Metody optymalizacji 1

Metody optymalizacji
Programowanie liniowe - podsumowanie
Twierdzenie 6.1
KaŜde bazowe rozwiązanie dopuszczalne jest punktem
wierzchołkowym zbioru X.
Istnieje punkt wierzchołkowy zbioru X w którym funkcja
celu zadania PL przyjmuje maksimum
KaŜdemu punktowi wierzchołkowemu zbioru X odpowiada
m wektorów liniowo niezaleŜnych z danego zbioru n
wektorów związanych z tym punktem.
Niech będzie dany układ równań liniowych
Ax=B
gdzie jest macierzą mxn, dim x=m, (A)=m, n>m. Jeśli istnieje
rozwiązanie dopuszczalne układu równań tzn. takie, Ŝe x>=0 to
istnieje równieŜ bazowe rozwiązanie dopuszczalne tzn. x=[xB,0]
Twierdzenie 6.2
Rozwiązanie dopuszczalne x zadania programowania liniowego
jest punktem wierzchołkowym zbioru rozwiązań dopuszczalnych
XOL wtedy i tylko wtedy gdy odpowiada mu bazowe rozwiązanie
dopuszczalne tzn. x=[xB,0]
Metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Telekomunikacja
Metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Telekomunikacja
Przypadki szczególne cd.
Rozwiązania optymalne
II. Zadanie programowania liniowego – zadanie nieograniczone
Twierdzenie 6.3
Twierdzenie 6.4
Jeś
Jeśli zadanie programowania liniowego PL posiada rozwią
rozwiązanie optymalne i
wszystkie rozwią
rozwiązania bazowe są
są niezdegenerowane to za pomocą
pomocą algorytmu
Jeśli zadanie PL jest nieograniczone, to istnieją rozwiązania
bazowe dopuszczalne x B oraz wektor y K taki, Ŝe:
simpleks uzyskuje się
się rozwią
rozwiązanie optymalne po co najwyŜ
najwyŜej
y0 k < 0 i yik ≤ 0 dla i = 1,..., m
Wówczas zbiór rozwiązań jest pusty.
n
 m 
 
min x0 = − x1 − x2 ,
Przykład:
iteracjach.
− x1 − x2 ≤ 2
− x1 + x2 ≤ 1
x1 , x2 ≥ 0
Metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Telekomunikacja
Metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Przypadki szczególne cd.
III. Zadanie programowania liniowego – posiadające nieskończoną ilość
rozwiązań optymalnych na zbiorze ograniczonym
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Telekomunikacja
Przypadki szczególne cd.
III. Przykład gdy jest wiele rozwiązań optymalnych na zbiorze ograniczonym
max x0 = 4x1 + 2 x2
x∈X
Ten przypadek wystąpi wtedy, gdy moŜna znaleźć tablicę simpleksową, której
odpowiada optymalne rozwiązanie bazowe, takie Ŝe:
yi 0 ≥ 0 dla i = 1,..., m oraz y0 j ≥ 0 dla j = 1,..., n
i istnieje para
(i , j ), i ∈ {1,..., m},
dla której:
0
0
0
 −x +
X = x : 1
 2 x1 +
x2
x2
≤ 4

, x ≥ 0
≤ 6

x4
x2
x0
12
2
0
1
x3
7
0.5
1.5
x2 4.66 0.33 0.66
1
x1
3
0.5
0.5
x1 0.66 0.33 0.5
x1
x2
x0
0
-4
-2
x3
4
-1
x4
6
2
x0
12
x4
x3
2
0
j 0 ∈ {1,..., n}
∧1
y0 j = 0, yi 0 > 0 i yi
0
0
j
0 0
>0
•1 rozwiązanie bazowe optymalne w: R 2
Dla przestrzeni o wymiarze n rozwiązanie optymalne jest kombinacją wypukłą
wierzchołków xi naleŜących do zbioru optymalnego.
∧
x=
x = [3, 0]T
∧2
2 14
x = [ , ]T
3 3
Zadanie posiada dwa dopuszczalne bazowe rozwiązania optymalne. Odpowiadają one dwóm
wierzchołkom w zbiorze rozwiązań optymalnych.
∧
p
∧
i
∑λ x
i
i =1
p
gdy
∑λ
i
Zbiór rozwiązań optymalnych
= 1 , λi ∈ [0,1], i = 1,..., p
{
i =1
!! Dla rozwiązania zdegenerowanego, przypadek ten moŜe zaistnieć równieŜ
pod innymi warunkami.
Metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
•2 rozwiązanie bazowe optymalne w: R
2
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Telekomunikacja
}
∧
2
14


X = x : x = λx1 + (1 − λ ) x 2 , λ ∈ [0,1] =  x : x = (3λ + (1 − λ )), (0 + (1 − λ )), λ ∈ [0,1]
3
3


2 7
14 14 

=  x : x = ( + λ ), ( − λ ) .
3 3
3 3 

Metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Telekomunikacja
1
Metody optymalizacji
Przypadki szczególne cd.
IV. Zadanie programowania liniowego – posiadające nieskończoną ilość
rozwiązań optymalnych na zbiorze nieograniczonym
IV. Zadanie programowania liniowego – posiadające nieskończoną ilość
rozwiązań optymalnych na zbiorze nieograniczonym cd
Rozwiązanie optymalne zadania PL przyjmuje postać parametryczną:
Dla n=2 równanie parametryczne prostej,
Dla n=3 równanie parametryczne płaszczyzny itd.
Przykład:
Ten przypadek wystąpi wtedy, gdy moŜna znaleźć tablicę simpleksową, której
odpowiada optymalne rozwiązanie bazowe, takie Ŝe:
x∈X
yi 0 ≥ 0 dlai = 1,..., m oraz y0 j ≥ 0 dla j = 1,..., n
dla której, Ŝe istnieje j0 takie, Ŝe
yi0=0 (degeneracja) bądź
y 0 j0 = 0
i dla wszystkich „i” zachodzi
y 0 j0 ≤ 0

 −2x + x2 ≤ 1
X =x: 1
, x ≥0

 −1x1 + 2x2 ≤ 4
max x0 = −2x1 + 4 x2
x1
x2
x4
x3
x0
0
2
-4
x0
4
-6
4
x0
x3
1
-2
1
x2
1
-2
1
x2 2.33 0.66 -0,33
x4
4
-1
2
x4
2
3
-2
x1 0.66 0.33 -0,66
Bazowe rozwiązanie optymalne:
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Telekomunikacja
Metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
x4
x3
2
0
∧
2 7
x = [ , ]T
3 3
Zbiór rozwiązań optymalnych jest półprostą:
Metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
8
∧
∧
2 1


X =  x ∈ R 2 : x = x + [ , ]T t , t ≥ 0
3 3


Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Telekomunikacja
V. Zadanie programowania liniowego – zbiór rozwiązań dopuszczalnych
jest zbiorem pustym - brak rozwiązania
X =φ
W tej wersji metody prymalnej simpleks algorytm nie potrafi stworzyć pierwszego
rozwiązania bazowego dopuszczalnego z powodu wektora b, który posiada składowe
ujemne.
Przykład:
max x0 = x1 + 4 x2
x1
x2
x0
0
-1
-4
x3
4
1
1
x4
-2
1
-1
x∈X
 x + x2 ≤ 4

X = x : 1
, x ≥ 0
 x1 − x2 ≤ −2

 b  + 4 
b =  1 =  
b2  − 2 
Nie jest spełniony warunek dopuszczalności pierwszej tablicy simpleks
Krok 1. (start). Rozpoczynamy algorytm od znalezienia pierwszego rozwiązania bazowego
dopuszczalnego. NaleŜy sprawdzić dopuszczalność
rozwiązania:
yi 0 ≥ 0 dla i = 1,..., m
Metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Telekomunikacja
2