Wykresy i własności funkcji

Wykresy i własności funkcji
Zad. 1: (profil matematyczno-fizyczny)
a) Wykres funkcji f(x) = x3 – 6x2 + bx + c przechodzi przez punkt P = (2,–2), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P jest równy –3. Oblicz współczynniki b i c, a następnie narysuj wykres funkcji f w przedziale 〈–1;3〉.
b) Funkcja f przyjmuje w przedziale 〈–1;3〉 wartość najmniejszą dla argumentu x1 oraz wartość największą dla argumentu x2. Oblicz pole trójkąta ABP, gdzie A = (x1, f(x1)),
B = (x2, f(x2))
Odp.: a) b = 9, c = – 4; f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 4; b) P = 12 (A = (–1, –20), B = (1,0)).
Zad. 2:
Dana jest funkcja f(x) = x3 – (m – 2)x + 2.
a) Dla m = 3 znajdź zbiór wszystkich liczb całkowitych ujemnych spełniających nierówność
f(x) ≥ 2x2 + 4x – 8.
b) Dla m = 1 rozwiąŜ równanie f(x) = 8(x + 1).
*c) Zbadaj liczbę pierwiastków równania f(x) = 0 w zaleŜności od wartości parametrów m.
Odp.: a) x = –2 lub x = –1; b) x = –2, x = –1 lub x = 3; c) Równanie f(x) = 0 ma jeden
pierwiastek dla m ∈ (–∞;5), ma dwa pierwiastki dla m = 5 oraz trzy pierwiastki dla
m ∈ (5;+∞).
Zad. 3:
Dla jakich wartości parametru m pochodna funkcji
f ( x) = 13 m 2 + 4m − 5 x 3 − (m − 1)x 2 + (m + 1) x + 2m 2 − 7
ma stały znak w całym zbiorze liczb rzeczywistych?
Odp.: m ∈ (–3; –2) ∪ 〈1; +∞).
(
)
Zad. 4:
Dane są funkcje f(x) = 3x i g(x) = 6x – 2x + 1 + 8.
a) RozwiąŜ równanie (f(x))2 – 6f(x) = 27..
b) Sporządź wykres funkcji h(x) = |1 – f(x – 1)|, a następnie określ liczbę pierwiastków równania h(x) = a w zaleŜności od wartości parametru a.
c) RozwiąŜ nierówność 4f(x) < g(x).
Odp.: a) x = 2; b) Równanie nie ma pierwiastków dla a ∈ (–∞;0), ma jeden pierwiastek dla
a ∈ 〈1;+∞) ∪ {0}, ma dwa pierwiastki dla a ∈ (0;1); c) x ∈ (–∞; log32) ∪ (2;+∞).
Zad. 5:
Wykres funkcji f(x) = log2(x + m) + k, której dziedziną jest zbiór (–2;+∞), przechodzi przez
punkt (2, –1). Oblicz m i k, a następnie naszkicuj wykres funkcji i znajdź zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Odp.: m = 2, k = –3; funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x ∈ (–2;6).
Zad. 6: (profil matematyczno-fizyczny)
x2 − 9
. Narysuj
x −3
wykres funkcji, która kaŜdemu argumentowi a przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania
Przekształcając wykres funkcji y = log2x, sporządź wykres funkcji y = log 2
54
log 2
x2 − 9
= a.
x −3
Zad. 7*: (profil matematyczno-fizyczny)
Dane są funkcje f(x) = 2 ln(x + 1) i g(x) = ln(kx), gdzie k ∈ R\{0}. Znajdź wszystkie wartości parametru k, dla których wykresy funkcji f i g:
a) nie mają punktów wspólnych;
b) mają jeden punkt wspólny;
c) mają dwa punkty wspólne.
W kaŜdym z tych przypadków naszkicuj, dla wybranego k, wykresy funkcji f i g. Naszkicuj
wykres funkcji, która kaŜdemu argumentowi k ∈ R\{0} przyporządkowuje liczbę punktów
wspólnych wykresów funkcji f i g.
Odp.: a) k ∈ (0;4); b) k ∈ (–∞;0) ∪ {4}; c) k ∈ (4;+∞).
Zad. 8:
Znajdź dziedzinę funkcji y = 9 x + 3 x − 2 + log 3− x ( x + 2) .
Odp.: x ∈ 〈0;2) ∪ (2;3).
Zad. 9:
5x − 2 x 2
.
Znajdź dziedzinę funkcji f ( x) =
2 − log 2 x −1 (5x − 4)
Odp.: x ∈ ( 45 ;1) ∪ (1; 45 ) ∪ ( 45 ; 25 .
Zad. 10:
Dana jest funkcja f(x) = 2x + a – b, gdzie a jest większym, a b mniejszym pierwiastkiem równania log 21 x + log 1 x = 0 .
2
2
a) Naszkicuj wykres funkcji f .
b) Dla jakich wartości argumentu x funkcja f przyjmuje wartości niedodatnie?
Odp.: a) a = 2, b =1; b) x ∈ (–∞;–2〉.
Zad. 11:
Dana jest funkcja f(x) = log a(x + b) – c, gdzie: a = log2(log381), b = ( 21 )
c=−
1
5
[( )
1 −4
2
+(
)
1 −2
3
].
−1
(2 2 )
2
−
1
⋅ 16 2 ,
1
2
a) Naszkicuj wykresy funkcji y = f(x) i y = |f(x)|.
b) Na podstawie wykresu funkcji y = |f(x)| ustal liczbę rozwiązań równania |f(x)| = m w
zaleŜności od wartości parametru m.
Odp.: a = 2, b = 4, c = –1; b) Równanie nie ma rozwiązań dla m ∈ (–∞;0), ma jedno rozwiązanie dla m = 0, ma dwa rozwiązania m ∈ (0;+∞).
Zad. 12:
Wykres funkcji f(x) = log2(x + m) + k, której dziedziną jest zbiór (–4;+∞), przechodzi przez
punkt A = (–2, –2).
a) Oblicz m i k.
b) Naszkicuj wykresy funkcji y = f(x) oraz y = |f(x)|.
55
c) Dla jakich argumentów x funkcja f przyjmuje wartości ujemne?
Odp.: a) m = 4, k = –3; c) x ∈ (–4;4).
Zad. 13:
Naszkicuj wykresy funkcji f(x) = |log2x| – 2 i g( x) = x − 1. Wyznacz zbiór argumentów,
dla których obie funkcje przyjmują jednocześnie wartości ujemne?
Odp.: x ∈ ( 41 ;1) .
Zad. 14*:
Dana jest funkcja f(x) = log a(x + b) – c, gdzie: a =
7+4 3
− 3 , b = 2 log 3 3 ,
2+ 3
c = 2 + 23 + 29 + 272 +K . Naszkicuj wykres funkcji f . Znajdź wzór funkcji odwrotnej do funkcji
f i naszkicuj jej wykres.
Odp.: a = 2, b = 1, c = 3; f(x) = log2(x + 1) – 3. Funkcja g(x) = 2x + 3 –1 jest funkcją odwrotną do funkcji f .
Zad. 15:
Dana jest funkcja f(x) = log2(–x2 + 6x – 5).
a) Znajdź dziedzinę funkcji f .
b) Znajdź największą wartość funkcji f . Dla jakiej wartości argumentu x funkcja osiąga tę
wartość?
Odp.: a) x ∈ (1;5); b) Dla x = 3 funkcja osiąga wartość największą równą 2.
Zad. 16:
Znajdź najmniejszą wartość funkcji f ( x) = log
1
(3x − x 2 − 2) .
2
Odp.: Dla x =
3
2
funkcja osiąga wartość najmniejszą równą 4.
Zad. 17:
Dana jest funkcja f(x) = (2x2 – 1)(x – 4).
a) RozwiąŜ równanie f(cos x) - 0.
b) RozwiąŜ nierówność f(2x) < 2x – 4.
c) Znajdź dziedzinę funkcji g(x) = log(f(x)).
Odp.: a) x =
π
4
+
kπ
2
(
, gdzie k ∈ C; b) x ∈ (0;2); c) x ∈ −
Zad. 18:
Znajdź dziedzinę funkcji y =
2
2
;
2
2
) ∪ (4;+∞) .
1 − log 1 ( x 2 − 5x + 6)
2
x+2
.


5− 3
5+ 3
Odp.: x ∈ ( − ∞;−2) ∪  − 2;
∪
;+∞ .
2
2


Zad. 19:
Dana jest funkcja f(x) = log 0,5(x2 – 5x + 4) – log 0,5(5x – 5).
a) Znajdź dziedzinę i miejsce zerowe funkcji f .
b) RozwiąŜ nierówność f(x) ≥ –1.
56
Odp.: a) Dziedziną funkcji jest zbiór (4;+∞), miejscem zerowym jest x = 9. b) x ∈ (4;14〉.
Zad. 20:
Znajdź dziedzinę funkcji f ( x) = log 1 (1 − 2 sin x) − log 1 (1 + 2 cos x) .
π
4
)
π
6
2
2
Odp.: x ∈ − + 2 kπ; + 2 kπ , gdzie k ∈ C.
Zad. 21:
2
Dana jest funkcja f ( x) = log 4 ( x 2 − 1) − 21 log 4 ( x − 4)
a) Znajdź dziedzinę funkcji f .
b) RozwiąŜ równanie f(x) = 1,5.
*c) Zbadaj liczbę rozwiązań równania f(x) = log 4a w zaleŜności od wartości parametru a.
Odp.: a) x ∈ (–∞;–1) ∪ (1;4) ∪ (4;+∞); b) x = –11 lub x = 3; c) Równanie ma dwa roz-
(
)
wiązania dla a ∈ 0;2 15 + 8 , ma trzy rozwiązania dla a = 2 15 + 8 , ma cztery rozwiązania
(
)
dla a ∈ 2 15 + 8;+∞ .
Zad. 22:
Dana jest funkcja f(x) = log 0,5(x2 – 5x + 4) – log 0,5(5x – 5).
a) Znajdź dziedzinę i miejsce zerowe funkcji f .
b) RozwiąŜ nierówność f(x) ≥ –1.
Odp.: a) Dziedziną funkcji jest zbiór (4;+∞), miejscem zerowym jest x = 9. b) x ∈ (4;14〉.
Zad. 23:
Znajdź dziedzinę funkcji f ( x) = log 1 (1 − 2 sin x) − log 1 (1 + 2 cos x) .
)
2
2
Odp.: x ∈ − π4 + 2 kπ; π6 + 2 kπ , gdzie k ∈ C.
Zad. 24:
2
Dana jest funkcja f ( x) = log 4 ( x 2 − 1) − 21 log 4 ( x − 4)
a) Znajdź dziedzinę funkcji f .
b) RozwiąŜ równanie f(x) = 1,5.
*c) Zbadaj liczbę rozwiązań równania f(x) = log 4a w zaleŜności od wartości parametru a.
Odp.: a) x ∈ (–∞;–1) ∪ (1;4) ∪ (4;+∞); b) x = –11 lub x = 3; c) Równanie ma dwa roz-
(
)
wiązania dla a ∈ 0;2 15 + 8 , ma trzy rozwiązania dla a = 2 15 + 8 , ma cztery rozwiązania
(
)
dla a ∈ 2 15 + 8;+∞ .
Zad. 25:
Znajdź dziedzinę funkcji f ( x) = log x 2 − x 0,5 +
Odp.: x ∈ (3; 72 ) ∪ ( 72 ;+∞) .
1
.
log 3 (2 x − 6)
57
Zad. 26:
Znajdź dziedzinę funkcji f ( x) = log 1 ( 3x − x 2 ) + 1 +
2
)
x+
1
4
4
−1
.
2
4 x − 25
Odp.: x ∈ {1} ∪ 2; 25 ∪ ( 25 ;3) .
Zad. 27:
Naszkicuj wykresy funkcji a) y = 8 ⋅ 2 x − 4 ; b) y = 3 x −1 ;
c) y = 1 − 2 x −1 .
Zad. 28:
Wyznaczyć warunki, jakie muszą spełniać liczby a i b ( a ≠ 0, b ≠ 0 ), aby wykresy funkcji
y = a ⋅ 2 x + b i y = b ⋅ 2 − x + a posiadały dokładnie jeden punkt wspólny. Wyznaczyć
współrzędne tego punktu.
Zad. 29:
Dla jakich wartości parametru a punkt (1,-1) naleŜy do wykresu funkcji
f ( x ) = 2 x sin a − 3, x ∈ R ?
π
Odp. a = + 2kπ , k ∈ C .
2
Zad. 30:
Wyznacz dziedzinę funkcji:
a) y = log 0,1 ( 2 x − 1) + log 0,1 (5 − 3 x )
Odp.: a) x ∈  ,
1 2
2 3
∪
3 5
, ;
2 2
b) y =
log(9 − x 2 )
3x − 1
c) y = log x ( x + 1) .
(
b) x ∈ − 2 2 , 0 ) ∪ 0, 2 2 ; c) x ∈ (1, ∞ ) .
Zad. 31:
Wyznacz dziedzinę i zbadaj parzystość funkcji:
a) f ( x ) = x ⋅ log
x+2
x−2
b) f ( x ) = log( x + 1 + x 2 ) .
Zad. 32:
Dla jakich liczb a i b punkty A(6,2), B(0,1) naleŜą do wykresu funkcji y = log 3 ( ax + b) ?
Odp.: a = 1, b = 3.
Zad. 33:


1
7


Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji y = log ( 2m − 3) x 2 + (6 − m) x + ( m − 9)
jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
Odp.: m ∈ (12, ∞ ) .
Zad. 34:
Naszkicuj wykres funkcji y = log 2 x − 4 .
58
Zad. 35:
Wiedząc, Ŝe log12 2 = a , oblicz log 6 16 .
Odp.:
4a
.
1− a
Zad. 36:
Oblicz bez pomocy tablic (kalkulatora): x = 16 −log 2
Odp.: x = 5, y = 64.
2
⋅3
− log 1 5
3
⋅4
log 2 8 −
1
2
, y = 125 log 25 16 .
Zad. 37:
Wykres funkcji y = log 2 ( x + m) + k , której dziedziną jest przedział (− 2, ∞ ) przechodzi przez
punkt A=(2,-1).
a) Oblicz m i k.
b) Dla jakich x funkcja ta przyjmuje wartości ujemne?
Odp.: m = 2, k = -3, x ∈ (− 2,6) .
59