Ćwiczenia otwierające „Na układy nie ma rady?”

Ćwiczenia otwierające „Na układy nie ma rady?”
Zadanie 1
1. Przetłumacz treść zadania na język polski,
2. Rozwiąż zadanie,
3. Rozwiązanie zadania należy podać w wybranym wcześniej języku.
Task 1. Squares Once! (5 points)
ଵ
The ratio of the areas of two squares is , while their circumferences differ by 32. Calculate
ଽ
the lengths of their diagonals
Aufgabe 1. Quadrate , Auf Einmal! (5 Punkte)
ଵ
Das Verhältnis der Flächen von zwei Quadraten ist gleich , ihre Umfänge dagegen sind um
ଽ
32 unterschiedlich. Berechne die Längen von Diagonalen dieser Quadrate!
Exercice 1. Carrés une fois! (5 points)
ଵ
Le rapport des aires de deux carrés égale ଽ, cependant leurs périmètres différent de 32.
Calcule les longeurs des diagonales de ces carrés.
Tarea1. Cuadrados una vez! (5 puntos)
ଵ
La relación de dos cuadrados es igual ଽ, sin embargo sus perímetros difieren de 32. Calcula
las longitudes de diagonales de estos cuadrados.
Esercizio 1. Quadrato uno! (5 punti)
ଵ
Il rapporto delle superfici di due quadrati è ଽ, invece le loro circonferenze differenziano di 32.
Calcola le lunghezze delle diagonali di questi quadrati.
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 1
Zadanie 2. Proste i punkty (4 punkty)1
Dane są punkty:
A = (− 2;−1)
B = (2; 4 )
C = (3; 0 ) .
Wyznacz równania prostych:
l1 - zawierającej punkty A i B ,
l 2 - przechodzącej przez C i równoległej do l1
l 3 - przechodzącej przez C i prostopadłej do l1
Wykonaj rysunek do zadania
Zadanie 3. Układ z wartością bezwzględną raz! (5 punktów)2
 y − 2x + 1 = 0
Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań: 
 y − x −1 = 0
Zadanie 4. Liczby i cyfry raz! (4 punkty)3
Suma liczby dwucyfrowej i liczby powstałej po przestawieniu jej cyfr jest równa 121, zaś
różnica tych liczb to 63.
Jakie to liczby?
1
Zadanie własne Anny Rybak
2
Zaczerpnięto z [1] - Zadanie 6.42, strona 71
3
Zadanie własne Anny Rybak
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 2
ROZWIĄZANIA ORAZ SCHEMAT PUNKTACJA ZESTAWU
Ćwiczeń otwierających „Na układy nie ma rady?”
Zadanie 1. Kwadraty raz! (5 punktów)4
Stosunek pól dwóch kwadratów jest równy
1,
9
natomiast ich obwody różnią się o 32. Oblicz
długości przekątnych tych kwadratów.
Przyjmujemy oznaczenia:
a - długość boku mniejszego kwadratu, a > 0
b - długość boku większego kwadratu, b > 0
Wtedy: Warunek: „stosunek pól dwóch kwadratów jest równy
1
” zapisujemy w postaci:
9
2
1
a
  = .
9
b
Natomiast informację:
„Obwody kwadratów różnią się o 32” wyraża równość: 4b − 4a = 32 .5
6
Otrzymane równości zapisujemy w postaci układu równań i rozwiązujemy ten układ
  a 2 1
   =
 b
9 ⇔
 4b − 4 a = 32
4
5
6
1
a
 a 1
 =−
=
lub

 b 3
b
3 - sprzeczne z założeniem,
b − a = 8
b − a = 8
Zadanie własne Anny Rybak
Ilustracja do rozwiązań we wszystkich językach
Rysunek wykonany za pomocą programu GEONExT przez Helenę Ewert - Fechner
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 3
b = 3a
b = 3a
b = 3a
a =4
więc 
zatem 
stąd 
ostatecznie: 
b = 12
3a − a = 8
2a = 8
a = 4
Odpowiedź: Przekątna mniejszego kwadratu to 4 2 , zaś większego to 12 2 .
Punktacja:
Czynność
Etapy rozwiązania
Liczba
punktów
A
Przetłumaczenie zadania na język polski
1
B
Oznaczenie niewiadomych w języku obcym, podanie założeń
1
C
Ułożenie układu równań
1
D
Rozwiązanie układu równań
1
F
Podanie odpowiedzi w języku obcym
1
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 4
Task 1. Squares Once! (5 punktów)
Let us designate:
Then:
a – length of the side
of the smaller square,
The condition “the ratio of the areas of two squares is
a>0
1
” write as:
9
2
b – length of the side
of the bigger square,
b>0
1
a
  =
9
b
While the equation 4 b − 4 a = 32 represents the expression “their
circumferences differ by 32”
Let us write the obtained equations as a system of equations and solve the system
  a 2 1
1
a
 a 1
b = 3a
 =−
   =
=
 b
3 - contradicts the assumption, thus 
9 ⇔  b 3 Or  b
3a − a = 8
b − a = 8
b − a = 8
 4b − 4 a = 32
b = 3a
b = 3a
a =4
therefore 
hence 
finally: 
b = 12
2a = 8
a = 4
Answer: The diagonal of the smaller square is 4 2 and that of the bigger one is 12 2
Scores:
Activity
Stages of solutions
Points
A
Task translation into Polish
1
B
Designation of the unknowns in a foreign language,
presenting assumptions
1
C
Arranging systems of equations
1
D
Solving the systems of equations
1
E
Giving the answer in a foreign language
1
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 5
Aufgabe 1. Quadrate, Auf einmal! (5 Punkte)
Wir nehmen
Bezeichnungen an:
a - die Seitenlänge des
kleineren Quadrats,
Dann: Bedingung: „das Verhältnis der Flächen von zwei Quadraten
2
ist gleich
a>0
b - die Seitenlänge des
größeren Quadrats ,
1
a
1
” wir schreiben es folgend auf:   = .
9
9
b
Die Information dagegen: „die Quadratenumfänge sind um 32
unterschiedlich” drückt die Gleichheit aus: 4b − 4 a = 32 .
b>0
Die erhaltenen Gleichheiten schreiben wir in Form eines Gleichungssystems und dieses
System lösen wir auf folgende Weise:
  a 2 1
   =
 b
9 ⇔
 4b − 4 a = 32
 a 1
=
 b 3
b − a = 8
1
 a
=
−
oder  b
3 - unvereinbar mit Voraussetzung, also
b − a = 8
b = 3a

3a − a = 8
b = 3a
b = 3a
a =4
also 
daher 
schließlich: 
b = 12
2a = 8
a = 4
Antwort:
Die Diagonale des kleineren Quadrats ist 4 2 , des größeren dagegen ist 12 2 .
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 6
Punktwertung:
Tätigkeits
Etappe der Aufgabenlösung
Punktenzahl
nummer
A
Übersetzung der Aufgabe ins Polnische
1
B
Bezeichnung von Unbekannten in einer fremden Sprache,
Angabe von Voraussetzungen
1
C
Verlegung eines Gleichungssystems
1
D
Lösung eines Gleichungssystems
1
E
Antwortsangabe in einer fremden Sprache
1
Exercice 1. Carrés une fois! (5 points)
On admet les
désignations:
a - la longeur du
côté de plus petit
carré, a > 0
b - la longeur du
Alors: La condition:” Le rapport des aires de deux carrés égale
1
” on écrit
9
2
sous forme :  a  = 1 . Cependant l’information: „les périmètres des
9
b
carrés différent de 32.” exprime l’équation: 4 b − 4 a = 32 .
côté de plus grand
carré, b > 0
On écrit les équations reçues en forme de système d'équations et on calcule ce système
  a 2 1
1
a
 a 1
b = 3a
 =−
   =
=
 b
3 - contradictoire à la supposition, alors 
9 ⇔  b 3 ou  b
3a − a = 8
b − a = 8
b − a = 8
 4b − 4 a = 32
b = 3a
b = 3a
a =4
alors 
d’où 
définitivement: 
b = 12
2a = 8
a = 4
Réponse: La diagonale de plus petit carré c’est 4 2 , cependant de celui plus grand 12 2 .
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 7
Pointage:
Numéro
de
l’activité
Solution étape par étape
Points
A
Traduire en langue polonaise
1
B
Designer les inconnus en langue étrangère, formuler les
suppositions
1
C
Construire le système d'équations
1
D
Calculer le système d'équations
1
E
Ecrire la solution en langue étrangere
1
Tarea1. Cuadrados una vez! (5 puntos)
Establecemos que:
a - La longitud del
lado del cuadrado
menor a > 0
b - La longitud del
lado del cuadrado
mayor, b > 0
Entonces: Condición: “ la relación de superficie de dos cuadrados es igual
2
a
1
” lo que escribimos de la manera siguiente::   = . Sin embargo, la
b
9
información “Los perímetros de cuadrados difieren de 32” se explica por
este ecuación: 4 b − 4 a = 32 .
Las igualdades obtenidas las escribimos en forma de un sistema de ecuaciones y lo
solucionamos
  a 2 1
   =
 b
9 ⇔
 4b − 4 a = 32

1
a
 a 1
b = 3a
 =−

=
 b 3 o b
3 - contradictorio al principio, así pues 
3a − a = 8
b − a = 8 
b − a = 8
b = 3a
b = 3a
a =4
entonces 
resulta que 
definitivamente: 
b = 12
2a = 8
a = 4
Respuesta: La diagonal del cuadrado menor es 4 2 , del cuadrado mayor es 12 2 .
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 8
1
9
Puntuación:
Numero
de la
actividad
Etapas de la solución de la tarea
Cantidad
de
puntos
A
Traducción de la tarea al polaco
1
B
Establecer la incógnitas en un idioma extranjero, dar las
príncipes.
1
C
Establecer un sistema de ecuaciones
1
D
Solucionar el sistema de ecuaciones
1
E
Dar la respuesta en un idioma extranjero.
1
Esercizio 1. Quadrato uno! (5 punti)
Definiamo le
identificazioni:
Allora: Condizione: „Il rapporto delle superfici di due quadrati è
a - lunghezza del
scriviamo in forma:
quadrato minore, a > 0
b - lunghezza del
quadrato maggiore,
2
1.
a
  =
b
9
 
Invece l’informazione: „Le loro circonferenze differenziano di 32”
esprime l’uguaglianza: 4 b − 4 a = 32 .
b>0
Le uguaglianze ottenute scriviamo In forma di sistema di equazioni e lo risolviamo
  a 2 1
   =
 b
9 ⇔
 4b − 4 a = 32
b = 3a

3a − a = 8
 a 1
=
 b 3 oppure
b − a = 8
b = 3a
allora 
di cui
2
a
=
8

1 ,”
9
1
a
 =−
b
3 - contraddittorio alla premessa, dunque
b − a = 8
b = 3a
a =4
infine: 

b = 12
a = 4
Risposta: La diagonale del quadrato minore è 4 2 , invece di questo più grande è 12 2 .
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 9
Punteggio:
N.
attivita
FASI DELLA SOLUZIONE
Numero di
punti
A
Traduzione dell’esercizio in lingua polacca
1
B
Definizione dei valori cercati in lingua straniera, esprimere le
premesse
1
C
Stesura del sistema di equazioni
1
D
Risoluzione del sistema di equazioni
1
E
Dare la riposta In lingua straniera
1
Zadanie 2. Proste i punkty (4 punkty)
Punkty: A = (− 2; − 1) ; B = (2; 4 ) ; C = (3; 0 ) ; A ∈ l1 ∧ B ∈ l1 ⇒ pr . AB = l1 ; (C ∈ l 2 ) ∧ (l 2 l1 ) ;
C ∈ l 3 ∧ (l 3 ⊥ l1 )
l1 :
y = ax + b ; - A = (− 2; − 1) ∧ A ∈ l1 ⇒ − 1 = a ⋅ (− 2 ) + b ; i
B = (2; 4 ) ∧ B ∈ l1 ⇒ 4 = a ⋅ 2 + b
 − 1 = −2 a + b
, czyli
Otrzymujemy, więc układ równań: 
 4 = 2a + b
l2 :
5

a = 4
5
3
⇒ l1 : y = ⋅ x +

3
4
2
b =

2
y = cx + d ; Z równoległości prostych l1 oraz l 2 wynika równość ich współczynników
5
5
kierunkowych c = a , zatem c = , więc równanie prostej l 2 przybiera postać: y = ⋅ x + d .
4
4
C (3; 0 ) ∈ l 2 ,
zatem jego współrzędne muszą spełniać równanie tej prostej, otrzymujemy układ równań:
5

 c=4
, czyli

5
0 = ⋅ 3 + d

4
5

 c=4
⇒ l2 :

15
d = −

4
y=
5
15
⋅x−
4
4
l 3 : y = ex + f
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 10
Z prostopadłości prostych l3 oraz l1 wynika, że ich współczynniki kierunkowe odpowiednio
e oraz a spełniają warunek: a ⋅ e = − 1 ; C (3; 0 ) ∈ l 3 , zatem jego współrzędne muszą spełniać
 5
równanie tej prostej, otrzymujemy układ równań:  e ⋅ 4 = −1 , czyli
0 = 3e + f
⇒ l3 = −
4

e
=
−

5

12
f =
5

4
12
⋅x+
5
5
Odpowiedź: Równania prostych są następujące
5
3
5
15
4
12
l1 : y = x + ; l 2 : y = x − ; l 3 : y = − x +
4
2
4
4
5
5
Ilustracja graficzna7:
Punktacja:
Czynność
7
Etapy rozwiązania
Punkty
A
Wyznaczenie równania prostej
l1
1
B
Wyznaczenie równania prostej
l2
1
C
Wyznaczenie równania prostej
l3
1
Rysunek wykonany za pomocą programu CaRMetal przez Helenę Ewert - Fechner
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 11
D
Wykonanie rysunku do zadania
1
Zadanie 3. Układ z wartością bezwzględną raz! (5 punktów)
Rozwiązanie graficzne: 8
Rozwiązanie algebraiczne:
 x, dla x ≥ 0
, czyli:
x =
− x, dla x < 0
 y − 2 x + 1 = 0
 y − 2 x = −1
x = 2
Dla x ≥ 0 mamy: 
zgodne z założeniem.
⇔
⇔
−
y
+
x
=
−
1
y
=
3
 y − x − 1 = 0




2

 y − 2 x + 1 = 0
 y − 2 x = −1
x = 3
Dla x < 0 mamy: 
sprzeczne z założeniem.
⇔
⇔
1
y
+
x
−
1
=
0
−
y
−
x
=
−
1


y =

3


8
Rysunek wykonany za pomocą programu GEONExT przez Helenę Ewert - Fechner
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 12
x = 2
Zatem jedynym rozwiązaniem danego układu równań jest 
.
y = 3
Punktacja:
Czynność
Etapy rozwiązania
Liczba
punktów
A
Rozwiązanie I przypadku
1
B
Rozwiązanie II przypadku
1
C
Podanie odpowiedzi
1
D
Rozwiązanie graficzne
2
Zadanie 4. Liczby i cyfry raz! (4 punkty)
Przyjmujemy, że symbol ab = 10 ⋅ a + 1 ⋅ b
oznacza liczbę dwucyfrowa,
której cyfra dziesiątek jest równa a , zaś cyfra
jedności wynosi b .
Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami:
Niech:
Równość xy + xy = 121 jest zapisem
algebraicznym warunku „Suma liczby
dwucyfrowej i liczby powstałej po
przestawieniu jej cyfr jest równa 121”
x - oznacza cyfrę dziesiątek szukanej liczby
y - oznacza cyfrę jedności szukanej liczby
z warunków zadania mamy:
x ∈ N ∧ x ≤ 9;
y∈N ∧ y ≤9
xy - jest szukaną liczbą
yx - to liczba o przestawionych cyfrach
Zapis xy − yx = 63 oznacz, że różnica tych
liczb to 63
Otrzymaliśmy w ten sposób układ równań:
 xy + yx = 121 10 x + y + 10 y + x = 121  x + y = 11  x = 9
- zgodne z warunkami
⇔
⇔
⇔

 10 x + y − 10 y − x = 63
 xy − yx = 63
y = 2
x− y =7
zadania.
Odpowiedź: Szukana liczba to 92.
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 13
Punktacja:
Czynność
Etapy rozwiązania
Liczba
punktów
A
Oznaczenie niewiadomych, podanie założeń
1
B
Ułożenie układu równań
1
C
Rozwiązanie układu
1
D
Podanie odpowiedzi
1
Pakiet edukacyjny VII „Na układy nie ma rady?” klasa 1 szkoła ponadgimnazjalna
Strona 14