V lista zadań z UŻ 11

V Lista zadań z Ubezpieczeń Życiowych 2011
(przypominam, że zostały z poprzedniej listy zadania numer 30 i 31)
Zadanie 32.
Dane są: ( DA)1x:10 = 1,2362; A1x:10 = 0,221; v = 0,95, qx = 0,0241; qx+10 = 0,0504;
10qx
= 0,2946. Oblicz ( DA)1x +1:10 .
Zadanie 33.
Należy wyznaczyć jednorazową składkę netto za bezterminową polisę na życie osoby 50letniej, gwarantującą wypłatę 1 j. p. na koniec tego roku, w którym nastąpi śmierć osoby
ubezpieczonej. Przyjąć, że:
(i)
analogiczna składka dla osoby o 1 rok młodszej wynosi 0,6,
(ii)
stopa procentowa wynosi 10%, czyli i=10%,
dane są wartości funkcji komutacyjnych D49 = 850 oraz D50 = 765 .
Zadanie 34.
Osoba (x) może kupić za tę samą składkę jednorazową netto SJN = 5 jedną z polis P(m).
Ubezpieczenie P(m) wypłaca na koniec roku śmierci świadczenie w wysokości
K +1

h(m) dla K = 0,1,2, K , m − 1
c K +1 =  m
 h(m)
dla
K ≥m
czyli suma ubezpieczenia rośnie liniowo do kwoty h(m) przez m lat. Dane są h(5) = 15, Mx+5
= 2500, Dx = 8500. Oblicz h(6).
Zadanie 35.
Zakładając, że rozkład trwania życia dany jest prawem de Moivre’a z ω = 100 oraz i = 0,05
obliczyć
1
a) A30:10 ,
b) wariancję obecnej wartości wypłaty ubezpieczenia z a).
Zadanie 36.
Oceń prawdziwość 18 stwierdzeń w podanej tabeli
Stwierdzenie
a) wraz z rosnącym t gęstość prawdopodobieństwa g(t)
b) wraz z rosnącym t intensywność wymierania µx+t
c) wraz z rosnącym t prawdopodobieństwo tqx
d) wraz z rosnącym x prawdopodobieństwo tqx
e) wraz z rosnącym x przeciętne dalsze trwanie życia
f) wraz z rosnącym x składka A x
1
g) wraz z rosnącym x składka A x:n
h) wraz z rosnącym n składka A x:n
1
Rozkład de
Moivre’a
jest stała
rośnie
rośnie
rośnie
maleje
rośnie
rośnie
Rozkład
wykładniczy
maleje
jest stała
rośnie
jest stałe
jest stałe
jest stała
jest stała
maleje
jest stała
Zadanie 37.
Mając dane δt = 0,2/(1+0,05 t) i lx = 100 – x, gdzie 0 ≤ x ≤ 100, obliczyć
a) dla ubezpieczenia na całe życie (x) jednorazową składkę netto i wariancję obecnej
wartości wypłaty,
b) (I A)x .
Zadanie 38.
Danych jest 100 niezależnych żyć (x), µ = 0,04, wypłata w momencie śmierci wynosi 1000 zł
i δ = 0,06. Obliczyć minimalny fundusz, który w chwili t = 0 pokrywa w 95% żądania wypłat.
Zadanie 39.
Rozważmy ubezpieczenie na całe życie z odroczeniem 5-letnim dla (x) z wypłatą w
momencie śmierci, gdzie µ = 0,04 i δ = 0,10. Oblicz składkę netto i wariancję aktualnej
wartości wypłaty.
Zadanie 40.
Rozważamy 20-letnie ubezpieczenie na życie i dożycie dla (x), wybranego z populacji,
w której śmiertelnością rządzi prawo de Moivre’a z wiekiem granicznym ω, przy czym
zakładamy, że x + 20 < ω. Wypłaca ono b w chwili śmierci, jeśli ubezpieczony umrze
w okresie ubezpieczenia lub wypłaca c po 20 latach, jeśli ubezpieczony dożyje wieku (x +
20). Proporcja b/c jest tak dobrana, że jednorazowa składka netto za to ubezpieczenie nie
zmieni się, jeśli wiek graniczny ω w danej populacji zmieni się o ∆ω (zakładamy, że dalej
spełniona jest nierówność x + 20 < ω + ∆ω ). Obliczyć b/c. Dane jest δ = 0,05.
Zadanie 41.
Bezterminowe ubezpieczenie na życie (x), wystawione za jednorazową składkę netto A x ,
wypłaca 1 w chwili śmierci. Ubezpieczony (x) jest wybrany z populacji de Moivre’a
2
2
z wiekiem granicznym ω. Obliczyć granicę wyrażenia A x / A x , gdy x → ω.