Zad. 2.5 (d) Obliczyć długość łuku krzywej L : y = ex, 1 2 ln 2 x 1 2 ln

Zad. 2.5 (d) Obliczyć długość łuku krzywej L : y = ex, 1 2 ln 2 x 1 2 ln

Zad. 2.5 (d) Obliczyć długość łuku krzywej
1
1
ln 2 ¬ x ¬ ln 3.
2
2
L : y = ex ,
Rozwiązanie:
y
4
y = ex
3
2
L
1
-2
-1
1
2
0
ln 2
1
2
ln 3
x
1
1
1
ln 2 ¬ x ¬ ln 3. Wówczas y 0 (x) = ex .
2
2
Łuk L opisany jest równaniem: y(x) = ex ,
Stosując wzór na długość łuku otrzymujemy:
1
2
1
2
|L| =
=



























































1
2
Zln 2q
1 + [y 0 (x)]2 dx =
1
2
ln 2
Podst:
Zln 2q
1
2
1 + [ex ]2 dx =
√
1 + e2x = t
1 + e2x = t2
2x = ln (t2 − 1) / : 2
1 x = ln t2 − 1
2
t
dt
dx = 2
t −1
√
1
ln 2 7→ 3
2
1
2
=
Z2 √
3
ln 3 7→ 2
1
2
ln 2



























































=
Z2
√
3
Zln 2√
1 + e2x dx =
ln 2
Z2
Z2
t
t2
t2 − 1 + 1
t· 2
dt ==
dt
=
dt =
2
t −1
t2 − 1
√ t −1
√
3
3
√
1
1 t − 1 2
1 1 √
1
3−1
1+ 2
dt = t + ln =
√ = 2 + ln − 3 − ln √
t −1
2
t+1
2 3
2
3+1
3
√
2
√
√
!2
3+1
√
√
√
1
3+1
1
1
3+1
= 2 − 3 + ln
√
= 2 − 3 + ln √
= 2 − 3 + ln
=
2 3 3−1
2
6
2
6
√ √ √
√
√
√
2
3
+
3
3 2+ 6
= 2 − 3 + ln
= 2 − 3 + ln
.
6
6
Odp: Długość łuku podanej krzywej wynosi 2 −
√
3 + ln
√
√
2(3+ 3)
.
6