Pełny tekst - Instytut Elektrotechniki

Tomasz RYMARCZYK
Stefan F. FILIPOWICZ
WYKORZYSTANIE METODY ZBIORÓW
POZIOMICOWYCH W PROCESIE
SEGMENTACJI I REKONSTRUKCJI OBRAZU
STRESZCZENIE
W pracy przedstawiono zastosowanie metody
zbiorów poziomicowych w segmentacji obrazów oraz identyfikację
nieznanego obiektu w tomografii komputerowej. Kształt brzegu obiektu
i jego ewolucja powstaje za pomocą metody zbiorów poziomicowych
w procesie iteracyjnym. W przebiegu segmentacji obrazu wydzielane
są poszczególne obiekty z zamierzonym poziomem szczegółowości.
W procesie rekonstrukcji wykorzystywane jest rozwiązanie równanie
Laplace’a dla całego badanego obszaru za pomocą metody elementtów skończonych. Opisane zagadnienia ilustrowane są przykładami
uzyskanymi praktycznie.
Słowa kluczowe: metoda zbiorów poziomicowych, segmentacja obrazu,
zagadnienie odwrotne, impedancyjna tomografia komputerowa
1. WSTĘP
W pracy przedstawiono metody segmentacji i rekonstrukcji obrazu oparte
na idei zbiorów poziomicowych MZP (ang. Level Set Method) [6, 7, 8, 9, 11].
W procesie segmentacji, oddzielenie fragmentów obrazu o wspólnych cechach
pozwala precyzyjniej określić granice pomiędzy poszczególnymi obiektami oraz
mgr inż. Tomasz RYMARCZYK1)
e-mail: [email protected]
prof. dr hab. inż. Stefan F. FILIPOWICZ1),2)
1)
2)
Instytut Elektrotechniki
Politechnika Warszawska
PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 242, 2009
90
T. Rymarczyk, S. F. Filipowicz
wykryć anomalie w obrębie tych samych struktur. Ewolucja kształtu brzegów
obiektów rozpoznawanych w procesie iteracyjnym dokonywana jest z wykorzystaniem metody zbiorów poziomicowych i jej postaci wariacyjnej. Proces komputerowej analizy obrazów rozpoczyna się na poziomie pikseli. Obraz reprezentowany jest w postaci dwuwymiarowej tablicy kolorów punktów.
Pojedynczy element tablicy odpowiada pojedynczemu pikselowi. Tworzona tablica dostarcza tylko informację o położeniu i kolorze poszczególnych punktów
obrazu, natomiast nie zawiera informacji określającej, które piksele tworzą
poszczególne obiekty. Dla dokonania analizy obrazu, należy przejść z poziomu
pikseli na poziom obiektów [1]. Algorytm numeryczny w zagadnieniu odwrotnym
jest odpowiednią kombinacją metody zbiorów poziomicowych i metody elementów skończonych a wartości konduktywności ustalane są w każdym kroku
iteracyjnym [3, 10].
2. METODA ZBIORÓW POZIOMICOWYCH
Metoda zbiorów poziomicowych (MZP) opracowana została przez Stanleya Oshera i Jamesa A. Sethiana w 1987 roku [8]. Główną jej zaletą jest duża
dokładność w odwzorowaniu topologicznych kształtów badanych obszarów,
zwłaszcza ostrych krawędzi i narożników obiektów. Metoda polega na przypisaniu pewnej funkcji φ(x, t) do przestrzeni, do której należy badany interfejs,
gdzie x jest punktem tej przestrzeni, natomiast t jest punktem w czasie. Proces
iteracyjny zaczyna się od zdefiniowania zerowego zbioru poziomicowego pewnej funkcji φ zależnej od czasu. Funkcja φ(x, t) przypisywana jest do przestrzeni,
do której należy badany obiekt (x – punkt przestrzeni, t – czas). Inicjalizacja
funkcji φ następuje w chwili t = 0, a jej rozwiązanie pozwala aproksymować
wartości funkcji w małych krokach czasowych.
Funkcja φ(x,t) = 0, gdzie x jest punktem w przestrzeni Rn zdefiniowana
jest następująco:
φ( x , t ) = ±d
(1)
gdzie: d – jest odległością pomiędzy punktem x a brzegiem zamkniętej powierzchni Ω(t = 0), znak +/- oznacza położenie punktu x odpowiednio wewnątrz lub
na zewnątrz obszaru.
Wykorzystanie metody zbiorów poziomicowych w procesie segmentacji …
91
Powyższe wyrażenie definiuje wyjściową wartość funkcji zbiorów poziomicowych, która w kolejnych krokach iteracyjnych zmienia wartość w czasie,
powodując przemieszczanie się jej interfejsu. Drogę poruszającego się punktu
po granicy Γ powierzchni Ω oznaczymy jako x(t). Warunkiem, dzięki któremu
zbiór poziomu zerowego funkcji φ zawsze należy do tej powierzchni jest:
φ( x(t ) ,t ) = 0
(2)
Obliczając pochodną tej funkcji po czasie otrzymuje się:
φ' + ν ∇φ = 0
(3)
gdzie: ν – jest funkcją wektora prędkości brzegu Γ.
Równanie (3) Hamiltona-Jacobiego jest elementarnym równaniem zbiorów
poziomicowych. Równanie to opisuje zmianę w czasie poziomu powierzchni
funkcji φ, w taki sposób, że zbiór poziomu zerowego tej funkcji zawsze odpowiada ruchomemu interfejsowi.
Metoda zbiorów poziomicowych posiada wiele zalet, jest metodą szybką
i wydajną. Poziom zerowy (φ = 0) zawsze jest równy zero, co powoduje, że
poruszająca się powierzchnia może zmieniać kształt, rozszerzać się, kurczyć,
łamać, łączyć i tworzyć ostre krawędzie. Dla φ(x, t) symulacje numeryczne mogą
być prowadzone z użyciem dyskretnej siatki punktów w dziedzinie x. Właściwości brzegu badanej powierzchni wyznaczane są z funkcji poziomicowej φ,
gdzie w każdym punkcie brzegowym wektor normalny do tego punktu dany jest
równaniem:
G ∇φ
n=
∇φ
(4)
Również jedną z zalet metody zbiorów poziomicowych jest to, iż własności geometryczne zmieniającego się kształtu, takie jak krzywizna i kierunek
normalny, dają się łatwo opisywać matematycznie. Wyrażenie zbioru zerowego
krzywizny w dwóch wymiarach na pewnej płaszczyźnie jest opisane równaniem:
2
2
∇φ φ zx φ y − 2φ y φ z φ xy + φ xy φ x
κ = ∇⋅
=
∇φ
(φ 2x + φ 2y ) 3/2
(5)
W przypadku powierzchni rozwijającej się w trzech wymiarach, jej krzywizna może być opisana jako wartość średnia krzywizny κ M , bądź też jako
92
T. Rymarczyk, S. F. Filipowicz
krzywizna Gaussa κ G . Zgodnie z warunkami funkcji zbiorów poziomicowych, obie
te wartości wyrażone są odpowiednim wyrażeniem:
κM
⎧⎪(φ yy + φ zz )φ 2z + (φ xx + φ zz )φ 2y + (φ xx + φ yy )φ 2z
⎨
− 2φ x φ y φ xy − 2φ x φ z φ xz − 2φ y φ z φ yz
∇φ ⎪⎩
= ∇⋅
=
∇φ
(φ 2x + φ 2y + φ 2z ) 3/2
+ ⎫⎪
⎬
⎪⎭
⎧φ 2z (φ yy φ zz − φ 2yz ) + φ 2y (φ xx φ zz − φ 2xz ) + φ 2z (φ xx φ yy − φ 2xy ) + ⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎡φ x φ y (φ xz φ yz − φ xy φ zz ) + φ y φ z (φ xy φ xz − φ yz φ xx ) + ⎤ ⎬
⎨
− 2⎢
⎥⎪
⎪
+ φ x φ z (φ xz φ yz − φ xz φ yy )
⎢⎣
⎥⎦ ⎪⎭
∇φ ⎪⎩
κG = ∇ ⋅
=
∇φ
(φ 2x + φ 2y + φ 2z ) 3/2
(6)
(7)
Krzywizna każdego zbioru poziomicowego określana jest poprzez obliczenie dywergencji wektora (4):
G
∇φ
κ = ∇⋅n = ∇
∇φ
(8)
Śledzenie zmian brzegowych w przestrzeni trójwymiarowej nie wiąże się
z wprowadzaniem istotnych modyfikacji w obliczeniach. W takich przypadkach
wystarcza jedynie rozszerzenie równań macierzowych i operatorów gradientowych.
Metoda zbiorów poziomicowych dzieli badany obszar na siatkę punktów,
w których przechowywana jest wartość funkcji poziomic φ w danym węźle.
Wartości węzłów siatki zwracają wysokość powierzchni nad danym zakresem.
Każda warstwa przypisana jest jednemu węzłowi siatki i uaktualnia jego
wartość, tak by odpowiadała położeniu badanej powierzchni. Dla wielu węzłów
siatki powstaje, więc cała rodzina warstw, z których tylko jedna jest poziomem
zerowym. Aby wydobyć poziom zerowy, rzutuje się przekrój powierzchni, składającej się z grupy poziomów na płaszczyznę.
Gdy rozwijający się brzeg tworzy ostre krawędzie bądź nagłe załamania,
funkcja je aproksymująca nie może być szacowana pochodną cząstkową.
W tych przypadkach stosuje się metody pozwalające na wygładzenie ostrych
krawędzi. Dla funkcji zbiorów poziomicowych metody takie wywodzą się z matematycznej teorii „rozwiązań lepkości” (ang. viscosity solutions). Wygładzenie
Wykorzystanie metody zbiorów poziomicowych w procesie segmentacji …
93
wszelkich załamań przebiegu funkcji odbywa się poprzez dodanie do równania
tzw. „współczynnika regularyzacji” ε (ang. viscous term). Na rysunku 1 przedstawiono wpływ współczynnika regularyzacji na przebieg funkcji.
Wydobycie granicy lepkości polega na analizie zachowania potencjalnych rozwiązań w czasie ich poszukiwania.
ε = 0.005
ε=0
Rys. 1. Wpływ współczynnika ε ograniczającego lepkość na przebieg funkcji
Przykład przedstawiony na rysunku 2 pokazuje zastosowanie metody
zbiorów poziomicowych w segmentacji obrazów poprzez wydzielenie poszczególnych obiektów oraz ich fragmentów. Ważne przy tym jest to, aby segmentacja reprezentowała zamierzony poziom szczegółowości. Reinicjalizacja jest
wykonywana w każdym kroku iteracji, ponieważ zmiany na brzegu (interfejsie)
mogłyby być zbyt gwałtowne.
Zaproponowano następujący algorytm numeryczny segmentacji:
• inicjacja zbioru poziomicowego funkcji obejmującego nieznany kształt:
Γ0 = {φ( x , y) = 0}
(9)
• obliczanie prędkości (10),
• rozszerzenie prędkości,
• uaktualnianie funkcji zbioru poziomicowego:
φ k + 1 = φ k − Δ t ν k ∇φ k
• sprawdzenie zbieżności,
• reinicjalizacja.
(10)
94
T. Rymarczyk, S. F. Filipowicz
Proces powtarzany jest tak długo, aż zostaną osiągnięte zadawalające
warunki zbieżności.
Na rysunku 2a przedstawiono obraz zawierający sześć obiektów o dowolnych kształtach oraz inicjujący zbiór poziomicowy (zaznaczony białą linią),
obejmujący nieznany kształt. Na kolejnych rysunkach obrazy ukazują etapy
ewolucji zbioru poziomicowego, uzyskane po 100, 200 i 300 iteracjach.
a)
b)
c)
d)
Rys. 2. Segmentacja obrazu otrzymana metodą zbiorów poziomicowych: a) zerowy zbiór
poziomicowy, b) po 100 iteracjach, c) po 200 iteracjach, d) po 300 iteracjach
Łatwo zauważyć, że w trakcie rozwiązania początkowy brzeg obiektu
przekształca się, następnie rozdziela się na trzy obszary, aby w ostatniej fazie
uzyskać postać obrazującą wszystkie elementy.
Wykorzystanie metody zbiorów poziomicowych w procesie segmentacji …
95
3. WARIACYJNA METODA ZBIORÓW POZIOMICOWYCH
Wariacyjne sformułowanie metody zbiorów poziomicowych eliminuje konieczność wykonywania zajmującej dużo czasu reinicjalizacji. Realizowane jest
to poprzez wydzielenie składnika naprężenia wewnętrznego powierzchni, wskazującego odchylenie funkcji zbioru poziomicowego, oraz składnika naprężenia
zewnętrznego powierzchni, prowadzącego ruch zerowego zbioru poziomicowego w kierunku pożądanym przez właściwości obrazu [6].
Podczas procesu ewolucji funkcja zbioru poziomicowego jest aproksymowana oznaczoną funkcją odległości, dlatego można przedstawić następujące
równanie:
1
P(φ) = ∫ ( ∇φ − 1) 2 dxdy
Ω2
(11)
Powyższa definicja funkcjonału jest ujmowana w następującym sformułowaniu wariacyjnym:
Ε(φ) = μΡ (φ) + Ε m (φ)
gdzie:
(12)
μ
– jest parametrem kontrolującym zjawisko odchylenia φ od oznaczonej funkcji odległości,
P(φ) – jest pewnym naprężeniem wewnętrznym powierzchni funkcji φ ,
Em(φ) – jest pewnym naprężeniem zewnętrznym powierzchni, prowadzącym ruch zerowego zbioru poziomicowego φ .
Oznaczając ∂Ε jako pierwszą wariację minimalizującą funkcjonał Ε ,
∂φ
otrzymujemy następujące równanie [5]:
∂φ
∂Ε
=−
∂t
∂φ
(13)
W segmentacji obrazu aktywne poziomice są dynamicznymi krzywymi,
które poruszają się w kierunku brzegów obiektu. Oznaczając obraz literą I ,
indykator funkcji g został zdefiniowany następująco [5]:
96
T. Rymarczyk, S. F. Filipowicz
g=
1
1 + ∇G σ * I
2
(14)
gdzie Gσ jest jądrem Gaussiana ze standardowym odchyleniem σ .
Naprężenie zewnętrzne powierzchni funkcji φ zdefiniowane jest następująco:
Ε g,λ, ν (φ) = λL g (φ) + ωA g (φ)
(15)
gdzie λ i ω są stałymi, natomiast L g (φ) i A g (φ) mają postać:
L g (φ) = ∫ gδ(φ) ∇φ dxdy
(16)
A g (φ) = ∫ gH (−φ)dxdy
(17)
Ω
Ω
gdzie H jest funkcją Heaviside’a.
Funkcjonał E wyrażany jest następującym równaniem:
⎡
∇φ
∂E
∇φ ⎤
)⎥ − λδ(φ)div( g
) − ωgδ(φ)
= −μ ⎢Δφ − div(
∇φ
∂φ
∇φ ⎦⎥
⎣⎢
(18)
gdzie Δ jest operatorem Laplace’a.
Uwzględniając równanie (13), minimalizacja funkcjonału E przyjmie w proponowanej metodzie postać ewolucji równania funkcji zbioru poziomicowego:
⎡
∇φ
∂φ
∇φ ⎤
)⎥ + λδ(φ)div( g
) + ωgδ(φ)
= μ ⎢Δφ − div(
∇φ
∂t
∇φ ⎦⎥
⎢⎣
(19)
Na podstawie przedstawionej metody zmodyfikowano algorytm numeryczny segmentacji obrazu, który przedstawia się następująco:
• inicjalizacja funkcji zbioru poziomicowego (6),
• minimalizacja funkcjonału E (19),
• sprawdzanie zbieżności.
Proces algorytmu powtarzany był do czasu, aż zostały osiągnięte zadowalające warunki zbieżności.
Za pomocą algorytmu wariacyjnej metody zbiorów poziomicowych została
wykonana segmentacja rzeczywistych obrazów. Rysunek 3 pokazuje zdjęcia
Wykorzystanie metody zbiorów poziomicowych w procesie segmentacji …
97
rentgenowskie wykonane w rozdzielczości 1368 x 924 pikseli oraz wyniki ich
segmentacji. Funkcja zbioru poziomicowego została tutaj zainicjowana w odległości 6 pikseli od brzegu obszaru. Proces ewolucji algorytmu rekonstrukcji wykonany został po 1000 iteracjach.
a)
b)
c)
d)
Rys. 3. Segmentacja obrazu otrzymana wariacyjną metodą zbiorów poziomicowych:
a) obraz rzeczywisty, b) segmentacja obrazu po 100 iteracjach, c) po 200 iteracjach, d) po
1000 iteracji
4. REKONSTRUKCJA OBRAZU
Wewnętrzne obiekty badanej przestrzeni opisane są przez funkcję zbiorów poziomicowych, która jest dyskretyzowana na stałej siatce kartezjańskiej.
98
T. Rymarczyk, S. F. Filipowicz
Zakładana jest liniowość pomiędzy punktami siatki, dodatkowo obliczane są
punkty na liniach siatki. Punkty te są połączone ze sobą, tworząc wielokąt.
Funkcja celu jest zdefiniowana jako średniokwadratowa wartości błędu renonstrukcji odniesiona do wektora napięć międzyelektrodowych [3, 10]. Dla pojedynczego kroku iteracyjnego k, składnik ten przedstawia się następująco:
Φ1k = 0.5(u k − uo ) 2
(20)
gdzie:
u – napięcie obliczone,
uo – napięcie pomierzone.
W algorytmie konstrukcji obrazu metoda zbiorów poziomicowych może
być połączona z metodą elementów skończonych – MES, metodą elementów
brzegowych – MEB lub metodą granicy podobszarów [4] – MGP (rys. 4).
Rys. 4. Schemat blokowy
wykorzystywanych metod
Do dalszych obliczeń została wykorzysta metoda elementów skończonych. Zaproponowano następującą procedurę numeryczną [2, 4]:
• inicjalizacja zbioru poziomicowego funkcji obejmującego nieznany
kształt (6).
[w kolejnych krokach iteracyjnych wykonywany jest następujący algorytm, dla k = 0,1,…],
• rozwiązanie równania Laplace’a w badanym obszarze w kolejnym kroku
iteracyjnym:
− Δu = 0
(21)
• obliczenie różnicy pomiędzy wartością napięcia obliczoną, a pomierzoną
u − u0 ,
Wykorzystanie metody zbiorów poziomicowych w procesie segmentacji …
99
• rozwiązanie równania sprzężonego do równania stanu:
− Δp = u − u0
(22)
gdzie p jest zmienną sprzężoną do u,
• wyznaczenie składowej normalnej prędkości do brzegu:
v k = ∇p k ⋅ ∇ u k
(23)
• rozszerzenie prędkości,
• uaktualnienie funkcji zbioru poziomicowego (7).
Proces rozwiązania być powtarzany tak długo, aż zostaną osiągnięte zadowalające warunki zbieżności.
Przykładowe eksperymenty numeryczne:
Obraz w postaci ośmiokąta umieszczonego centralnie w badanym obszarze prostokątnym został zidentyfikowany przy rozdzielczości 16 x 16 pikseli.
Wykorzystano w konstrukcji obrazu metodę zbiorów poziomicowych bez reinicjalizacji i z reinicjalizacją, z wykorzystaniem wąskiego pasma (ang. narrowband)
oraz z aproksymacją funkcji zbiorów poziomicowych do węzłów siatki. Przeanalizowano również wpływ różnych współczynników regularyzacji. Funkcja celu
w rozpatrywanych przypadkach osiągała minimum przy różnej liczbie iteracji
w zależności od wybranej metody i jej parametrów (rys. 5–6).
Algorytm konstrukcji obrazu został oparty na odpowiednim połączeniu
metody zbiorów poziomicowych i metody elementów skończonych. Za pomocą
metody zbiorów poziomicowych w procesie iteracyjnym dokonano reprezentacji
kształtu brzegu i jego ewolucji. Równanie Laplace’a dla całego badanego
obszaru rozwiązywano w kolejnych iteracjach za pomocą metody elementów
skończonych.
Przedstawiona metoda identyfikuje nieznany kształt obiektu z możliwością rozdzielenia się na kilka obiektów.
100
T. Rymarczyk, S. F. Filipowicz
a)
c)
b)
d)
Rys. 5. Rekonstrukcja obrazu tomograficznego z wykorzystaniem metody zbiorów
poziomicowych: a) bez reinicjalizacji, b) z reinicjalizacją, c) z wykorzystaniem wąskiego pasma
(ang. narrowband), d) z aproksymacją funkcji zbiorów poziomicowych do węzłów siatki
a)
b)
c)
d)
Rys. 6. Rekonstrukcja obrazu tomograficznego z wykorzystaniem metody zbiorów poziomicowych dla różnych współczynników regularyzacji (lepkości): a) ε = 0,b) ε = 0.001,
c) ε = 0.00001, d) ε = 0.000001
Wykorzystanie metody zbiorów poziomicowych w procesie segmentacji …
101
5. WNIOSKI
Przedstawiony w pracy algorytm do segmentacji obrazów z wykorzystaniem metody zbiorów poziomicowych oraz jego wersje wariacyjne, jest
znacznie szybszy od metod tradycyjnych i nie wymaga kosztownej czasowo
reinicjalizacji. W zagadnieniu segmentacji wykorzystano rzeczywiste obrazy, co
pozwoliło zweryfikować praktyczne zastosowanie przedstawionych metod. Al.gorytm numeryczny daje obiecujące rezultaty. Obiekty są wydzielane i odseparowywane z dużą dokładnością. Oddzielenie fragmentów obrazu o wspólnych
cechach, pozwala określać precyzyjniej granice pomiędzy poszczególnymi fragmentami. Proces konstrukcji obrazu w zagadnieniu odwrotnym tą metodą jest
bardziej skomplikowany. Na jakość obrazów i szybkość ich rekonstrukcji duży
wpływ mają poszczególne elementy algorytmu oraz parametry poszczególnych
równań. Wybór wariantu rozwiązania ma decydujący wpływ na zbieżność
algorytmu i jakość otrzymywanych wyników.
Metoda zbiorów poziomicowych w wielu przypadkach udowadnia swoją
wyższość i odpowiedniość w porównaniu do innych sposobów modelowania.
Jest silną i stosunkowo łatwą w implementacji alternatywą dla tych metod.
Dokładność, prawidłowość i precyzja w oddawaniu zawiłości topologicznych
badanych powierzchni takich jak krawędzie czy rogi to tylko nieliczne z jej wielu
zalet.
LITERATURA
1. Cytowski J., Gielecki J., Gola A.: Cyfrowe przetwarzanie obrazów medycznych. Algorytmy.
Technologie. Zastosowania. Exit, Warszawa, 2008.
2. Filipowicz S. F., Rymarczyk T., Sikora: J. Level Set Method for inverse problem solution in
electrical impedance tomography. XII ICEBI & V EIT Conference. Gdańsk, 2004.
3. Filipowicz S. F., Rymarczyk T.: Tomografia Impedancyjna, pomiary, konstrukcje i metody
tworzenia obrazu. BelStudio, Warsaw, 2003.
4. Ito K., Kunish K., Li Z.: The Level-Set Function Approach to an Inverse Interface Problem.
Inverse Problems, Vol. 17, No. 5, October, 2001, pp. 1225–1242.
5. C. Li, C. Xu, C. Gui, and M. D. Fox: Level set evolution without re-initialization: A new
variational formulation. In IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognotion
(CVPR), volume 1, pages 430–436, 2005.
6. Osher S., Fedkiw R.: Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer, New York, 2003.
102
T. Rymarczyk, S. F. Filipowicz
7. Osher S., Sethian J.A.: Fronts Propagating with Curvature Dependent Speed: Algorithms
Based on Hamilton-Jacobi Formulations. Journal of Computational Physics 79, 12-49, 1988.
8. Osher, S., Fedkiw, R.: Level Set Methods: An Overview and Some Recent Results. Journal
of Computational Physics 169, 463-502, 2001.
9. Sethian J.A.: Level Set Methods and Fast Marching Methods. Cambridge Univeristy Press
1999.
10. Sikora J.: Algorytmy numeryczne w tomografii impedancyjnej i wiroprądowej. WPW,
Warszawa 2000.
11. Zhao, H.-K., Osher, S. and Fedkiw, R.: Fast Surface Reconstruction using the Level Set
Method. 1st IEEE Workshop on Variational and Level Set Methods, in conjunction with the
8th International Conference on Computer Vision (ICCV), Vancouver, Canada, 194-202,
2001.
Rękopis dostarczono dnia 15.09.2009 r.
Opiniował: prof. dr hab. Jan Sikora
USING LEVEL SET METHODS
IN THE SEGMENTATION PROCESS
AND THE IMAGE RECONSTRUCTION
T. RYMARCZYK, S. F. FILIPOWICZ
ABSTRACT
This paper presents the applications of the level
set function for images segmentation and for identification the
unknown shapes of an interface motivated by Electrical Impedance
Tomography (EIT). The level set idea is known to be a powerful and
versatile tool to model evolution of interfaces. Variational formulation
for geometric active contours that forces the level set function to be
close to a signed distance function. In the inverse problem of EIT the
representation of the shape of the boundary and its evolution during
an iterative reconstruction process is achieved by the level set
method. The conductivity values in different regions are determined
by the finite element method.