II Lista zadań z Ubezpieczeń Życiowych 2015

II Lista zadań z Ubezpieczeń Życiowych 2015
Zadanie 7.
Zmiana rozkładu trwania życia typu C(a,b) polega na tym, że nowa funkcja µ’x wyraża się
przez „starą” funkcję µx wzorem µ’x = aµx + b dla każdego x ≥ 0 przy czym a i b są
parametrami. Niech tpx(a,b) oznacza tpx dla populacji zmienionej. Dane są tpx(1,05,0,001) =
0,72465; tpx(1,02,0,002) = 0,716458. Oblicz tpx(1,11,0,004).
Zadanie 8.
Niech x jest funkcją ciągłą. Pokazać, że

t p x  t p x (  x   x t ) ,
x
0
d 0
ex  ex x 1.
b)
dx
a)
Zadanie 9.
W populacji B natężenie wymierania jest w każdej kategorii wieku o 20% większe niż w
populacji A, tzn.  x( B )  1,2 x( A) . Oblicz prawdopodobieństwo, że (x) wybrany losowo z
populacji A będzie żył nie krócej niż (x) wybrany losowo z populacji B.
Zadanie 10.
Śmiertelność populacji z granicznym wiekiem 100 lat opisuje
 x  0,6 /(100  x) .
o
Oblicz prawdopodobieństwo dożycia przez noworodka wieku x  e x .
Zadanie 11.
Przeciętne całkowite dalsze trwanie życia osoby w wieku x lat wynosi 28,5 lat, czyli
ex  EK x   28,5 . Wiedząc, że e x1  27,7 lat, należy określić wielkość px .
Zadanie 12.
Oceń prawdziwość 10 stwierdzeń w podanej tabeli
Stwierdzenie
Rozkład de
Moivre’a
gęstość jest stała
a)
wraz
z
rosnącym
t
prawdopodobieństwa g(t)
b) wraz z rosnącym t intensywność umieralności rośnie
x+t
c) wraz z rosnącym t prawdopodobieństwo tqx
rośnie
d) wraz z rosnącym x prawdopodobieństwo tqx
rośnie
e) wraz z rosnącym x przeciętne dalsze trwanie maleje
życia
Rozkład
wykładniczy
maleje
jest stała
rośnie
jest stałe
jest stałe
Zadanie 13.
W danej populacji śmiertelnością rządzi prawo de Moivre'a z wiekiem granicznym  . O
wieku x wiadomo, że osoby w tym wieku umierają w ciągu doby dwa razy rzadziej niż osoby
dwukrotnie starsze. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x dożyje wieku 2x.
Zadanie 14.
W populacji de Moivre’a współczynnik umieralności (ang. central death rate) w wieku x
wynosi mx = 2/117, a dla osobników dwa razy starszych m2x = 2/27. Podaj maksymalny wiek
d
w tej populacji. Wsk. m x  1 x .
 l xt dt
0
Zadanie 15.
Rozważamy populację Gompertza z funkcją intensywności śmiertelności postaci
x+t = B 1,05x+t. Niech przedział wiekowy [x, x +10] charakteryzuje się tym, że największe
jest w nim prawdopodobieństwo śmierci noworodka (spośród wszystkich przedziałów 10letnich). Oblicz 10px.
Zadanie 16.
W danej populacji śmiertelnością rządzi prawo Weibulla z intensywnością wymierania
x+t = k (x+ t), gdzie parametr k > 0. Oblicz SD(T(0))/E(T(0)) (SD oznacza odchylenie
standardowe).