( )xcxT

Transkrypt

( )xcxT

Teoria i metody optymalizacji
Modelowanie matematyczne jako podstawa obliczeń naukowotechnicznych:
Wybór modelu opisowego, a w konsekwencji struktury
matematycznej modelu jest w znacznym stopniu arbitralny,
Struktura matematyczna uŜyta do modelowania powinna by
skończenie wymiarowa – tzn.: wyczerpująco opisana za pomocą
skończonej liczby parametrów,
Kryteria oceny modelu są ściśle związane z jego przeznaczeniem.
Zadanie programowania liniowego PL
max f (x ) = cT x
przy ograniczeniach:
A1 x ≤ b1
A2 x ≥ b2
x ≥0
dim x=n, dim c=n
Macierze A1, A2 odpowiadają za współczynniki w m1 i m2
ograniczeniach
dim A1 =[m 1 x n], dim A2 =[m 2 x n]
Wektory b1, b 2 odpowiadają za prawe strony ograniczeń
dim b1=m1, dim b2=m2
Wniosek:
Model uznany za adekwatny w jednym zastosowaniu moŜe się
okazać nieadekwatny w innym.
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Automatyka i Robotyka
Zadanie programowania liniowego - przykłady
max x0 = 2x1 + 1x2
x∈ X
Przykład III
Maksymalizacja zysków w procesie produkcji w fabryce papieru.
x1 + x2 ≤ 5




X =  x : − x1 + x2 ≤ 0 , x ≥ 0
 6 x + 2 x ≤ 21

1
2


Przykład I System produkcji – maksymalizacja zysku
Przykład II
System cięcia surowca
Cel: Optymalny poziom produkcji papieru niskiej i wysokiej jakości
przy uwzględnieniu ograniczeń.
min x0 = 0.3 x1 + 0.6 x2 + 0.2 x3
x∈X
 7 x1 + 3x2 + 0 x3 ≥ 2100

X =  x : 0 x1 + 1x2 + 2 x3 ≥ 1200

x1 , x2 , x3 ≥ 0, x ∈ Z 3

Zakład przemysłowy produkuje papier niskiej i wysokiej jakości. Do produkcji
wykorzystywane są następujące składniki:
pulpa drzewna
chemikalia
szmaty lniane
woda
Koszt wyprodukowania jednostki papieru:
Ceny surowców kształtują się
następująco:
Surowiec
Cena jednost.
[zł/jedn.]
Pulpa
3
Chemikalia
4
Szmaty lniane
9
Cena sprzedaŜy jednostki produktu końcowego wynosi :
Woda jest wolna od opłat.
Jej zuŜycie jest nielimitowane.
W zaleŜności od tego, czy
produkowany
jest papier niskiej, czy wysokiej
jakości zuŜywana jest róŜna
ilość surowców.
Surowiec/jedn
ostkę
Jakość papieru
Niska
Wysoka
Pulpa
1,10
1,50
Chemikalia
0,10
0,20
Szmaty
0,10
0,40
niskiej jakości wynosi - 1,8 [zł],
wysokiej jakości - 1,5 [zł].
10,0 [zł] dla produktu niskiej jakości
16,5 [zł] dla produktu wysokiej jakości.
Efektem ubocznym przy produkcji papieru są ścieki. Podczas wytwarzania
jednostki papieru niskiej jakości powstają 3 jednostki ścieków, zaś w przypadku
papieru o wysokiej jakości powstaje 6 jednostek ścieków.
Część ścieków poddawana jest procesowi oczyszczania w wyniku czego ilość
zanieczyszczenia jest redukowana o 50%. Pozostała część ścieków jest
odprowadzana do kanałów. Koszt tych operacji przedstawia się następująco:
Oczyszczanie ścieków powstałych przy produkcji papieru niskiej jakości = 0,11
[zł] na jednostkę produkcyjną,
oczyszczanie ścieków powstałych przy produkcji papieru wysokiej jakości =0,12
[zł] na jednostkę produkcyjną,
Koszt odprowadzenia jednostki ścieków do kanałów = 0,3 [zł].
Definicja problemu programowania liniowego PL
Proces produkcyjny obarczony jest z góry nałoŜonymi ograniczeniami:
Zakład moŜe zakupić maksymalnie 50 jednostek pulpy drzewnej
Maksymalna przepustowość oczyszczalni ścieków wynosi 60 jednostek
Ze względu na kooperację zakład musi wytworzyć przynajmniej 12
jednostek papieru niskiej jakości
Cel: znalezienie optymalnego poziomu produkcji papieru niskiej i wysokiej
jakości, takiego aby zysk przedsiębiorstwa był maksymalny.
Uwzględnić naleŜy wszystkie koszty generowane przez proces
produkcyjny oraz ograniczenia tegoŜ procesu.
Wektor zmiennych decyzyjnych:
gdzie:
x = [ x1 , x2 , x3 , x 4 ]T
- wielkość produkcji papieru niskiej jakości
x1
x2
x3
x4
-wielkość produkcji papieru wysokiej jakości
-ilość oczyszczanych ścieków przy produkcji papieru niskiej jakości
- ilość oczyszczanych ścieków przy produkcji papieru wysokiej jakości.
W celu znalezienia maksymalnego dochodu , naleŜy zmaksymalizować
funkcję celu przedstawiającą dochód zakładu produkcji papieru.
Pulpa drzewna
(koszt jednostki 3)
Chemikalia
(koszt jednostki 4)
Szmaty lniane
(koszt jednostki 9)
Wyznaczenie funkcji celu i ograniczeń zadania produkcji papieru
10x1 + 16,5 x2
1,1x1
0,1x1
0,1x1
1,5x2
Koszt produkcji
jednostki papieru
niskiej jakości 1,8
3x1-x3
x1
0,2x2
0,4x2
1,8 x1 + 1,5x2
3 ⋅ 1,1x1 + 4 ⋅ 0,1x1 + 9 ⋅ 0,1x1
Koszt produkcji
jednostki papieru
wysokiej jakości 1,5
3x1
6x2
x3
x4
Koszt oczyszczania jednostki
ścieków przy produkcji papieru
niskiej jakości 0,11
dochód
koszty produkcji
koszty materiałów do produkcji papieru niskiej jakości
3 ⋅ 1,5x2 + 4 ⋅ 0,2 x2 + 9 ⋅ 0,4 x2 koszty materiałów do produkcji papieru wysokiej jakości
0,11x3 + 0,12 x4
6x2-x4
koszty oczyszczania ścieków
0 ,3[(3 x 1 − x 3 ) + 0 ,5 x 3 + (6 x 2 − x 4 ) + 0 ,5 x 4 ]
Koszt oczyszczania jednostki
ścieków przy produkcji papieru
wysokiej jakości 0,12
0,5x3
x2
koszt odprowadzenia ścieków
W celu znalezienia maksymalnego zysku, naleŜy maksymalizować funkcję celu w
postaci: dochód – koszty.
max F ( X ) = 10 x1 + 16,5 x2 − (1,8 x1 + 1,5 x2 ) − (3 ⋅1,1x1 + 4 ⋅ 0,1x1 + 9 ⋅ 0,1x ) +
0,5x4
X
− (3 ⋅1,5 x2 + 4 ⋅ 0,2 x2 + 9 ⋅ 0,4 x ) − (0,11x3 + 0,12 x4 ) +
− (0,3[(3 x1 − x3 ) + 0,5 x3 + (6 x2 − x4 ) + 0,5 x4 ]) =
Cena sprzedaŜy
10
Koszt jednostki
usuwanych ścieków 0,3
Cena sprzedaŜy
16,5
Zatem funkcja celu jest postaci:
Zadanie maksymalizacji zysku produkcji papieru
max F ( x) = 2,7 x1 + 4,4 x2 + 0,04 x3 + 0,03x4
max x0 = 2.7 x1 + 1.5 x2 + 0.04x 3 + 0.03 x4
x∈ X
x∈X
Uwzględniając następujące ograniczenia X:
1,1x1 + 1,5 x2 ≤ 50
maksymalna ilość pulpy
maksymalna przepustowość oczyszczalni ścieków
wymaganie nieujemnego przepływu
3 x1 − x3 ≤ 0
wymaganie nieujemnego przepływu
6 x2 − x4 ≤ 0
wymaganie wyprodukowania określonej liczby
papieru niskiej jakości
x1 ≥ 12
Wymaganie produkowania określonej liczby papieru
wysokiej jakości:
x2 ≥ 0
= 2,7 x1 + 4,4 x2 + 0,04 x3 + 0,03 x4
x3 + x4 ≤ 60
 1.1x1 + 1.5 x2 ≤ 50 


x1 + x2 ≤ 60


3x1 − x3 ≥ 0, x ≥ 0


6 x2 − x4 ≥ 0




x1 ≥ 12
Przykład zadania programowania nieliniowego
Przykład IV. Zadania sterowania siecią dystrybucji wody minimalizujące
zuŜycie energii elektrycznej
Zadanie programowania nieliniowego PN
 
min f (x) = f  x 
∧
x∈X
Dana jest sieć dystrybucji wody w postaci:
m- węzłów,
s - odbiorców z odpowiednimi potrzebami, w których utrzymywane jest
s
odpowiednie ciśnienie oraz n łuków, σ ∈ R
kaŜdy łuk „i” charakteryzuje się przepływem yi: y∈ R n
Opis sieci:
spadek ciśnienia xi na łuku „i”: x∈ R n
xi = ri yi2 sgn yi + d i
gdzie: ri- opór hydrauliczny łuku „i”
di- róŜnica wysokości geodezyjnych łuku „i”
{
}
X = x g i (x) ≤0, i =1,...,m
Zadanie programowania
nieliniowego polega na znalezieniu wektora zmiennych
∧
decyzyjnych x , naleŜącego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych X w postaci:
takiego, Ŝe dla
∀x∈ X
∧
f  x  ≤ f (x )
 
Ograniczenia wynikające ze struktury sieci:
Ay =σ
I prawo Kirchhoff’a:
A – macierz incydencji dla węzłów sieci wodociągowej,
II prawo Kirchhoff’a:
Bx=0
B – macierz oczkowa dla węzłów sieci wodociągowej.
Przykład V: Znaleźć najlepszą liniową aproksymację nieznanej funkcji
określonej poprzez tabelę 20 pomiarów.
Sterowanie siecią dystrybucji wody minimalizujące zuŜycie energii
elektrycznej
n
min
Wyznaczyć optymalne wartości wektora współczynników b=[b1 , b 2, b 3, b4] formy liniowej :
f ( y ) = ∑ f i ( yi )
y = bT u
i =1
f i ( yi ) = xi yi = ri y sgn yi + d i yi
gdzie: u - wektor wielkości sterujących, y - wektor wielkości wyjściowych
3
i
gdzie:
Dane: tabela z 20 pomiarami wektora u wielkości sterujących oraz wektora wielkości
~y i = 1,...,20
wyjściowych
i
Ay =σ
dla następujących kryteriów jakości:
Bx=0
1.
xi = ri yi2 sgn yi + d i
y∈ R n
∑
σ ∈R s
x∈ R n
minimum sumy wartości bezwzględnych róŜnic między wartościami wektora wyjść a
wartościami otrzymanymi z modelu liniowego:
20
~
min [ f (b ) =
y − y (b )
i
i
i =1
yi (b)
gdzie:
- wartości zmierzone wielkości wyjściowych
i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie
modelu
yi (b ) = b1u1i + b2 u 2i + b3u 3i + b4 u 4 i
Zadanie trudne do rozwiązania, poniewaŜ funkcja celu nie jest róŜniczkowalna.
RównowaŜne zadanie programowania liniowego
-
Drugie kryterium jakości
zi = ~
y i − y i (b )
Wprowadzono nową zmienną:
2. minimum sumy kwadratów róŜnic między wartościami wektora wyjść a
wartościami otrzymanymi z modelu liniowego:
Zwiększenie wymiaru zadania: 24 zmienne niezaleŜne
20
2
min [ f (b) = ∑ ( ~
y i − y i (b ))
20
min f (b) = ∑ z i
i =1
i =1
gdzie:
~y i = 1,...,20
- wartości zmierzone wielkości wyjściowych
i
yi (b)
− zi ≤ ~yi − b1u1i − b2 u 2i − b3u 3i − b4 u 4i ≤ zi
modelu
dla i=1,...,20
- i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie
y i (b )= b1u1i + b2u 2i + b3u3i + b4 u 4i
Zadanie programowania liniowego:
Zadanie programowania nieliniowego:
-
funkcja celu jest wypukła
funkcja celu jest wypukła
-
rozwiązano metodą dwufazową simpleks..
rozwiązano metodą gradientów sprzęŜonych w wersji Polak’a-Ribiere’y.
Wektor b optymalnych wspó
współczynnikó
czynników :
b1 = 51,87
b1 = 39,28
b2 = 1,232 b3 = −0,122 b4 = −1,08
b2 = 1,07
b3 = 0,16
b4 = −0,94
Wyniki identyfikacji zaleŜą od wyboru kryterium optymalizacji i przyjętej
dokładności obliczeń.
Przykład III
Zadanie programowania ilorazowego:
extr f ( x ) =
Optymalizacja planu produkcji przedsiębiorstwa, w którym ilość
zanieczyszczeń przypadająca na jednostkę zysku będzie najmniejsza.
c x + c0
d T x + d0
T
Surowiec
S!
S2
f : X → R1
c ≥ 0, d > 0, x > 0
c∈ R d ∈ R x∈ R
n
oraz
Zysk jedn.
[zł/jedn. wyrobu]
Emisja
zanieczyszczeń
[kg/jedn. Wyrobu]
n
b∈ R
m
Warunki istnienia rozwiązania:
•zbiór rozwiązań dopuszczalnych problemu jest ograniczony
•mianownik funkcji celu jest dodatni dla wszystkich rozwiązań dopuszczalnych.
200
100
3
4
Zapas
surowca
4
8
n
A x≤b
dim A=[mxn]
ZuŜycie surowca [kg/jedn.
Wyrobu]
W1
W2
1
1
2
4
Całkowita emisja zanieczyszczeń:
3 x1 + 4 x2
Zysk z produkcji wyrobó
wyrobów W1 i W2:
200 x1 + 100 x2
min z =
x∈ X D
3x 1 + 4x 2
200x 1 + 100 x2
przy ograniczeniach na surowce S1 i S2:
x1 + x2 ≤ 4 



X D =  x 4 x1 + 2 x2 ≤ 8 
 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Przykład VI- Symulacja ruchu ramienia robota przemysłowego
Adekwatny model matematyczny dla szerokiej klasy obiektów sterowania- to układ równań
róŜniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu.
W tym celu:
1.
Konkretne ustalenie liczby równań
2.
Oznaczenie wartości parametrów tych równań
3.
Ustalenie warunków początkowych
4.
JeŜeli to moŜliwe - uproszczenie modelu do postaci równań liniowych
5.
Poszukiwanie rozwiązania, minimalizującego błędy, wynikające z opisu w postaci modelu
matematycznego – układu równań róŜniczkowych .
Numeryczne rozwiązanie równań róŜniczkowych poprzez:
Zastąpienie pochodnych – ilorazami róŜnicowymi
•
Rozwiązanie wynikającego z tego faktu układu równań liniowych.
•
Minimalizacja błędu dla układu równań róŜniczkowych.
Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych,
Rozwiązywanie układu nieliniowych równań algebraicznych,
Aproksymacja i interpolacja funkcji jednej i wielu zmiennych,
RóŜniczkowanie funkcji jednej i wielu zmiennych,
Całkowanie układów równań róŜniczkowych zwyczajnych,
Rozwiązywanie zadań optymalizacji liniowej,
Rozwiązywanie zadań optymalizacji nieliniowej.
Zadanie numeryczne – to proces przetwarzania pewnego elementu zbioru
danych D w taki element zbioru wyników W, który spełnia zadane wymagania
R1, R2,….
Układ
{D,W , R1 , R2 ,...}
np.: Program PLANTOUR – system optymalnego planowania transportu
Program CARMANAGER – system zarządzania parkingiem
Program TRACTMANAGER – inteligentne sterowanie flotą
Rozwiązywanie problemów technicznych – to umiejętność sprowadzania tych
zadań do standardowych problemów numerycznych, takich jak:
Przykład VIII –
Zadania klasy VRP
np..: Firma CorbitConnect - obsługa rynku dostaw
np.: - procedury logistyczne:
- Route scheduling, optimisation and disposition
- Fleet management and controlling
- Fleet controlling
- Mobile navigation with tour management
- Mobile tour management
Proces symulacji:
•
Przykład VII- Zadanie lokalizacji magazynu i ustalania tras dostaw
optymalizacji sieci tras dostaw z wyborem najlepszego połoŜenia dla
magazynu
To klasa zadań numerycznych.

( )xcxT

Transkrypt

Podobne dokumenty

Cennik - auros.com.pl

Plakat Drzwi Otwarte 2016

Teoria i metody optymalizacji 1

Metody optymalizacji 1

Zadanie programowania liniowego cz.2

Przykłady

Wyniki kolokwium

EG-AUTOMATYKA Sp. z o.o STANOWISKO ELEKTROMONTER

mgr inż. M. Kowalczyk UAN-KZ-7210/105/87 mgr inż. A. Kozłowska