C:\Users\Seven\Documents\Moje d

Matematyka ZLic - 1. Rachunek zdań, rachunek zbiorów, relacje, funkcje
Rachunek zdań, kwantyfikatory, rachunek zbiorów
Zdaniem (w logice " 0 − 1" ) nazywamy takie zdanie oznajmujące, o którym potrafimy
jednoznacznie rozstrzygnąć na gruncie wiedzy jakiej to zdanie dotyczy, że jest albo
prawdziwe (ma wartość logiczną 1), albo fałszywe (ma wartość logiczną 0).
Przykłady
- zdania:
Kijów jest stolicą Ukrainy. (prawda 1)
Każda iczba parzysta jest podzielna przez 3. (fałsz 0)
- nie-zdania:
Czy Kijów jest stolicą Ukrainy?
Liczby parzyste są wesołe.
To zdanie jest fałszywe.
Ze zdań p, q można za pomocą spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych)
∼, ∧, ∨, ⇒, , budować zdania złożone:
negacja: ∼ p (albo ¬p) czytamy: "nieprawda, że p",
koniunkcja: p ∧ q czytamy: "p i q",
alternatywa: p ∨ q czytamy: "p lub q",
implikacja: p  q czytamy: "jeżeli p, to q",
równoważność: p  q czytamy: "p, wtedy i tylko wtedy gdy q".
Wartości logiczne zdań złożonych w zależności od wartości logicznych zdań składowych:
p q
∼ p p∧q p∨q p  q p  q
1 1
0
1
1
1
1
1 0
0
0
1
0
0
0 1
1
0
1
1
0
0 0
1
0
0
1
1
Tautologie (prawa rachunku zdań) to takie zdania złożone, które są prawdziwe przy
wszystkich mozliwych wartościach logicznych zdań składowych, np.:
1) p ∨∼ p (prawo wyłączonego środka),
2) ∼ p ∧∼ p (prawo niesprzeczności),
1
3) p ⇒ q (prawo tożsamości)
4) p ∼ ∼ p (prawo podwójnego przeczenia),
5) prawa pochłaniania:
p  p ∨ q,
p ∧ q  p,
6) prawa rozdzielności:
p ∧ q ∨ r  p ∧ q ∨ p ∧ r
p ∨ q ∧ r  p ∨ q ∧ p ∨ r
7) prawa de Morgana:
∼ p ∧ q ∼ p ∨∼ q
∼ p ∨ q ∼ p ∧∼ q
8) prawo transpozycji:
p  q  ∼ q ∼ p
9) prawo zaprzeczenia implikacji:
∼ p  q  p ∧∼ q
p  q ∼ p ∨ q
Alternatywa rozłączna p ⊻ q (czytamy: "albo p, albo q") jest zdefiniowana tak:
p ⊻ q  p ∧∼ q ∨ ∼ p ∧ q  p ∨ q ∧∼ p ∧ q.
Funkcja (forma) zdaniowa ze zmiennymi x ∈ X, y ∈ Y to takie wyrażenie, które po
wstawieniu za zmienne jakichkolwiek konkretnych elementów staje się zdaniem, np.;
ϕx : x > 3 dla x ∈ N, po podstawieniu za x liczb 1, 2, 3 daje zdania fałszywe, a po
podstawieniu 4, 5, 6, 7, . . . zdania prawdziwe,
ψx, y : x + y < 3 dla x ∈ N, y ∈ N daje zdania prawdziwe po podstawieniu za x, y liczb 1 i
1, a dla wszystkich innych par liczb naturalnych daje zdania fałszywe
Kwantyfikator ogólny ⋀ ("duża koniunkcja") to funktor zdaniotwórczy, który zamienia formę
zdaniową ϕx w zdanie:
⋀ ϕx , które czytamy: "dla każdego x ∈ A zachodzi ϕx".
x∈A
Kwantyfikator szczegółowy ⋁ ("duża aternatywa") to funktor zdaniotwórczy, który zamienia
formę zdaniową ϕx w zdanie:
⋁ ϕx , które czytamy: "istnieje x ∈ A, dla którego zachodzi ϕx".
x∈A
Np. dla A = a, b, c, d mamy:
⋀ ϕx  ϕa ∧ ϕb ∧ ϕc ∧ ϕd,
x∈A
2
⋁ ϕx  ϕa ∨ ϕb ∨ ϕc ∨ ϕd.
x∈A
Zdanie ⋀ ϕx oznacza. że x ∈ A : ϕx = A.
x∈A
Zdanie ⋁ ϕx oznacza. że x ∈ A : ϕx ≠ .
x∈A
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów:
∼ ⋀ ϕx  ⋁ ∼ ϕx,
x∈A
x∈A
x∈A
x∈A
∼ ⋁ ϕx  ⋀ ∼ ϕx.
Dla zbiorów A i B mamy:
A⊆B
⋀x ∈ A  x ∈ B
x
Suma zbiorów A i B to zbiór A ∪ B = x : x ∈ A ∨ x ∈ B.
Iloczyn mnogościowy (przekrój) zbiorów A i B to zbiór
A ∩ B = x : x ∈ A ∧ x ∈ B.
Różnica mnogościowa zbiorów A i B to zbiór
A ∖ B = x : x ∈ A ∧ x ∉ B.
Symetryczna różnica mnogościowa zbiorów A i B to zbiór
A −̇ B = A ∖ B ∪ B ∖ A.
Dla indeksowanej (”ponumerowanej”) elementami t ∈ T rodziny podzbiorów A t , t ∈ T
pewnego zbioru X definiujemy sumę uogólnioną
⋃ t∈T A t = x ∈ X : ⋁ t∈T x ∈ A t 
i podobnie przekrój uogólniony
⋂ t∈T A t = x ∈ X : ⋀ t∈T x ∈ A t .
Zbiory liczbowe
Używać będziemy następujących oznaczeń dla zbiorów liczbowych:
N = 1; 2; 3; 4; . . .  - zbiór liczb naturalnych,
Z = 0; 1 − 1; 2; −2; 3; −3; . . .  - zbiór liczb całkowitych,
Q =  kl : k ∈ Z, l ∈ N - zbiór liczb wymiernych,
R - zbiór liczb rzeczywistych,
R ∖ Q - zbiór liczb niewymiernych.
Mamy następujące inkluzje
NZQR
i wszystkie te zbiory są różne, gdyż np. −2 ∈ Z ∖ N, 23 ∈ Q ∖ Z,
2 ∈ R ∖ Q.
3
Iloczyn kartezjański zbiorów
Defincja
Parą uporządkowaną a, b elementów a ∈ X, b ∈ Y nazywamy dwuelementowy zbiór a, b,
z wyróżnionym w nim elementem poprzedzającym.
Formalnie:
a, b = a, b, a
Uwaga
Mamy zawsze a, b = b, a, ale a, b ≠ b, a, gdy tylko a ≠ b, np.dla pary nazwisko, imię,
mamy Bogdan, Marek ≠ Marek, Bogdan,
Definicja
Iloczynem kartezjańskim X × Y zbiorów X, Y nazywamy zbiór wszystkich par
uporządkowanych a, b takich, że a ∈ X, b ∈ Y, tj.
X × Y = a, b : a ∈ X, b ∈ Y.
Uwaga
Jeśli X ≠ Y, to X × Y ≠ Y × X.
Przykłady
1)
x
m
N × R =m, x : m ∈ N, x ∈ R
2)
4
m
x
R × N =x, m : m ∈ N, x ∈ R
3)
10
y5
-10
-5
0
5x
10
-5
-10
R 2 = R × R płaszczyzna
Uwaga
Iloczyn kartezjański X 1 × X 2 ×. . . ×X n zbiorów X 1 , X 2 , . . . , X n to zbiór n −ek uporządkowanych
x 1 , x 2 , . . . , x n , gdzie x 1 ∈ X 1 , x 2 ∈ X 2 , . . . , x n ∈ X n .
Relacje
Definicja
Relacją ρ w iloczynie kartezjańskim X × Y, tj. relacją między elementami x ∈ X, a elementami
y ∈ Y, nazywamy dowolny podzbiór tego iloczynu.
Piszemy xρy gdy x, y ∈ ρ i mówimy, że element x jest w relacji ρ z elementem y.
W sensie powyższej definicji relacja jest utożsamiana z wykresem.
Przykład
1. Niech relacja ρ w X × Y = 〈 − 4; 4〉 × R będzie zdefiniowana warunkiem: xρy  x 2 = y 4
5
3
2
y
1
-4
-2
0
2x
4
-1
-2
-3
xρy  x 2 = y 4
Relacje równoważności i porządku
Definicja
Relację ρ w iloczynie kartezjańskim X × X nazywamy:
1) zwrotną gdy ⋀ xρx
x∈X
2) symetryczną gdy ⋀ ⋀ xρy  yρx
x∈X y∈X
3) przechodnią gdy ⋀ ⋀ ⋀ xρy ∧ yρz  xρz
x∈X y∈X z∈X
4) antysymetryczną gdy ⋀ ⋀ xρy ∧ yρx  x = y
x∈X y∈X
5) liniową (spójną) gdy ⋀ ⋀ xρy ∨ yρx
x∈X y∈X
Przykłady
1. Relacja identyczności = w dowolnym zbiorze spełnia warunki 1),2),3) (także 4)) ale jeśli
ten zbiór ma co najmniej dwa elementy, to relacja = nie spełnia warunku 5) tj. nie jest spójna.
2. Relacja nieostrej nierówności  (oznaczana też symbolem ≤) w zbiorze liczb rzeczywistych
R spełnia warunki 1),3),4),5).
Definicja
Relację ρ w iloczynie kartezjańskim X × X nazywamy preporządkiem (quasi-porządkiem) w
zbiorze X, gdy jest zwrotna i przechodnia.
Przykład
Porządkujemy samochody ze względu na dwa kryteria "wyścigowe":
k 1 x − prędkość maksymalna, k 2 x − czas rozpędzenia do prędkości 100 km/h, dla
samochodu x. Powiemy, że samochód x jest "nie szybszy" niż y i napiszemy x ≲ y gdy:
6
k 1 x ≤ k 1 y oraz k 2 x ≥ k 2 y.
Relacja ≲ jest preporządkiem, lecz nie jest symetryczna, ani antysymetryczna, ani liniowa.
Definicja
Relację ρ w iloczynie kartezjańskim X × X nazywamy relacją równoważności
(równoważnością) w zbiorze X, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Uwaga
Każda relacja równoważności jest preporządkiem.
Przykłady
1. Relacja identyczności = w dowolnym zbiorze jest relacją równoważności.
2. Relacja ρ w N × N zdefiniowana warunkiem
mρn  3 ∣ m − n  ⋁ m − n = k
3
k∈Z
jest równoważnością, gdyż (ćwiczenia):
1) m − m = 0 = 3 ⋅ 0
2) m − n = 3k  n − m = 3−k
3) m − n = 3k ∧ n − p = 3l
 m − p = m − n + n − p = 3k + l
Relacja równoważności ρ w zbiorze X określa jednoznacznie rozbicie tego zbioru na
rozłączne klasy abstrakcji elementów względem tej relacji, tzn. podzbiory
x ρ = y ∈ X : xρy,
których sumą jest cały zbiór X :
⋃x ρ = X.
x∈X
Np. Dla przykładu powyżej
1 ρ = 1; 4; 7; 10; . . .  = 4 ρ = 7 ρ =,
2 ρ = 2; 5; 8; 11; . . .  = 5 ρ = 8 ρ =,
3 ρ = 3; 6; 9; 12; . . .  = 6 ρ = 9 ρ =
Definicja
Relację ρ w iloczynie kartezjańskim X × X nazywamy porządkiem częściowym
(porządkiem) w zbiorze X, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Jeśli ponadto
7
jest to relacja liniowa, to nazywamy ją porządkiem liniowym.
Każdy porządek częściowy jest preporządkiem.
Każdy porządek liniowy jest porządkiem częściowym, ale nie na odwrót.
Przykłady.
1. Relacja nieostrej nierówności  (oznaczana też symbolem ≤) jest porządkiem liniowym w
zbiorze R.
2. Relacja  określona warunkiem
n ∈Z
mnm∣n m
jest porządkiem częściowym w zbiorze N, ale nie liniowym, bo np. ∼ 2 ∣ 3 ∨ 3 ∣ 2
3. Relacja ≤ między parami liczb (punktami na płaszczyźnie) zdefiniowana warunkiem
x, y ≤ u, v  x ≤ u ∧ y ≤ v
jest porządkiem częściowym w zbiorze R 2 , ale nie liniowym.
4. Relacja ≼ między parami liczb zdefiniowana warunkiem
x, y ≼ u, v  2x + 5y ≤ 2u + 5v
nie jest porządkiem w zbiorze R 2 (bo nie jest antysymetryczna) ale jest spójna (jest to
preporządek liniowy).
Porządek i kresy zbiorów
Rozważmy dowolny zbiór X z (nieostrym) porządkiem częściowym . Piszemy x ≺ y gdy
x  y ∧ x ≠ y.
Definicja
Zbiór A ⊂ X nazywamy ograniczonym z góry (odpowiednio: ograniczonym z dołu) gdy
⋁ ⋀a  M
(odp.: ⋁ ⋀ m  a)
M∈X a∈A
m∈X a∈A
Przykłady
1. Zbiór N z porządkiem liniowym ≤ jest ograniczony z dołu, np. przez −2; 0;
ograniczony z góry, gdyż
⋀ ⋁ M < a ∼
⋁ ⋀a ≤ M .
M∈R a∈N
M∈R a∈N
9
10
ale nie jest
2. Przedział 0; 7〉 jest ograniczony, tj ograniczony z dołu i z góry.
n
3. Zbiór A =  n+2
: n ∈ N jest ograniczony.
8
Definicja
Kresem górnym ograniczonego z góry zbioru A ⊂ X nazywamy element u ∈ X taki, że
1 ⋀ a  u (u jest ograniczeniem zbioru A z góry)
a∈A
2 ⋀  ⋀ a  r  u  r
r∈X
(każde inne ograniczenie z góry r jest nie mniejsze niż u).
a∈A
Kres górny u zbioru A oznaczamy u = sup A.
Gdy zbiór A ⊂ R nie jest ograniczony z góry w relacji porządku liniowego ≤, piszemy
sup A = +∞.
Analogicznie definiujemy kres dolny.
Definicja
Kresem dolnym ograniczonego z dołu zbioru A ⊂ X nazywamy element l ∈ X taki, że
1 ⋀ l  a (l jest ograniczeniem zbioru A z dołu)
a∈A
2 ⋀  ⋀ r  a  r  l
r∈X
(każde inne ograniczenie z dołu r jest nie większe niż l).
a∈A
Kres dolny l zbioru A oznaczamy l = inf A.
Gdy zbiór A ⊂ R nie jest ograniczony z dołu w relacji porządku liniowego ≤, piszemy
inf A = −∞.
Przykłady
Dla porządku liniowego ≤ w zbiorach liczbowych
1. sup N = +∞,
inf N = 1
2. sup−∞; 7 = 7
inf−∞; 7 = −∞.
3. sup−∞; 7〉 = 7
Uwaga. Gdy sup A ∈ A, to sup A = max A,
gdzie:
Definicja
M = max A wtedy i tylko wtedy gdy:
1) M ∈ A
2) ⋀ a  M
a∈A
(Analogicznie inf A = min A
Własności porządku ≤ w zbiorach liczbowych
1. Relacja ≤ porządkuje zbiory Q oraz R na gęsto, tzn.
9
⋀
x,y∈QR
(inaczej: ⋀
x<y
⋁
x<z<y
z∈QR
⋁ x < z < y)
x<y∈QR z∈QR
x+y
).
2
(np. z =
Dla zbiorów N, Z relacja ≤ takiej własności nie ma.
Twierdzenie.
Niech A ⊂ R, R z porządkiem ≤.
1. u = sup A wtedy i tylko wtedy gdy:
1 ⋀ a ≤ u ,
a∈A
2 ⋀ ⋁ u −  < a  .
>0 a  ∈A
2. l = inf A wtedy i tylko wtedy gdy:
1 ⋀ l ≤ a ,
a∈A
2 ⋀ ⋁ a  < l +  .
>0 a  ∈A
Relacja ≤ w zbiorze R ma ponadto ważną własność zupełności:
Każdy ograniczony z góry podzbiór A ⊂ R ma kres górny sup A ∈ R i każdy
ograniczony z dołu podzbiór A ⊂ R ma kres dolny inf A ∈ R.
Własność taka nie jest prawdziwa dla zbioru Q, np. jego podzbiór
A = 3; 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415; 3, 14159; . . . ,
którego elementami są przybliżenia dziesiętne (z niedomiarem) liczby niewymiernej π ma
kres górny sup A = π ∉ Q.
Funkcje
Definicja
Funkcją o dziedzinie D f = X i wartościach w zbiorze Y nazywamy taką relację f ⊂ X × Y,
że:
1) ⋀ ⋁ xfy
x∈X y∈Y
(tzn. dla każdego elementu x należącego do zbioru X istnieje element y należący do zbioru Y
taki, że x jest w relacji z y)
2) ⋀ ⋀ xfy 1 ∧ xfy 2  y 1 = y 2 .
x∈X y 1 ,y 2 ∈Y
Każdemu x ∈ X odpowiada dokładnie jeden y ∈ Y.
10
Piszemy y = fx zamiast xfy, mówimy, że y = fx jest wartością funkcji f w punkcie x,
x - zmienna niezależna, y - zmienna zależna.
Oznaczenia funkcji:
f:X→Y
f : x ↦ fx
y = fx
Przykład
-4
-2
3
3
2
y
1
2
y
1
0
2x
4
-4
-2
2x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
xρy  x 2 = y 4
xfy  − 4 x 2 = y
nie funkcja
funkcja
ρ ⊂ 〈−4; 4〉 × R
f ⊂ 〈−4; 4〉 × R
Pionowa prosta przez każdy x
4
∈ X przecina dokładnie raz wykres funkcji
Uwaga
Gdy dany jest tylko wzór określający zależność zmiennych x ∈ R, y ∈ R, to domyślnie
przyjmujemy, że dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich x ∈ R, dla których wzór ma sens.
Np.
1
y = fx =
x + 2x − 1
ma dziedzinę
D f = R ∖ −2; 1 = −∞; −2 ∪ −2; 1 ∪ 1; +∞
11
4
2
-4
-2
2 x
4
-2
-4
fx =
1
x+2x−1
, x ∈ R ∖ −2; 1
Definicja
Dla funkcji f : X → Y
1) obrazem zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór
fA = fx : x ∈ A = y ∈ Y :
⋁ y = fx
x∈A
2) przeciwobrazem zbioru B ⊂ Y
nazywamy zbiór
f −1 B = x : fx ∈ B = x ∈ X :
⋁ y = fx
y∈B
3) przeciwdziedziną nazywamy obraz dziedziny, (tj. zbiór fX = y ∈ Y : ⋁ y = fx,
x∈X
Definicja
Funkcję f : X → Y nazywamy
1) surjekcją (funkcją ”na Y”) gdy Y = fX, tj.
⋀ ⋁ y = fx
y∈Y x∈X
∈ Y przecina wykres funkcji)
2) injekcją (funkcją różnowartościową ”1-1”) gdy
(Pozioma prosta przez każdy y
⋀
x 1 ≠ x 2  fx 1  ≠ fx 2 
x 1 ,x 2 ∈X
∈ Y przecina nie więcej niż raz wykres funkcji)
3) bijekcją (funkcją wzajemnie jednoznaczną) gdy jest ”1-1” oraz ”na Y”
Pozioma prosta przez każdy y ∈ Y przecina dokładnie raz wykres funkcji)
Przykład
(Pozioma prosta przez każdy y
12
2
1
1
2
3x
4
5
6
0
-1
-2
-3
-4
fx = log 2 x
f : 0; +∞ → R ”na” i ”1-1”
5
4
3
2
1
0
-1
2
4
6
8
10
-2
-3
-4
fn = −1 n entier n2 
f : N → Z”na” i”1 − 1”
Superpozycja (złożenie) funkcji
Definicja
Superpozycją (złożeniem) g ∘ f funkcji f : X → Y oraz g : Y → Z nazywamy funcję
g ∘ f : X → Z zdefiniowaną równością
g ∘ fx = gfx dla x ∈ X
Przykład
f : R → R;
g : R → R;
fx = x 2 − 1 gx = 2x + 3
g ∘ fx = gfx = gx 2 − 1
= 2x 2 − 1 + 3 = 2x 2 + 1
13
f ∘ gx = fgx = f2x + 3
= 2x + 3 2 − 1 = 4x 2 + 12x + 8
Definicja
Funkcją odwrotną do bijekcji f : X → Y nazywamy funcję f −1 : Y → X zdefiniowaną
warunkiem
x = f −1 y  y = fx
Uwaga
Funkcja odwrotna do bijekcji jest też bijekcją, złożenie dwóch bijekcji jest bijekcją
Przykład
Dla x ∈ R, y ∈ 0; +∞
x = f −1 y = log 2 y  y = fx = 2 x
8
6
y4
2
-4
-2
0
2
4x
6
8
-2
-4
y = 2x
x = log 2 y
y = log 2 x
Gdy f −1 : Y → X jest funkcją odwrotną do f : X → Y to
⋀ f −1 fx
=x
⋀ ff −1 y
∧
x∈X
=y
y∈Y
f −1 ∘ f = id X
∧
f ∘ f −1 = id Y
Uwaga
Jeśli istnieje bijekcja f : X → Y to zbiory X, Y nazywamy równolicznymi.
Równoliczność zbiorów jest relacją równoważności. Na przykład
wszystkie zbiory 7-elementowe są równoliczne
zbiory N, Z, Q są równoliczne (zbiory równoliczne ze zbiorem N nazywamy
przeliczalnymi)
Działania na funkcjach o wartościach liczbowych
Dla funkcji f : A  R, g : B  R można zdefiniować na wspólnej części ich dziedzin A ∩ B
14
sumę f + g, różnicę f − g, iloczyn fg, a na zbiorze x ∈ A ∩ B : gx ≠ 0 także iloraz
potęgę g f jako funkcje określone wzorami:
● f + gx = fx + gx
● f − gx = fx − gx
● fgx = fxgx
fx
f
●
g x = gx
● g f x = gx fx
f
g
oraz
Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej (f : D  R , D ⊂ R )
Definicja
Funkcję f : D  R , gdzie D ⊂ R nazywamy rosnącą (odp. niemalejącą, nierosnącą,
malejacą) na D, gdy
⋀
x 1 < x 2  fx 1  < fx 2  (odp.: ≤, ≥, > )
x 1 ,x 2 ∈D
Przykłady
1
-4
0
-2
2
4
x
-1
y=
3
x rosnąca
2
1
-3
-2
-1
0
1
x
2
3
-1
-2
y = sgn x niemalejąca
Definicja
15
Funkcję f : D  R , gdzie D ⊂ R nazywamy ograniczoną z góry (odp.: z dołu) gdy jej
przeciwdziedzina, tj. zbiór fD jest ograniczony z góry (odp.: z dołu),czyli
⋁ ⋀ fx ≤ M
(odp.: ⋁ ⋀ m ≤ fx)
M∈R x∈D
m∈R x∈D
Przykłady
2
1
-1
1
2
x 3
4
5
0
-1
-3
-4
y=
x
1+x
, x > −1 ogr. z góry
4
3
2
1
-4
0
-2
2
4
x
-1
y=
x
4
3
ogr. z dołu
3
2
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
-2
a n = fn = −1 n +
1
n
,n ∈ N
ciąg ograniczony
16
Ciągi liczbowe
Definicja
Ciągiem liczbowym (rzeczywistym) nieskończonym nazywamy funkcję f : N  R , tj.
funkcję której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych, a wartości są liczbami rzeczywistymi .
Wyrazy (elementy) ciągu, to wartości tej funkcji:
a 1 = f1,
a 2 = f2,
...,
a n = fn.
Oznaczenia ciągu: a n ; a n  n∈N ; a n  ∞n=1 (lub a n ; a n  ∞n=1 . )
Przykłady
Ciąg Fibonacciego f n  jest zdefiniowany rekurencyjnie przez warunki:
f 2 = 1,
f n = f n−1 + f n−2 dla n ≥ 3
f 1 = 1,
Kilka pierwszych wyrazów tego ciągu
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .
Dla ciągu a n  definiujemy sumy częściowe S m , dla m ∈ N :
S1 = a1
S2 = a1 + a2
...
m
Sm =
∑ a n = a 1 + a 2 +. . . +a m
n=1
Ciąg a n  nazywamy ciągiem arytmetycznym gdy
⋀
a n+1 − a n = a n − a n−1 ,
n∈N∖1
czyli ⋁ ⋀ r = a n+1 − a n .
r∈R n∈N
Dla ciągu arytmetycznego mamy:
1) a n = a n−1 + r = a n−2 + r + r =. . . = a 1 + n − 1r
n+1
2) a n = a n−1 +a
(średnia arytmetyczna);
2
2)
mm − 1
S m = a 1 + a m m = ma 1 + r
2
2
dla m ∈ N.
Ciąg a n  nazywamy ciągiem geometrycznym gdy
⋀ aan+1n = aan−1n ,
n∈N∖1
17
czyli ⋁ ⋀ q =
q∈R n∈N
a n+1
an
.
Dla ciągu geometrycznego mamy:
1) a n = a n−1 q = a n−2 qq =. . . = a 1 q n−1
2) a n = 2 a n−1 ⋅ a n+1 , (średnia geometryczna)
3)
S m = a 1 1 + q +. . . +q m−1 
=
a1
1−q m
1−q
ma 1
gdy q ≠ 1
gdy q = 1
dla m ∈ N.
Zadanie 1
Dla a 1 ≥ 0, a 2 ≥ 0, . . . , a n ≥ 0, udowodnić że :
2
1) 2 a 1 a 2 ≤ a 1 +a
2
2) n a 1 a 2 . . . a n ≤ a 1 +a 2n+...+a n
Zadanie 2
Wpłacamy kwotę P co miesiąc z góry, przez t lat t ∈ N na rachunek oszczędnościowy o
stałym nominalnym oprocentowaniu rocznym r. Jaką sumę uzbieramy po t latach, jeśli
odsetki dopisywane są do rachunku:
a) raz na koniec okresu t lat?
b) co miesiąc przez t lat?
c) co roku?
18