optymalne projektowanie kształtu metodą zbiorów poziomicowych

Przemysław BEROWSKI
Magdalena STASIAK
Jan SIKORA
OPTYMALNE PROJEKTOWANIE KSZTAŁTU
METODĄ ZBIORÓW POZIOMICOWYCH
STRESZCZENIE
W pracy przedstawiono rozwiązanie zadania odwrotnego dla problemu opisanego równaniem różniczkowym
Laplace’a. Poszukiwano wartości promienia kondensatora, dla którego przebieg napięcia między okładkami będzie zbliżony do zadanego. Do optymalizacji kształtu zastosowano w tym przypadku metodę zbiorów poziomicowych, znaną z teorii funkcji wypukłych. Zastosowana metoda okazała się w przedstawionym przypadku efektywna
i szybko zbieżna do oczekiwanego rozwiązania.
Słowa kluczowe: optymalne projektowanie kształtu, optymalizacja,
metoda zbiorów poziomicowych
dr inż. Przemysław BEROWSKI1), dr inż. Magdalena STASIAK2)
e-mail: [email protected], e-mail: [email protected]
prof. dr hab. inż. Jan SIKORA1)
e-mail: [email protected]
1)
Instytut Elektrotechniki
2)
Politechnika Łódzka
Wydział Elektrotechniki, Elektroniki, Informatyki i Automatyki,
Instytut Aparatów Elektrycznych
PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 233, 2007
22
#1.
P. Berowski, M. Stasiak, J. Sikora
WSTĘP
Zagadnienie optymalizacji kształtu stanowi od lat siedemdziesiątych
XX wieku jeden z najważniejszych problemów badawczych w zakresie teorii zastosowań optymalizacji w analizie pola elektromagnetycznego.
Metody optymalnego projektowania kształtu urządzeń elektromagnetycznych wykorzystywane są w celu osiągnięcia określonych specyficznych cech
danego urządzenia, np. uzyskania określonego rozkładu pola elektromagnetycznego. Rozwiązanie zadania optymalizacji związane jest ze znalezieniem
ekstremum funkcji celu opisującej rozważany problem. Powszechnie stosowane
metody, służące do minimalizacji funkcji celu, można podzielić na gradientowe
(np. metoda gradientów sprzężonych, zmiennej metryki) oraz bezgradientowe
(np. algorytmy genetyczne, symulowane wyżarzanie).
Metody gradientowe zaliczane są do metod deterministycznych i opierają
się na wartości funkcji celu oraz jej pochodnych, a ich zadaniem jest znalezienie
lokalnego minimum funkcji celu. Są to metody trudne w implementacji, gdyż
konieczne jest zagwarantowanie ciągłości funkcji celu i jej gradientu. Natomiast
algorytmy stochastyczne (metody bezgradientowe) poszukują minimum globalnego i korzystają z informacji o wartościach funkcji celu. W tym przypadku
nie jest wymagana ciągłość ani różniczkowalność funkcji. Podstawową wadą
metod stochastycznych jest ich powolna zbieżność i duża złożoność czasowa
(wymagają czasami kilku tysięcy analiz pola).
W niniejszej pracy zaproponowano rozwiązanie zadania optymalizacyjnego dotyczącego kondensatora cylindrycznego metodą zbiorów poziomicowych. Zbiory poziomicowe są powszechnie znanym pojęciem w teorii analizy
wypukłej dla przestrzeni unormowanych. Natomiast w literaturze dotyczącej
optymalizacji kształtu tej metodzie poświęcono dotychczas niewiele uwagi.
Pionierską pracą, dotyczącą zastosowania metody zbiorów poziomicowych do
optymalizacji kształtu, była praca Oshera i Santosy – Level set methods for
optimization problems involving geometry and constraints (Journal Comput.
Phys. 2001) [4].
Przedstawiony problem stanowi rozpoczęcie prac nad nową metodą
konstrukcji obrazu w tomografii rezystancyjnej, optycznej oraz ultradźwiękowej.
2. METODA ZBIORÓW POZIOMICOWYCH
Metoda zbiorów poziomicowych (ang. level set method) jest techniką
numeryczną służącą do śledzenia kształtów pewnych figur i zależności. Jej
Optymalne projektowanie kształtu metodą zbiorów poziomicowych
23
zaletą jest możliwość wykonywania obliczeń numerycznych związanych z krzywymi lub płaszczyznami w układzie kartezjańskim bez konieczności parametryzowania tychże obiektów.
W metodzie zbiorów poziomicowych rozważany obszar Ω posiada ruchomy brzeg Γ, który porusza się z wyznaczoną w kolejnych krokach prędr
kością v [4, 5]. Prędkość ta może zależeć od pozycji, czasu, geometrii brzegu
Γ oraz warunków zewnętrznych. Idea zbiorów poziomicowych, przedstawiona
w 1987 roku przez S. Oshera i J.A. Sethiana, polega na zdefiniowaniu funkcji
ϕ ( x, t ) = 0 (rys. 1), która reprezentuje poruszający się brzeg.
#10#
Rys. 1. Zerowy zbiór poziomicowy
Zbiór poziomicowy funkcji ϕ posiada następujące własności (rys. 2):
ϕ ( x, t ) > 0
ϕ ( x, t ) < 0
ϕ ( x, t ) = 0
x ∈ Ω1
x ∈ Ω2
(1)
x ∈ ∂Ω = Γ (t )
Na początku procesu iteracyjnego granica brzegu jest reprezentowana
przez zerowy zbiór poziomicowy (ang. zero level set). W całym obszarze
ograniczonym tym brzegiem rozwiązuje się równanie Poissona dla zmiennej
24
P. Berowski, M. Stasiak, J. Sikora
sprzężonej. Wyznaczona prędkość pozwala na aktualizację funkcji zbioru poziomicowego na podstawie równania Hamiltona-Jacobiego [2, 4, 5]:
∂ϕ r
+ v ∇ϕ = 0
∂t
(2)
gdzie:
r
r ∇ϕ
vN = v
∇ϕ
Niech p ∈ H 1 (Ω 2 ) będzie funkcją spełniającą równanie sprzężone (gdzie
H 1 — przestrzeń Sobolewa):
− Δp = u − u 0
(3)
do równania stanu (w tym przypadku równanie Laplace’a) z jednorodnymi warunkami brzegowymi:
p = 0 na brzegu Γ
oraz
p = 0 na ∂Ω
#12#
Rys. 2. Rozpatrywany obszar z interfejsem Γ , reprezentowanym przez poziomicę zerową
(4)
Optymalne projektowanie kształtu metodą zbiorów poziomicowych
25
Rozważmy obszar Ω t = Ft (Ω1 ) będący obrazem obszaru Ω1 , uzyskany przez
odwzorowanie Ft : R 2 → R 2 zdefiniowane jako Ft ( x1 , x 2 ) = ( x1 , x 2 ) + th( x1 , x 2 ) , przy
czym ut ∈ H 1 (Ωt ) . Pochodną materialną u& (x) definiujemy jako:
u t (x + thx) − u (x)
, x ∈ Ω1 .
t →0
t
u& (x) = lim
(5)
Dla funkcjonału J (Ω) = ∫ Φ (u ) ds obliczamy pochodną materialną, uwzΓ
ględniając fakt, że pochodne styczne równają się zeru uτ = pτ = 0 :
lim
t →0
J ( Γ t ) − J ( Γ)
= ∫ (u − u 0 , u ′)dx = ∫ (∇u ⋅ ∇p )(n ⋅ h )ds ,
t
Ω1
Γ
(6)
gdzie:
Γ t = {x : ϕ (x + th(x)) = 0},
u′ — pochodna kształtu określona równaniem:
u t ( x) − u ( x)
= u& (x) − h(x) ⋅ ∇u (x), x ∈ Ω1 .
t →0
t
u ′(x) = lim
(7)
Korzystając ze wzoru (6) oraz stosując twierdzenie o liniowej zależności
wartości pochodnej kierunkowej od wektora, w którego kierunku obliczana jest
pochodna możemy wyznaczyć na brzegu Γ kierunek największego spadku wekr
tora prędkości v funkcjonału J jako [2]:
r
r
v = −(∇u ⋅ ∇p )n
(8)
3. KONDENSATOR CYLINDRYCZNY
#12#
Rozważmy kondensator cylindryczny, którego przekrój poprzeczny pokazany jest na rys. 3. Kondensator posiada dwa brzegi: jeden o promieniu a
26
P. Berowski, M. Stasiak, J. Sikora
i drugi o promieniu b. W zadaniu tym rozkład potencjału elektrycznego między
okładkami opisuje równanie Laplace’a, które w układzie walcowym przyjmuje
postać:
1 ∂ ⎛ ∂u ⎞
⎜r ⎟ = 0
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
(9)
z warunkami brzegowymi:
ua = 1
(10)
ub = 0
#10#
Rys. 3. Przekrój poprzeczny kondensatora
#12#
Rozwiązaniem analitycznym równania (9) z warunkami brzegowymi (10)
jest potencjał:
u (r ) =
ua
r
ln
a b
ln
b
(11)
27
Optymalne projektowanie kształtu metodą zbiorów poziomicowych
W zadaniu zakładamy, że znany jest rozkład potencjału u w obszarze
pierwotnym Ω, natomiast wymagany rozkład potencjału jest określony funkcją:
u 0 (r ) = −0,721348 ln (0,714286r )
(12)
Należy znaleźć obszar Ω0, który zapewni nam żądany rozkład u0, co
sprowadza się do znalezienia obszaru, w którym funkcja u0 będzie rozwiązaniem równania Laplace’a z warunkami brzegowymi (10).
Brzegi wyznaczone przez promienie a i b są brzegami ruchomymi, podlegającymi transformacji. Proces poszukiwania obszaru Ω0, w którym uzyskamy
żądany rozkład potencjału u0, będzie następował w wyniku przesunięcia obu
brzegów kondensatora. Stosując metodę zbiorów poziomicowych rozwiązanie
zadania rozpoczynamy od ustawienia zerowego zbioru poziomicowego
Γ 0 = ϕ ( x, 0) w chwili t = 0. Następnie, aż do osiągnięcia warunku zbieżności,
przeprowadzamy obliczenia iteracyjnie według schematu [2]:
• rozwiązujemy równanie Laplace’a (9) z warunkami brzegowymi (10),
• zadajemy rozkład potencjału u0 (12),
• wyznaczamy różnicę między wartością obserwowaną a oczekiwaną
u − u0 ,
• rozwiązujemy równanie sprzężone do równania (9) o postaci:
− Δp = u − u0 ,
(13)
• wyznaczamy składową normalną prędkości szukanej wartości r w kolejnym kroku iteracji jako iloczyn gradientów równania stanu i równania
sprzężonego:
vk = ∇pk ⋅ ∇uk ,
(14)
• uaktualniamy wartość funkcji ϕ (x, t ) rozwiązując równanie HamiltonaJacobiego o postaci:
ϕ tk + vk ∇ϕ k = 0
(15)
ϕ tk +1 = ϕ tk − Δt vk ∇ϕ k ,
(16)
zatem:
28
P. Berowski, M. Stasiak, J. Sikora
gdzie
⎧⎪ h
Δt = min ⎨
⎪⎩ 2 v k
•
∞
h ⎫⎪
, ⎬ , h = −v ,
2 ⎪⎭
jeśli spełniony jest założony warunek zbieżności, kończymy obliczenia.
Wyniki działania algorytmu przedstawiono na rys. 4 i 5. Proces jest
zbieżny do rozwiązania oczekiwanego.
#1Rys. 4. Przebieg procesu iteracyjnego
Optymalne projektowanie kształtu metodą zbiorów poziomicowych
29
Rys. 5. Składowa normalna prędkości w trakcie procesu iteracyjnego
5. WNIOSKI
#12#
W pracy przedstawiono metodę optymalnego projektowania kształtu
z wykorzystaniem zbiorów poziomicowych. Do wyznaczenia prędkości przemieszczania się brzegu posłużono się gradientem równania stanu oraz równania sprzężonego. Przedstawiony eksperyment numeryczny pokazał efektywność zastosowanej metody, która będzie mogła być stosowana do rozwiązywania zagadnień optymalizacji kształtu w teorii pola elektromagnetycznego
(np. do optymalizacji kształtu urządzeń lub konstruowania obrazów w tomografii
rezystancyjnej, indukcyjnej, optycznej i ultradźwiękowej).
LITERATURA
1. Bertsekas D.P., Nedic A, Ozdaglar A.E., Convex Analysis and Optimization, Athena
Scientific, Belmont, 2003
30
P. Berowski, M. Stasiak, J. Sikora
2. Ito K., Kunisch K., Li Zh.: Level-set function approach to an inverse interface problem,
Inverse Problems 17 (2001) 1225–1242, Institute of Physics Publishing
3. Osher S., Fedkiw R.: Level Set Methods and Dynamic Implicite Surfaces. Springer, 2003
4. Osher S., Santosa F., Level set methods for optimization problems involving geometry and
constraints, Journal of Comput. Physics 171, pp.272-288, 2001
5. Sethian J.A.: Level Set Methods and Fast Marching Methods. Cambridge University Press,
1999
6. Sokolowski J., Zolesio J.P., Introduction to Shape Optimization, Springer-Verlag, 1992
Rękopis dostarczono, dnia 12.03.2007 r.
Opiniował: prof. dr hab. inż. Krystyn Pawluk
OPTIMAL SHAPE DESIGN
BY LEVEL-SET METHOD
P. BEROWSKI, M. STASIAK,
J. SIKORA
ABSTRACT
The inverse problem solution for the one
described by Laplace’s equation was presented in the paper. The
outer radius of the capacitor was optimized to achieve desired
potential distribution. Shape optimization with level-set method (LSM)
was used in this case. Thanks to use LSM optimization problem was
solved effectively. In the future described method will be used to
image construction in electrical tomography.