bloku s¡
lL (lit. lower limit ).
Realizacja dziaªania tego
odbywa si¦ w oparciu o funkcje warunkow¡:


uL
def
sat(·) = lL


(·)
, if x > uL
, if x < lL .
, else
(1)
Funkcj¦ nasycenia mo»na zapisa¢ równie» analitycznie za pomoc¡ zale»no±ci:
def
sat(·) = a sign(·) min |(·), 1| + b,
gdzie:
aib
s¡ to wspóªczynniki skaluj¡ce, które w prosty sposób mo»na wyznaczy¢ w oparciu o
parametry lL oraz
uL .
Rysunek 4: Funkcja nasycenia zale»no±¢ wyj±cia od wej±cia dla lL
Zaªo»enia:
•
= −0.5 i uL = 0.5
Zakªada si¦, »e:
silnik pracuj¡cy w p¦tli sprz¦»enia zwrotnego od pr¦dko±ci obrotowej pobudzany jest sygna-
lit. constant )
ªami staªowarto±ciowymi (
wise constant ),
•
(2)
lub przedziaªami-staªowarto±ciowymi (
lit. piece-
regulator nale»y do rodziny PID.
Parametry silników znajduj¡cych si¦ w laboratorium s¡ znane i pewne. Warto±ci tych parametrów zamieszczono w Zaª¡czniku A.
4
Zadanie 1: (przygotowanie do zaj¦¢ T10) [5 pkt]
Celem zadania jest zapoznanie si¦ z obiektem regulacji.
Przedstaw struktur¦ blokow¡ wewn¦trznej budowy silnika pr¡du staªego z magnesami trwaªymi. Prac¦ rozpocznij od narysowania w¦zªa sumacyjnego bilansu momentów. Kolejno w strukturze postaraj si¦ zawrze¢ informacje o:
•
dziaªaniu cz¦±ci elektrycznej silnika,
•
dziaªaniu cz¦±ci mechanicznej silnika.
Bloki struktury powinny odzwierciedla¢ fundamentalne procesy zachodz¡ce wewn¡trz silnika:
•
generacj¦ pr¡du w uzwojeniach silnika,
•
generacj¦ momentu elektrycznego w wyniku oddziaªywania z polem magnetycznym od magnesów trwaªych (jaka siªa zostaje pobudzona i jak to si¦ dzieje »e mowa tu o momencie?),
•
efekty temperaturowe w uzwojeniach silnika (jak one powstaj¡ i jakie s¡ ich konsekwencje?),
•
bilans momentów i moment wypadkowy,
•
inercyjny charakter cz¦±ci mechanicznej silnika,
•
siªy tarcia waªu silnika o stojan (Czy jest to cz¦±¢ dynamiki silnika czy zakªócenie? Jaka
jest denicja zakªócenia?),
Uwaga: okre±l jasno wszystkie wej±cia i wyj±cia w tej strukturze (jest ich wi¦cej ni» jedno
w ka»dym przypadku). Okre±l co jest zakªóceniem, a co sygnaªem steruj¡cym, co wyj±ciem
a co wyj±ciem sterowanym.
W trakcie laboratorium:
Nale»y zapozna¢ si¦ z ukªadem NI Elvis
2
z doª¡czonym silnikiem
pr¡du staªego. Na podstawie obserwacji i dotychczasowej wiedzy okre±l:
•
struktur¦ ukªadu regulacji,
•
wszystkie istotne sygnaªy w tej strukturze,
•
czy w przypadku poszczególnych sygnaªów wyst¦puj¡ jakie± ograniczenia? Je»eli tak, to
jakie jest ich ¹ródªo i jakie s¡ ich warto±ci.
Zadanie 2: [2 pkt]
Niech dany b¦dzie (u»ytkowy) model typu wej±cie-wyj±cie, opisany w przestrzeni zmiennej zespolonej
s,
dynamiki obiektu regulacji:
Km
u(s)
Rm
Tw (s) = Te (s) − z(s)
Te (s) =
Gob
gdzie:
kowy,
ω(s)
=
=
Tw (s)
Rm
2
Km
Jeq Rm
s
2
Km
(3)
+1
Te (s), Tw (s) oznaczaj¡ odpowiednio moment elektryczny (nap¦dowy) i moment wypadz(s) jest zewn¦trznym momentem zakªócaj¡cym, ω(s) oznacza pr¦dko±¢ obrotow¡ silnika,
Jeq = J + JL ,
gdzie:
J , JL
oznaczaj¡ odpowiednio moment bezwªadno±ci waªu i obci¡»enia.
5
(4)
Polecenia:
•
v(t) ≡ 0
5% warto±ci
przyjmuj¡c wej±cie referencyjne jak na Rysunku 5 oraz szumów pomiarowych
dobierz regulator P tak, aby uchyb regulacji w stanie ustalonym nie przekraczaª
zadanej (dla wymuszenia b¦d¡cego skokiem jednostkowym)
•
napisz równanie opisuj¡ce prawo sterowania w dziedzinie czasu
sygnaª steruj¡cy
•
u(t))
dla przypadku
v(t) ≡ 0
oraz
t
(tj. algorytm generuj¡cy
v(t) 6= 0
zaimplementuj ukªad regulacji w ±rodowisku symulacyjnym MATLAB/Simulink i napisz
m-plik
ilustruj¡cy prac¦ ukªadu zamkni¦tego. Je»eli jako±¢ regulacji b¦dzie zadowalaj¡ca,
zaimplementuj regulator na platformie sprz¦towej. Nast¦pnie:
porównaj wyniki symulacyjne z wynikami otrzymanymi na obiekcie rzeczywistym,
wytªumacz przyczyn¦ ewentualnych ró»nic.
Rysunek 5: Sygnaª referencyjny
Zadanie 3: [2 pkt]
Przyjmij, »e wymagania odno±nie jako±ci regulacji zostaªy zmienione. Zakªada si¦, ze uchyb w
stanie ustalonym ma by¢ równy
0.
Polecenia:
•
czy regulator z zadania poprzedniego b¦dzie w stanie sprosta¢ takim wymaganiom? Odpowied¹ uzasadnij jako±ciowo w oparciu o wiedz¦ z poprzednich zaj¦¢,
•
zmodykuj regulator z zadania poprzedniego tak, aby speªniaª postawione wymagania,
•
napisz równanie regulatora w dziedzinie czasu dla przypadku
v(t) ≡ 0
oraz
v(t) 6= 0.
Jakie
cechy szczególne posiada wprowadzona modykacja wzgl¦dem regulatora z poprzednich
zaj¦¢?,
•
przed zaimplementowaniem regulatora na platformie sprz¦towej, sprawd¹ jego dziaªanie w
trakcie symulacji (wykorzystaj do tego celu kopi¦
•
m-pliku
z Zadania 1),
porównaj wyniki symulacji i rzeczywistej realizacji sterowania. Wyja±nij wyst¦puj¡ce ró»nice. Zwró¢ uwag¦ na przebieg sygnaªu steruj¡cego. Co mo»na o nim powiedzie¢?
6
Zadanie 4: [3 pkt]
Przyjmij trajektori¦ zakªóce« jak zaprezentowano na Rysunku 6.
Rysunek 6: Realizacja sygnaªu zakªócenia
Polecenia:
•
czy sygnaª steruj¡cy wchodzi w obszar nasycenia?
Je»eli tak, eksperymentalnie dobierz
parametry ltru przeciwnasyceniowego tak, aby mo»liwie zmniejszy¢ czas, kiedy nasycenie
wyst¦puje,
•
z czego wynika nasycenie sygnaªu steruj¡cego?
Wyja±nij, jak dziaªa ltr przeciwnasyce-
niowy.
•
czy ltr przeciwnasyceniowy poprawi prac¦ ukªadu regulacji z regulatorem P? Odpowied¹
uzasadnij,
•
zaimplementuj regulator na platformie sprz¦towej. Wykonaj eksperyment testuj¡cy dziaªanie ltru przeciwnasyceniowego poprzez przyªo»enie do waªu silnika zewn¦trznego momentu
zakªócaj¡cego.
Zadanie 5: [3 pkt]
Wymagania odno±nie jako±ci regulacji zostaªy ponownie zmienione. Wymagany jest bardzo krótki
czas regulacji oraz maªe przeregulowanie.
Polecenia:
•
zmodykuj struktur¦ regulatora z zadania poprzedniego (z ltrem przeciwnasyceniowym)
tak, aby mógª speªni¢ postawione wymagania (schemat),
•
napisz równanie opisuj¡ce prawo sterowania w dziedzinie czasu
oraz
v(t) 6= 0.
t
dla przypadku
v(t) ≡ 0
W obu przypadkach pomi« w strukturze ltr przeciwnasyceniowy. Krok ten
nie powoduje utraty na jako±ci przeprowadzonych rozwa»a«,
•
przed zaimplementowaniem regulatora na platformie sprz¦towej, sprawd¹ jego dziaªanie w
trakcie symulacji,
•
czy regulator dziaªa poprawnie na platformie sprz¦towej? Wyja±ni¢ przyczyn¦ ewentualnych nieprawidªowo±ci. W jaki sposób mo»na poprawi¢ prac¦ ukªadu?
7
Zadanie 6: (praca wªasna)
Przyjmuj¡c, »e szumy pomiarowe
v(t)
maj¡ charakter wysokocz¦stotliwo±ciowy, uzasadnionym
jest wprowadzenie ltru dolnoprzepustowego w celu redukcji ich wpªywu (penetracji ukªadu).
Niech zatem dana b¦dzie transmitancja opisuj¡ca dziaªanie ltru dolnoprzepstowego pierwszego
rz¦du:
Gf (s) =
gdzie: cz¦stotliwo±¢ odci¦cia ltru
Polecenia:
Przyjmuj¡c
1
ωc−1 s
+1
,
(5)
fc ∈ [2, 20] [Hz].
z(t) ≡ 0:
•
wª¡cz model ltru do struktury ukªadu sterowania (schemat i implementacja)
•
niezmieniaj¡c warto±ci wzmocnie« regulatora sprawd¹ jak zmiany cz¦stotliwo±ci
fc
wpªyn¡
na parametry jako±ciowe odpowiedzi ukªadu regulacji. W trakcie symulacji obserwuj porównawczo (na dodatkowym wykresie w tym samym oknie) sygnaª przed ltrem i za ltrem
•
czy projektuj¡c ukªad regulacji mo»na podej±¢ do projektu regulatora i ltru pomiarowego
w p¦tli sprz¦»enia zwrotnego jako osobnych (rozª¡cznych) zagadnie«? Czy te» nale»y problem rozwa»a¢ ª¡cznie? Odpowied¹ uzasadnij jako±ciowo na bazie poczynionych obserwacji.
Literatura
[1] Materiaªy do ¢wicze« audytoryjnych z przedmiotu Podstawy Automatyki, 2015.
[2] Materiaªy wykªadowe z przedmiotu Podstawy Automatyki, 2015.
[3] C. Bohn and D. Atherton. An analysis package comparing PID anti-windup strategies, 1995.
[4] J. J. Distefano, A. J. Stubberud, and I. J. Williams.
Control Systems.
Schaum's Outline of Feedback and
McGraw-Hill Professional, 2nd edition, 1997.
[5] G. Grimm, J. Hateld, I. Postlethwaite, A. Teel, M. Turner, and L. Zaccarian. Antiwindup
for stable linear systems with input saturation: An lmi-based synthesis. 48(9), 2003.
8
Zaª¡cznik A
Parametry silnika (duży silnik)
Symbol
Rm
Km
Jm
Ml
rl
Description
Motor:
Motor armature resistance.
Motor back-emf constant (same as Kt in SI units).
Moment of inertia of motor rotor.
Inertial load disc mass
Inertial load disc radius
Value
Unit
2.675
0.0257
9.64e-6
0.033
0.0262
ohms
V/(rad/s)
kg.m2
kg
m
Parametry silnika (mały silnik)
Symbol
Rm
Km
Jm
Ml
rl
Description
Motor:
Motor armature resistance.
Motor back-emf constant (same as Kt in SI units).
Moment of inertia of motor rotor.
Inertial load disc mass
Inertial load disc radius
9
Value
Unit
8.70
0.0333
1.80e-6
0.033
0.0242
ohms
V/(rad/s)
kg.m2
kg
m