LISTA 1 1. Zbadać, jakie własności ma relacja ρ: 1) ρ ⊆ N 2, xρy ⇔ x

LISTA 1
1. Zbadać, jakie własności ma relacja ρ:
1) ρ ⊆ N 2 , xρy ⇔ x|y,
2) ρ ⊆ R2 , xρy ⇔ x2 = y 2 ,
3) ρ ⊆ Z 2 , xρy ⇔ |x| + |y| = 3,
4) ρ ⊆ Z 2 , xρy ⇔ |x| + |y| =
6 3,
5) ρ ⊆ R2 , xρy ⇔ x − y ∈
/ N,
6) ρ ⊆ P (Y )2 , (Y jest ustalonym zbiorem co najmniej dwuelementowym),
AρB ⇔ A ⊆ B ∨ B ⊆ A,
7) ρ ⊆ P (Y )2 , (a jest ustalonym elementem zbioru Y ), AρB ⇔ a ∈ (A ∪ B).
2. Niech X będzie zbiorem, zaś P(X) będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru X. Udowodnić, że relacja ⊆ częściowo porządkuje zbiór P(X). Znaleźć element najmniejszy i największy w zbiorze < P(X), ⊆>.
3. W zbiorze C wprowadzamy relację ρ wzorem
xρy ⇔ (Re y ¬ Re x) ∧ (Im y ¬ Im x).
Udowodnić, że zbiór (C, ρ) jest częściowo uporządkowany.
4. W zbiorze C wprowadzamy relację ρ wzorem
xρy ⇔ (Re y < Re x) ∨ [(Re y = Re x) ∧ Im y ¬ Im x].
a) Udowodnić, że zbiór (C, ρ) jest częściowo uporządkowany.
b) Czy zbiór ten jest liniowo uporządkowany?
5. Narysować diagramy Hasse’a zbiorów częściowo uporządkowanych oraz wyznaczyć elementy
wyróżnione (o ile elementy te istnieją):
1) ({1, 2, 4, 5, 7, 14, 16, 20}, |);
2) ({2, 3, 4, 6, 8, 24}, |) ;
3) ({{a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}, ⊆);
4) ({Ø, {a}, {b}, {d}, {a, c}, {a, b}, {b, d}, {a, b, d}, {a, c, d}}, ⊆).
6. Rozpatrujemy zbiór T = {2n : n ∈ N } ∪ {3} wraz z relacją podzielności.
a) Czy w zbiorze < T, | > są elementy minimalne, maksymalne?
b) Czy w zbiorze < T, | > jest element najmniejszy?
c) Narysować diagram relacji.
7. Niech At dla t ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5} będzie rodziną zbiorów określoną następująco:
At = {z ∈ C : kt + 1 ¬ Im z ¬ t + 2},
gdzie
kt =
dla t = 0, 2, 4,
1
dla t = 1,


−1 dla t = 3, 5.

 0
a) Rozpatrując powyższą rodzinę jako zbiór częściowo uporządkowany przez relację zawierania znaleźć elementy wyróżnione.
b) Czy istnieją elementy największy i najmniejszy?
c) Sporządzić diagram Hasse’a tego częściowego porządku.
8. Dla diagramów Hasse’a pewnych zbiorów częściowo uporządkowanych z rys.(1)-(4) wyznaczyć: sup{a, b},sup{a, b, c, d}, sup{e, f }, inf{d, e}, inf{a, e, f }, sup{inf {c, d}, e};
fu
Q
A Q
A Q
A QQ
u
u
Au
Qu
Q
A
e
b QQ cA
d
Q A Q
QAu
(1)
f
(2)
u
d @ e
@u
u
Z
Z
Z
Zu
u
@
b @u c
a
a
f
(3)
u
@ e
@u
u
Z
Z
Z
Zu
u
@
b @u c
d
a
g
u
Q
Q
u Q
Q
@
Q
u
u f @u
Qu
Q
A
e
b QQ cA
d
Q A Q
Q
A
u
(4)
a
9. Dane są zbiory częściowo uporządkowane S = {4, 5, 6}, (S, ­), T = {1, 2}, (T, ¬). Wypisać
elementy następujących zbiorów w rosnącym porządku leksykograficznym oraz przedstawić
diagram Hasse’a dla porządku produktowego S × T , T × T , S × S, T × T × T , T × S.
10. Dane są zbiory częściowo uporządkowane S = {b, f, h}, gdzie f ≺ h ≺ b, T = {0, 1},
(T ¬). Wypisać elementy następujących zbiorów w rosnącym porządku leksykograficznym
oraz przedstawić diagram Hasse’a dla porządku produktowego S × T , T × T , S × S, T × T × T ,
T × S.
11. Dane są zbiory częściowo uporządkowane S = {2, 3, 4}, (S, |), T = {1, 2}, (T, |). Przedstawić diagram Hasse’a dla porządku produktowego i leksykograficznego zbiorów S × T , T × T ,
S × S, T × S.
12. Rozważmy zbiór N z relacją ¬ oraz porządek produktowy w zbiorze N ×N . Przedstawić
graficznie zbiór:
a) {(m, n) : (m, n) (5, 2)},
b) {(m, n) : (m, n) (3, 4)},
c) {(m, n) : (3, 4) (m.n)}.
13. Dany jest zbiór {a, b, c, d, e} ze zwykłym porządkiem. Wypisać elementy zbioru w porządku
rosnącym
a) w sensie porządku słownikowego (leksykograficznego);
b) standardowego dla zbioru słów.
1) {aaaaeeee, eaea, aa, abb, b, cdaeb, cd, acd, cccc},
2) {dd, d, abcd, cc, ccc, bd, bbbb, cccda, dddea},
3) {a, bb, cc, dd, aabbcc, cdcde, eee, ddd, adadad}.
14. Dany jest zbiór {0, 1} gdzie 0 ≺ 1. Wypisać elementy zbioru w porządku rosnącym
a) w sensie porządku słownikowego;
b) standardowego dla zbioru słów.
1) {0101, 00000, 00, 1001, 11111, 11100, 11, 00, 010, 1010},
2) {00101, 100000, 100, 0001, 00111, 11100, 110, 00, 010, 01010},
3) {010100, 0001111, 00, 10010, 111, 011100, 1100, 001, 010, 0010},
4) {0, 0101, 00, 000, 0000, 11110, 00000, 00, 1001, 111, 11, 100, 010, 1010}.