1x 6x − + )1x(log )x(f + = )3x2 xlog( )( arctg )x(f − + = xctg 3 3lim ⋅ −

1x 6x − + )1x(log )x(f + = )3x2 xlog( )( arctg )x(f − + = xctg 3 3lim ⋅ −

FUNKCJA ZŁOŻONA, FUNKCJA ODWROTNA.
1
1. Dane są funkcje określone wzorami: f ( x ) =
x
, k (u ) = 1 + u 2 , h ( t ) = tg t . Znaleźć wzór funkcji złożonej:
a) f o k o h b) k o h o f . Obliczyć wartości: a) f o h ( π3 )
oraz b) f o h o k
(
π
3
)
−1 .
2. Niech f ( x ) = x 2 + 4 x + 1 , g ( x ) = x 2 − 2 . Znaleźć wzory funkcji: g o f ( x ) i g o f ( x ) . Czy złożenie funkcji
jest operacją przemienną?
3. Niech h ( x ) = x 3 + x − 3 , f ( x ) = x + 2 . Wiadomo, że h = g o f , czyli h ( x ) = g (f ( x )) dla każdego x . Znaleźć
wzór funkcji g ( x ) .
4. Wykazać, że: a) złożenie funkcji malejącej z rosnącą jest funkcją malejącą, b) złożenie funkcji malejącej z
malejącą jest funkcją rosnącą.
2
x+6
x +1
5. Dla podanych funkcji znaleźć wzór odwrotnej: a) f ( x ) =
b) f (x) = 3
c) f (x) = 10 3 x +1
2x − 3
x −1
x
x
2
2⋅e −3
 x + 1
d) f ( x ) =
e) f ( x ) =
f) f ( x ) = log 3 ( x + 1) g) f ( x ) = 1 + ln 

x
x
1+ 2
e
 2 
1

h) f ( x ) = arccos  x + 1 i) f ( x ) = 12 sin( 2 x + π2 )
j) f ( x ) = 4ctg ( x 3 + 1)
k) f ( x ) = arc tg x + 2 .
2


1
1
2
3
 1
 − arc tg 1
6. Obliczyć wartość: a) arc cos
3 + arc tg − 3 − 3arc sin
b) 2arc cos −  + arc ctg −

2
2
2
2
3






3
3
3
 1 
 7 
 15 
 + arc tg
c) arc cos −
d) cos 3arc sin
+ arc cos −   e) arc tg tg π  f) arc cos sin π  .

7 
3
2
 8 

 2 

 2 
arctg( x3 )
x 
 x −1 
7. Określić dziedzinę funkcji: a) f ( x ) = arccos − 1 b) f ( x ) = arcsin
.
 c) f ( x ) =
log( x 2 + 2 x − 3)
2 
 x + 4
(
)
GRANICA FUNKCJI, ASYMPTOTY, CIĄGŁOŚĆ.
2 x 2 − 14 x + 12
x 3 − 3x 2 + 4
x 4 − 2x 2 − 8
b)
lim
c)
lim
x →1
x→2 x 3 − x 2 − 4x + 4
x → −2 x 3 − 2 x 2 − 8x
x3 − x
x4 − x
x3 −1
x +1 −1
2 x + 4 − 3x + 1
sin 6 x
1 − cos 2 x
d) lim 4
e) lim 4
f) lim
g) lim
h) lim
i) lim
x →1 x − 1
x →1 x − 1
x
0
x →0
→
x
→
∞
x→
0
x
tg 2 x
x2
x−2
1.Obliczyć granice:
a) lim
x +1
sin 7 x + sin 3x
1− x
x −1
 2x + 3 
j) lim
k) lim arc sin
l) lim+ ln
m) lim

x →0 sin 5x − sin 4 x
x →∞
x
→
∞
x →1
1+ x
x −1
 2x + 1 
e x − e −x
o) lim
p) lim 3 2 x − 3 x ⋅ ctg x .
x → 0 sin 4 x
x →0
1
x3 −1
2. Znaleźć wszystkie asymptoty funkcji: a) f ( x ) = 2
b) f ( x ) = 2
x +x
x −1
((
)
2 3x − 2 7 x
n) lim
x →0
2x
)
c) f ( x ) =
3
.
e − ex
3. Zbadać, czy istnieje taka wartość parametru p, taka, żeby dana funkcja była ciągła na swojej dziedzinie:
 x −1

a) f ( x ) =  x − 1 dla x ≥ 0, x ≠ 1

p dla x = 1
1

arc tg
dla x ≠ 0
b) f ( x ) = 
x

p dla x = 0

x
 arcctg x −3 dla x < 3

c) f ( x ) = 
.
p dla x = 3
1

−
2
π + 2e ( x −3) dla x > 3