Lokalne prostowanie pola wektorowego

Prostowanie pola wektorowego
1
Lokalne prostowanie pola wektorowego
1
Przypomnienie: potok lokalny
Zakładamy, że U jest otwartym podzbiorem Rn , i F : U → Rn jest polem
wektorowym klasy C 1 .
Pole wektorowe F generuje potok lokalny ϕ: dla x0 ∈ U, ϕ(t, x0 ) oznacza
wartość, w chwili t, rozwiązania układu równań różniczkowych x′ = F(x)
spełniającego warunek początkowy x(0) = x0 .
Przypomnijmy definicję: potok lokalny ϕ : dom ϕ → U jest odwzorowaniem ciągłym spełniającym następujące warunki:
(PL0) dziedzina dom ϕ ⊂ R × U jest zbiorem otwartym zawierającym {0} ×
U; ponadto, dla każdego x ∈ U dziedzina odwzorowania [ t 7→ ϕ(t, x) ]
jest przedziałem otwartym (τmin (x), τmax (x)), gdzie τmin (x) < 0 < τmax (x),
(PL1) ϕ(0, x) = x, dla każdego x ∈ U,
(PL2) jeżeli ϕ(t, ϕ(s, x)) jest określone, to ϕ(t + s, x) też jest określone i
zachodzi równość ϕ(t, ϕ(s, x)) = ϕ(t + s, x),
(PL3) jeżeli ϕ(t, x) jest określone, to ϕ(−t, ϕ(t, x)) też jest określone i zachodzi równość ϕ(−t, ϕ(t, x)) = x.
Od tej pory, zamiast ϕ(t, x) będziemy pisali ϕt (x).
2
Transwersala pola wektorowego w punkcie regularnym
Przypomnijmy, że x ∈ U jest punktem regularnym pola wektorowego F, gdy
F(x) 6= 0.
Hiperpłaszczyzną nazywamy zbiór H postaci G + a, gdzie G jest podprzestrzenią liniową wymiaru n − 1, zaś a ∈ Rn .
Mówimy, że (niezerowy) wektor w ∈ Rn jest transwersalny do hiperpłaszczyzny H = G + a, gdy w ∈
/ G.
n
Niech b ∈ R będzie wektorem niezerowym takim, że G = { x ∈ RN :
hx, bi = 0 }. Wówczas w ∈ Rn jest transwersalny do hiperpłaszczyzny H =
G + a wtedy i tylko wtedy, gdy hw, bi =
6 0.
n
Dla x ∈ R i r > 0, oznaczmy przez B(x; r) kulę otwartą w Rn o środku
w x i promieniu r, i przez B̄(x; r) kulę domkniętą w Rn o środku w x i
promieniu r.
2
Skompilował Janusz Mierczyński
Transwersalą (lub przekrojem Poincarégo) pola wektorowego F w punkcie
regularnym x ∈ U nazywamy zbiór L ⊂ U postaci H ∩ B(x; r), gdzie H jest
hiperpłaszczyzną zawierającą punkt x, o następującej własności:
(T) W każdym punkcie ξ ∈ L wektor pola F(ξ) jest transwersalny do hiperpłaszczyzny H.
Warunek (T) można sformułować geometrycznie w następujący sposób:
W żadnym punkcie ξ ∈ L wektor pola F(ξ) nie jest styczny do hiperpłaszczyzny H.
Lemat 1. Niech x będzie punktem regularnym pola wektorowego F. Wówczas
istnieje transwersala L pola wektorowego F w punkcie x.
Dowód. Rozpatrzmy hiperpłaszczyznę H przechodzącą przez x i taką, że
(niezerowy) wektor F(x) jest transwersalny do H. Ponieważ U jest zbiorem
otwartym, można znaleźć takie r0 > 0, że H ∩ B(x; r0 ) ⊂ U. Z ciągłości
pola wektorowego wynika istnienie 0 < r ¬ r0 takiego, że dla każdego ξ ∈
H ∩ B(x; r) wektor F(ξ) jest transwersalny do hiperpłaszczyzny H.
3
Przypomnienie: twierdzenie o funkcji odwrotnej
Niech U1 i U2 będą otwartymi podzbiorami przestrzeni Rn . Homeomorfizm
h : U1 → U2 nazywamy dyfeomorfizmem klasy C l , l = 1, 2, . . . , ∞, gdy zarówno odwzorowanie h jak i odwzorowanie doń odwrotne h−1 : U2 → U1 są
klasy C l .
Niech U1 będzie otwartym podzbiorem przestrzeni Rn . Odwzorowanie
1−1
1−1
h : U1 −−→ Rn dyfeomorfizmem klasy C l na swój obraz , gdy h : U1 −−→ h(U1 )
na
jest dyfeomorfizmem klasy C l .
Wykorzystywana przez nas w następnym podrozdziale wersja twierdzenia
o funkcji odwrotnej ma, w powyższym języku, następującą postać:
Twierdzenie 1. Załóżmy, że odwzorowanie h : Ũ → Rn klasy C 1 , gdzie
Ũ ⊂ Rn jest otwartym otoczeniem zera, ma tę własność, że h(0) = 0 oraz że
jego pochodna w zerze, Dh(0), jest izomorfizmem liniowym. Wówczas istnieje
otoczenie otwarte U1 ⊂ Ũ takie, że obcięcie h do U1 ⊂ Ũ jest dyfeomorfizmem
klasy C 1 na swój obraz. Ponadto, D(h|U1 )−1 (0) = (Dh(0))−1 .
4
Twierdzenie o prostowaniu pola wektorowego
Twierdzenie o lokalnym prostowaniu pola wektorowego. Niech F : U →
Rn będzie polem wektorowym klasy C 1 i niech x ∈ U będzie punktem regularnym pola F. Wówczas istnieją:
3
Prostowanie pola wektorowego
• transwersala L pola F w punkcie x,
• otoczenie otwarte V punktu x,
• liczby dodatnie ε, δ, oraz dyfeomorfizm
1−1
M : V −−→ I × (−ε, ε)
na
klasy C 1 , gdzie
I = { (ξ1 , . . . , ξn−1 ) ∈ Rn−1 :
q
(ξ1 )2 + · · · + (ξn−1 )2 < δ },
o następujących własnościach:
(i) M(L) = I × {0}; ponadto M(x) = (0, . . . , 0, 0),
(ii) dla każdego y ∈ V istnieje dokładnie jedna para (z, t) ∈ L × (−ε, ε)
taka, że y = ϕt (z); ponadto, M(y) = (ξ1 , . . . , ξn−1, t), gdzie M(z) =
(ξ1 , . . . , ξn−1, 0).
Otoczenie V , o którym mowa w powyższym twierdzeniu, nazywane jest
otoczeniem prostującym, otoczeniem równoległym. Nawy angielskie, to parallel neighbo(u)rhood ), lub flow-box.
Dowód. Na podstawie Lematu 1 istnieje transwersala pola wektorowego w
punkcie regularnym x (oznaczmy tę transwersalę przez L1 = H ∩ B(x; r1 );
ponadto, H = G + x, gdzie G jest (n − 1)-wymiarową podprzestrzenią liniową).
Jako że dziedzina dom ϕ potoku lokalnego ϕ jest zbiorem otwartym zawierającym {0}×U, dla każdego z ∈ L1 można znaleźć εz > 0 i r(z) > 0 takie, że
(−εz , εz ) × B(z; r(z)) ⊂ dom ϕ. Z otwartego pokrycia {B(z; r(z)) : z ∈ L1 }
zbioru zwartego L̃ = H ∩ B̄(x; r1 /2) można wybrać podpokrycie skończone {B(z1 ; r(z1)), . . . , B(zk ; r(zk ))}. Weźmy ε′ := min {εz1 , . . . , εzk }. Wynika
stąd, że (−ε′ , ε′) × L ⊂ dom ϕ, gdzie L = H ∩ B(x; r1 /2)
Weźmy izomorfizm afiniczny R (to znaczy, złożenie izomorfizmu liniowen
go i przesunięcia) przestrzeni
q R na siebie, który przeprowadza L na zbiór
{ (ξ1, . . . , ξn−1 , 0) ∈ Rn : (ξ1 )2 + · · · + (ξn−1 )2 < δ ′ } i przeprowadza x w
punkt (0, . . . , 0).
Definiujemy
odwzorowanie Q : I ′ ×(−ε′ , ε′) → U, gdzie I ′ = { (ξ1 , . . . , ξn−1) ∈
q
Rn−1 : (ξ1 )2 + · · · + (ξn−1 )2 < δ ′ }, wzorem
Q((ξ1 , . . . , ξn−1), t) := ϕ(t, R−1 (ξ1 , . . . , ξn−1 , 0)).
4
Skompilował Janusz Mierczyński
Na podstawie
twierdzenia o różniczkowalnej zależności rozwiązania od warunków początkowych
Q jest odwzorowaniem klasy C 1 .
Zbadajmy pochodną D odwzorowania Q w punkcie ((0, . . . , 0), 0), interpretowaną jako odwzorowanie liniowe z { (ξ1 , . . . , ξn−1 ) : ξi ∈ R } ⊕ lin{1} w
Rn . Odwzorowanie D
• przeprowadza wektor ((ξ1 , . . . , ξn−1), 0) na wektor A(ξ1 , . . . , ξn−1, 0),
gdzie A jest pochodną odwzorowania afinicznego R−1 (zatem izomorfizmem liniowym),
• przeprowadza wektor ((0, . . . , 0), 1) na niezerowy wektor F(x).
Dalej, zbiór { A(ξ1 , . . . , ξn−1, 0) : ξi ∈ R } to (n−1)-wymiarowa podprzestrzeń
liniowa G występująca w definicji transwersali L. Lecz G wraz z F(x) rozpina
całą Rn . Wykazaliśmy więc, że pochodna D odwzorowania Q w zerze jest
izomorfizmem liniowym.
Na podstawie twierdzenia o funkcji odwrotnej (Tw. 1) otrzymujemy, że Q
obcięte do pewnego otoczenia zera postaci I × (−ε, ε) jest dyfeomorfizmem
na swój obraz. Oznaczmy ten obraz przez V , i zdefiniujmy M jako Q−1 .
Oznaczmy przez ψ potok lokalny generowany na zbiorze I × (−ε, ε) przez
pole wektorowe G(ξ) ≡ ((0, . . . , 0), 1).
Z twierdzenia o lokalnym prostowaniu pola wektorowego wynika, że
M ◦ ϕt = ψt ◦ M,
gdzie powyższy wzór należy rozumieć w ten sposób, że jeśli dla pewnego
y ∈ V i pewnego t ∈ (−ε, ε) określona jest jedna strona, to określona jest
druga strona i zachodzi równość.
Mówimy niekiedy, że dyfeomorfizm M zadaje sprzężenie między potokiem
lokalnym ϕ obciętym do otoczenia prostującego V a potokiem lokalnym ψ.