badanie wybranych struktur niezawodnościowych

ZAKŁAD EKSPLOATACJI SYSTEMÓW ELEKTRONICZNYCH
INSTYTUT SYSTEMÓW ELEKTRONICZNYCH
WYDZIAŁ ELEKTRONIKI
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PODSTAWY EKSPLOATACJI SYSTEMÓW
ĆWICZENIE LABORATORYJNE
NR 5
BADANIE WYBRANYCH STRUKTUR
NIEZAWODNOŚCIOWYCH
1. Narzędzia wspomagające realizację ćwiczenia:
– komputerowy program LOS-20L.PAS umożliwiający badanie niezawodności obiektów o wybranych strukturach niezawodnościowych.
2. Przedmiot ćwiczenia:
– wirtualne modele struktur niezawodnościowych.
3. Cel ćwiczenia:
– wyznaczenie wybranych wskaźników niezawodnościowych dla typowych struktur
niezawodnościowych.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Warszawa – 2013/2014
1. PODSTAWY TEORETYCZNE I ZAŁOŻENIA
Ćwiczenie poświęcone jest praktycznemu wyznaczaniu wskaźników niezawodnościowych obiektów o 4-ch typowych strukturach niezawodnościowych.
OBIEKT 1
Obiekt 1 ma najprostszą strukturę, zawiera jeden element – jak na Rys.1.
e
Rys.1. Obiekt o strukturze jednoelementowej
Zakładamy, że prawdopodobieństwo nieuszkadzalności tego elementu ma znaną postać rozkładu wykładniczego:
−λ t
R(t) = e e
(1)
gdzie: λe – intensywność uszkodzeń (jest parametrem rozkładu).
Przyjmijmy, że: λe = const; oraz, że wartość λe nie jest znana.
1
Dla rozkładu wykładniczego: λ e =
(2)
Tu
gdzie:
T u – wartość oczekiwana czasu do uszkodzenia.
OBIEKT 2
Obiekt 2 składa się z N szeregowo połączonych elementów – jak na Rys.2a. Obiekt
ten przedstawia szeregową strukturę niezawodnościową. Oznacza to, że obiekt jest wtedy
zdatny, gdy wszystkie jego elementy są zdatne.
e1
e2
eN
e3
Rys. 2a. Obiekt o szeregowej strukturze niezawodnościowej
Prawdopodobieństwo nieuszkadzalności dla takiego obiektu zapisujemy w postaci:
N
R SZ (t ) = R 1 (t )R 2 (t )L R N (t ) = e −λ1t e −λ 2t L e −λ N t = ∏ e −λ i t = e −( λ1 + λ 2 +L+λ N ) t
(3)
i =1
gdzie: λ i – intensywność uszkodzeń elementu ei.
Można wykazać również, że w przypadku takiego obiektu wartość oczekiwana czasu
do uszkodzenia może być wyznaczona z zależności:
T uSZ =
1
N
Σ λi
i =1
Jeśli przyjmiemy, że:
λ1 = λ 2 = L = λ N = λ e
to otrzymamy:
2
R SZ (t) = (e − λ e t ) = e − N λ e t
N
T uSZ =
oraz
1
N λe
(4)
Poddajmy badaniu obiekt 2-elementowy o strukturze jak na Rys.2b. Są to elementy o jednakowych właściwościach niezawodnościowych, takich samych jak w obiekcie 1.
e2
e1
Rys.2b. Obiekt o strukturze szeregowej, dwuelementowej
Zatem dla N = 2 otrzymujemy:
R SZ2 (t) = (e − λ e t ) = e −2λ e t
2
oraz
T uSZ2 =
1
2λ e
(5)
OBIEKT 3
Obiekt 3 składa się z N równolegle połączonych elementów – jak na Rys.3a. Obiekt
ten przedstawia równoległą strukturę niezawodnościową z rezerwą obciążoną. Obiekt jest
wtedy zdatny, gdy co najmniej jeden jego element jest zdatny. Zauważmy, że w tym przypadku wszystkie elementy pracują od początku funkcjonowania obiektu.
e1
e2
eN
Rys. 3a. Obiekt o równoległej strukturze niezawodnościowej z rezerwą obciążoną
Prawdopodobieństwo nieuszkadzalności dla takiego obiektu zapisujemy w postaci:
R RObc ( t ) = 1 − [(1 − R 1 ( t ) ) (1 − R 2 ( t ) ) L (1 − R N ( t ) )] =
N
1 − [(1 − e − λ1t ) (1 − e − λ 2 t )L (1 − e − λ N t )] = 1 − ∏ (1 − e − λ i t ) ;
(6)
t≥0
i =1
Jeśli przyjmiemy, że:
λ1 = λ 2 = L = λ N = λ e
to otrzymamy:
R RObc (t) = 1 − (1 − e − λ e t )
N
(7)
Wartość oczekiwaną czasu do uszkodzenia wyznaczyć można z następującego wyrażenia:
3
∞
∞
0
0
T uRObc = ∫ R RObc (t)dt = ∫ 1 − (1 − e − λ e t ) dt =
(
)
N
(8)
1
1 1
= 1+ +L+
≈ ( 0,577 + ln N ) T ue
2
N λe
Poddajmy badaniu obiekt 2-elementowy o strukturze jak na Rys.3b.
e1
e2
Rys.3b. Obiekt o strukturze równoległej, dwuelementowej z rezerwą obciążoną
Są to elementy o jednakowych właściwościach niezawodnościowych, takich samych jak w obiekcie 1. Zatem dla N = 2:
T uRObc2 = 1,5 T ue =
1,5
λe
oraz
R RObc2 (t) = 1 − (1 − e − λ e t )
2
(9)
OBIEKT 4
Obiekt 4 składa się z N równolegle połączonych elementów jak na Rys.4a. Obiekt ten
przedstawia równoległą strukturę niezawodnościową z rezerwą nieobciążoną. Obiekt jest
wtedy zdatny, gdy co najmniej jeden jego element jest zdatny. Zauważmy, że w tym przypadku funkcjonowanie obiektu rozpoczyna się od uruchomienia 1-ego elementu (podstawowego). Pozostałe elementy początkowo nie pracują. Po uszkodzeniu pierwszego elementu zostaje uruchomiony drugi element (rezerwowy), po jego uszkodzeniu następny, itd.
Zakładamy, że przełączenia odbywają się niezawodnie.
e1
e2
eN
Rys. 4a. Obiekt o równoległej strukturze niezawodnościowej z rezerwą nieobciążoną
Wartość oczekiwana czasu do uszkodzenia wynosi:
T uRNobc = T u1 + T u2 + L + T uN
oraz
4
(10)

(λt )2 + (λt )3 + ... + (λt )( N −1)  e (−λt )
R RNobc (t ) =  1 + λt +
(N − 1)! 
2!
3!

(11)
Poddajmy badaniu obiekt 2-elementowy o strukturze jak na Rys.4b.
e1
e2
Rys.4b. Obiekt o strukturze równoległej, dwuelementowej z rezerwą nieobciążoną
Są to elementy o jednakowych właściwościach niezawodnościowych, takich samych jak w obiekcie 1. Zatem dla N = 2:
T uRNobc2 = 2 T ue
R RNObc ( t ) = (1 + λt ) e( − λt )
oraz
(12)
2. ZADANIE
Należy przeprowadzić badania nieuszkadzalności na zbiorach obiektów elektronicznych o strukturach jak w obiektach 1, 2, 3 i 4. Zbiór tworzący badaną próbę posiada liczność
N.
Całkowity czas badania wynosi Tb jednostek umownych czasu (np. godz.).
Czas ten należy podzielić na m = 20 jednakowych przedziałów o długości
Δti = Δt = Tb/m; (i = 1,2,..., m).
Każdemu przedziałowi należy przyporządkować następujące, bieżące czasy trwania
próby:
– czas tip – liczony od chwili rozpoczęcia eksperymentu do początku przedziału Δti;
czas ten określa wyrażenie:
i −1
t ip = ∑ ∆t k dla i ≥ 2
t ip = 0 dla i = 1,
k =1
– czas tis – liczony od chwili rozpoczęcia eksperymentu do środka przedziału Δti;
czas ten określa wyrażenie:
1
t is = ∆t i
2
dla i = 1,
i −1
t is = ∑ ∆t k +
k =1
1
∆t i
2
dla i ≥ 2
Należy wyznaczyć w eksperymencie symulacyjnym:
– liczbę ∆nk elementów uszkodzonych w każdym przedziale czasowym Δti.;
– liczbę elementów ni, które uszkodziły się od chwili rozpoczęcia badania do początku przedziału Δti, na podstawie wyrażenia:
i −1
n i = ∑ ∆n k dla i ≥ 2
n i = 0 dla i = 1,
k =1
5
Na podstawie wyników eksperymentów obliczyć dla wybranych struktur:
– prawdopodobieństwo nieuszkadzalności (w funkcji czasu):
R ∗ (t is ) =
N − ni
n
= 1− i
N
N
(13)
– prawdopodobieństwo uszkadzalności (w funkcji czasu):
Q ∗ (t is ) =
– częstość uszkodzeń (w funkcji czasu):
f ∗ (t is ) =
– intensywność uszkodzeń:
λ∗ ( t is ) =
ni
N
(14)
∆n i
N ∆t i
∆n i
( N − n i ) ∆t i
(15)
– średni czas do pierwszego uszkodzenia:
Tu∗ =
1 m
∑ ∆n i ⋅ t is
N i =1
(16)
Wyniki obliczeń i badań umieścić w tabelach oraz wykonać odnośne wykresy.
PLAN BADANIA
1) Zbiór tworzący badaną próbę zawiera N elementów.
2) Elementów uszkodzonych nie zastępuje się nowymi.
3) Badanie trwa do chwili uszkodzenia wszystkich elementów.
UWAGI KOŃCOWE
1. Przeprowadzić trwałościowe badania symulacyjne omówionych powyżej obiektów
2. Na podstawie otrzymanych wyników obliczyć wartości podstawowych wskaźników
niezawodnościowych oraz narysować odpowiednie funkcje niezawodnościowe
3. Opracować wnioski
6